初中数学竞赛专题复习 第二篇 平面几何 第11章 比例与相似试题1 新人教版

第11章 比例与相似11.1比例线段11.1.1在中，角平分线与交于，求、之长度(用、表示)解析 如图，易知有，故，1112已知：等腰梯形中，、分别是腰、的中点，且交于，求证：解析 如图，不妨设，则，故，1113在中，的平分线交于，过分别作、的平行线交、于、，和的延长线交于，求证：解析 如图，由，及平分，知，故，因此1114设为的边的中点，过作一直线，交、或其延长线于、，又过作，交的延长线于，则解析 由平行知于是由第一式与最后一式，转化为乘法，即可得结论1115已知是平行四边形内的任意一点，过点作，分别交、于、，又过作，分别交、于、；连结，交于；连结，交于如果，求证：平行四边形是菱形解析 如图，易知，由于，故，于是，四边形是菱形1116中，是的角平分线是的中点，过作直线平行于交、或延长线于和求证：解析 如图，易知比靠近，在上，而在延长线上易知，而，故，同理，也是此值评注 不用比例线段的方法是：延长一倍至，则，再证和均为等腰三角形1117凸四边形中，平行于交延长线于点，平行于交延长线于点，连结、，证明：解析 如图，设、交于，则由平行线性质，知，同理，故，故1118如图，在中，、为的三等分角线，交的平分线于、，连结并延长交于，求证：解析 易知关于对称又设，则，故，于是由角平分线之性质，知，于是1119梯形中，()，和交于，过作，交、于、，和交于，过作，交、于、求证：解析 ，故，同理，故，同理，两式相加并整理即得结论11110设、分别是的三边的长，且，求它的内角、解析 由条件，得，即，所以如图，延长至，使，于是因此在与，且为公共角，所以，而，故11111设凸四边形，对角线交于，过作直线与平行，交、及延长线于、若，求解析 延长与延长线交于，则有设，则，代人上式，便得故11112为等腰三角形底边上的高，为的平分线，作于，又作与直线交于，求证：解析 如图，设，则由角平分线性质知，故又取中点，连结，故，故，从而，故于是11.1.13足球场四周有四盏很高的灯，在长方形的四角，且一样高，求某一运动员任何时刻的四个影子长之间的关系跳起来呢?解析 设运动员在矩形球场内，如图(a)，过作，在上，在上，则，或又设灯高为，运动员身高为，点处的灯造成的影子长为，如图(b)，则，得，同理，故四个影子的关系是跳起来时，不妨设脚底离地，此时点处的灯造成的影子长度为，如图(c)，则，于是，同理，所以+=仍旧成立111.14求日高公式解析如图所示，设太阳高度为，杆=直立在地上，影子的长度分别为，两杆距离为所谓日高公式就是用、表示，这里假定大地为平面，且、与在同一平面上易知，代入得，故；同理，由，代入得，由此解得11.1.15设梯形ABCD，E、F分别在AB、CD上，且，若，梯形和梯形的周长相等，求解析 如图，作平行四边形，在上，则，设与交于易知梯形的周长为的周长加上6，梯形的周长为梯形的周长加6，故的周长=梯形的周长，也即周长的一半即又，故，11116如图，已知中，、交于，、交于，过作，交于，交于，求证：解析 设与交于，与直线交于，则于是11.1.17四边形为正方形，、在延长线上，、分别是、与的交点求证：为等腰三角形解析 如图，不妨设正方形边长为1，则，作，交于则于是，即为直角三角形斜边之中点，于是11.1.18在中，是内一点，、分别在、上，且，若，求解析 如图，延长交于(同理定义、，图中未画出)，设，则，同理，由于，故，11.1.19内有一点，的延长线交边于点，的延长线交边于点，的延长线交边于点若，求的值(用表示)解析 如图，设，则，而，即，展开得，故11.1.20已知的三边长分别为、，三角形中有一点，过作三边的平行线，长度均为，试用、来表示解析 设延长后与交于(同理定义与)，则，同理，三式相加，得，所以评注 存在的条件是，代人得：、可组成三角形三边之长11.1.21已知、分别是锐角三角形的三边、上的点，且、相交于点，设，求的大小解析 由熟知结论，得，因此，即=2411.1.22如图，正方形边长为1，为延长线上一点，与、分别交于点、，(点是与交点)与交于点，若，求的长解析 连结，则由，得，于是，为中点，所以11.1.23如图，已知，、分别在、上，则下面任两条可推出第三条：(1)、共点；（2）；（3）解析 (1)，(2)(3)：，则，故（2），（3）（1）：，故可设、延长后交于，、延长后交于，与重合(1)，(3)(2)：若与不平行，作，在上，在上，则有，得，即，矛盾11.1.24中，为的平分线，在、上取，、分别为、的中点，则解析 如图，连结，设中点为，连结、，则，所以，且取上的点，使，则等腰等腰，且对应边，故第三边也平行，即11.1.25已知：中，为上一点，且非中点，为中点，求证：，平分解析 如图，作，与延长线交于，延长交于，则由，有又，故由条件，知，于是，四边形乃等腰梯形(若四边形是菱形，则，为中点，与题设矛盾)，又为中点，显然(比如由全等)有11126已知、分别为矩形的边、的中点，延长线上有一点，延长后与交于求证平分解析 如图，设与交于，则，过作，交于，则又，故，于是，由于将垂直平分，于是11.1.27在中，求证：，、为的对应边长解析 如图，延长至，使，于是，故，中，则又由角平分线性质，得，代人前式，得，即得结论评注 中，证明如下：延长至，使，于是或111.28已知，、分别是、上任两点，、延长后交于，、延长后交于，求证：