初中数学竞赛专题复习

1、第10章 四边形10.1 平行四边形与梯形10.1.1如图a,在四边形中,是对角线,已知是等边三角形,求边的长解析 如图b,以为边向四边形外作等边,连结由于,所以,从而又因为,于是,从而在中,所以10.1.2在中,为中点,D交或延长线于求证。

2、4.2应用题421小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币,小倩对小玲说:你若给我2元,我的钱数将是你的倍,小玲对小倩说:你若给我元,我的钱数将是你的2倍其中为正整数求的可能值的个数解析设小倩小玲分别所拥有的钱数为元元,为非负整数于是由题。

3、第9章三角形91全等三角形911已知等腰直角三角形,是斜边的角平分线交于,过作与垂直且交延长线于,求证:解析如图,延长,设交于则,得,又,平分,故平分,为中点,所以912在中,已知,分别为的中点,为形外两点,使,若,求的长解析如图,连结,则。

4、第11章 比例与相似11.1比例线段11.1.1在中,角平分线与交于,求之长度用表示解析 如图,易知有,故,1112已知:等腰梯形中,分别是腰的中点,且交于,求证:解析 如图,不妨设,则,故,1113在中,的平分线交于,过分别作的平行线交于。

5、第四篇组合第23章组合计数23.1加法原理和乘法原理23.1.1有800名乒乓球选手参加淘汰赛,需要进行多少场比赛才能决出冠军解析由于每场比赛淘汰一名选手,即比赛的场数与被淘汰的选手人数是相等的要决出冠军,需淘汰799名选手,所以需要进行7。

6、第二篇平面几何第8章线段与角81线段与角度811在线段上有两点,求的长解析有两种情况:点相邻于点,或点相邻于点1当点相邻于点时,如图a所示,此时2当点与点相邻时,如图b所示,此时812如图,已知,的长是66厘米,求之长解析由于,又与有关,所。

7、第22章 与22.1.1 求的值解析 因为 ,又,所以故22.1.2 若是正整数,求的值解析 因为,所以,所以22.1.13 数的末尾有多少个连续的零解析 的质因数分解式中,5的最高次方幂为,所以的末尾有499个零评注 在中,质数的最高次幂。

8、一元方程的两根都是整数,求实数点的值解析由于是实数,所以不能利用判别式来求解先求出方程的两根,由于是整数,所以,从上面两式中消去,便得关于的不定方程,解出,便能求得原方程为,所以,消去,得,故解得舍去,从而,所以,所求的,357设是质数,并。

9、一元方程求的最在大值解析因为方程有两个不相等的实数根,所以,即结合题设知因为所以,即,解得由于,故设,因为在上是递减的,所以当时,的最大值为10故的最大值为103.3.13设为互不相等的实数,且满足关系式,及,求的取值范围解析1由得,所以当。

10、第一篇代数第1章实数11实数的运算111计算:解析将及分别分解为两数的积,得,所以,原式评注一般地有;1.1.2计算:解析原式1.1.3计算:解析原式评注在做分数加减法运算时,根据特点,将其中一些分数适当拆开,使得拆开后有一些分数可以相互抵。

11、第6章 函数令,则,当时,函数取最小值,此时有,得当时,函数取最大值,此时,所以,当时,取最小值;当时,取最大值56.5.20 实数满足,求的最小值解析 令,则,整理得,因为是实数,所以,即所以因为是实数,所以,所以,得当时,所以,的小最小。

12、面积问题与面积方法15.1.43已知凸四边形的边上各有一点,满足,与交于,与交于,求证:解析 如图,问题可转化为求证.下证此式:记,则由定比分点,在.15.1.44已知:中,是角平分线,分别在上,且,求证,并用三边表示.解析 如图,由,得。

13、第6章 函数6.3.35 已知点的坐标分别为,点是抛物线上一个动点1判断以点为圆心,为半径的圆与直线的位置关系;2设直线与抛物线的另一个交点为,连结,求证:解析1设点的坐标为,则,而点到直线的距离为所以,以点为圆心,为半径的圆与直线相切2过。

14、第6章 函数6.1函数及其图像6.1.1 已知,求解析1 令,则,带入原式有,所以 解析2 ,所以6.1.2 若函数,求解析 只要将满足的值求出来,然后代入即可,所以,因此6.1.3 已知函数,其中为常数若,求解析 由题设所以6.1.4 函。

15、第2章代数式2.1整式的运算2.1.1化简,其中为大于1的事数解析原式评注本例可推广为一个一般的形式:2.1.2计算1;2解析2这两个多项式对应项或者相同或者互为相反数,所以可考虑应用平方差公式,分别把相同项结合,相反项结合原式2的结果是。

16、第4章方程组41方程组的解法411已知关的方程组分别求出当为何值时,方程组有唯一一组解;无解;有无穷多组解,解析与一元一次方程一样,含有字母系数的一次方程组求解时也要进行讨论,一般是通过消元,归结为一元一次方程的形式进行讨论,但必须特别注意。

17、第21章 不定方程21.1 二元一次不定方程21.1.1求不定方程的正整数解解析 因为,所以这个方程的正整数解有无数组,它们是其中可以取一切正整数21.1.2求的整数解解析1 将方程变形得因为是整数,所以应是11的倍数由观察得,是这个方程的。

18、第14章 共点线与共线点14.1 梅涅劳斯定理14.1.1设等腰直角三角形,是中点,在上,求证:试用梅氏定理证明解析 如图,设与交于,则,由梅氏定理,得,又,故,故.14.1.2设是锐角三角形的边上的一点,是边上的一点,与相交于点,求.解析。

19、第15章 面积问题与面积方法15.1.1如图,bcde中直线与直线交于点,则:a中有;bcde中有.解析 只要作相应的高,并运用比例即可.15.1.2若中有一点,延长,分别交对边于点,则.解析 如图,易证,三式相加即得结论.15.1.3求证。

20、第30章 组合几何30.1 覆盖划分与构造30.1.1 求证:可以把三角形划分成三块,拼成一个矩形解析 如图,不妨设为之最大边,故,设中点分别为,作,易知在上今过作,分别与直线交于,于是易见,因此被分成三块,拼成了矩形30.1.2 任何不等。

21、第20章 同 余20.1.11证明:任意平方数除以4,余数为0或1;2证明:任意平方数除以8,余数为01或4解析 1因为奇数,偶数,所以,正整数 2奇数可以表示为,从而奇数因为两个连续整数中必有一个是偶数,所以是8的倍数,从而奇数又,偶数为。

22、第三篇初等数论第19章整数的整除性191整除19.1.1证明:三个连续奇数的平方和加1,能被12整除,但不能被24整除解析要证明一个数能被12整除但不能被24整除,只需证明此数等于12乘上一个奇数即可设三个连续的奇数分别为其中是整数,于是所。

23、第18章整数几何18.1.1已知的两条高长分别是515,第三条高的长数,求这条高之长的所有可能值解析由面积知,三条高的倒数可组成三角形三边,这是它们的全部条件设第三条高为,则解得,可取4567这四个值18.1.2已知的三边长分别为,且边上的。

24、第7章三角函数71锐角三角函数711比较下列各组三角函数值的大小:1与;2与;3,和解析1利用互余角的三角函数关系式,将化,再与比大小因为,而,所以2余切函数与余弦函数无法化为同名函数,但是可以利用某些特殊的三角函数值,间接比较它们的大小。

25、第16章几何变换16.1对称和平移1611设是边长为2的正三角形的边的中点是边上的任意一点,求的最小值解析 作正三角形关于的对称图形是的对称点,故是的中点,如图所示,则.连结,易知,所以所以,的最小值是1612已知中,试在的边上分别找出一点。

26、5.4 不等式的证明和应用5.4.1设的平均数为,的平均数为,的平均数为.若,则与的大小关系是 A.B.C.D.不确定解析 因为,因为,所以,即,所以.故选B.5.4.2若是正数,且满足,则与之间的大小关系是 A.B.C.D.不能确定解析 。

27、第19章 整数的整除性综上可知,命题成立评注如果两个互质的正整数之积是一个完全平方数,则这两个正整数都是完全平方数这一命题是我们证明此题的出发点19427如果正整数满足证明:数和都可以表示为两个正整数的平方和解析巧妙运用下述命题:如果正整数。

28、第3章一元方程3.1一元一次方程3.1.1已知下面两个方程,有相同的解,试求的值解析本题解题思路是从方程中求出的值,代入方程,求出的值由方程可求得,所以由题设,也是方程的解,根据方程解的定义,把代入方程时,应有,所以,3.1.2解方程:解析。

29、第17章几何不等式与极值问题17.1.1一个凸行边形的内角中,恰好有4个钝角,求的最大值解析考虑这个凸行边形的个外角,有个角,故有严格小于是由于4个钝角的外角和大于,因此,的最大值是7易构造这样的例子.如果恰好有个钝角,则的最大值是.17。

30、第11章 比例与相似1125在锐角三角形中,是是一点,满足,过作,为垂足,证明:解析 由条件知,且,又,故,于是1126已知正方形,点和分别在上,且,与垂直于,求的取值范围解析 易知,故有又,故,1127在中,点是内的一点,使得,且,求解析。

31、第24章抽屉原理和容斥原理24.1抽屉原理24.1.1在任意的61个人中,至少有6个人的属相相同解析因为一共有12种属相,把它看作12个抽屉,根据抽屉原理知,至少有6个人的属相相同评注抽屉原理又称鸽笼原理或狄里克雷原理这一简单的思维方式在解。

32、2.4根式及其运算2.4.1化简:1;2;3解析1直接计算不是好办法注意到,于是故2直接逐步展开太麻烦,观察到式中因式都是,只不过符号不同而已于是,我们将一些项适当组合,利用平方差公式3,所以,2.4.2化简:1;2是自然数;3;4,解析1。

33、第26章 离散量的最大值和最小值问题26.1.1 某个篮球运动员共参加了10场比赛,他在第6第7第8第9场比赛中分别得了231411和20分,他的前9场比赛的平均分比前5场比赛的平均分要高,如果他的10场比赛的平均分超过18分,问:他在第1。

34、第13章 正弦定理与余弦定理13.1.1 已知点是内一点,使得.求证:解析 如图,设的三边为,对应角分别为,同理,由正弦定理,故,同理,于是.13.1.2在的及边上分别取点,使,求的所有内角.解析 如图,易知,故.又由正弦定理,于是易见,故。

35、第5章 不等式5.1 一元一次不等式组5.1.1已知,且,试比较与的大小.解析 首先解关于的方程得.将代入不等式得,即.又因为,所以5.1.2解关于的不等式.解析 由题设知,去分母并整理得.当,即时,当,即时,无解;当,即时,评注 对含有字。

36、第25章 染色问题25.1.1圆周上等间距地分布着27个点,它们被分别染为黑色或白色今知其中任何2个黑点之间至少间隔2个点证明:从中可以找到3个白点,它们形成等边三角形的3个顶点解析我们将27个点依次编号,易知它们一共可以形成9个正三角形 。

37、第29章 图论初步29.1.1 某大型晚会有2009个人参加,已知他们每个人至少认识其中的一个人证明:必有一个人至少认识其中的二个人解析 2009这个数目较大,我们先考虑:某小型晚会有5人参加,已知他们每个人至少认识其中的一个人证明:必有一。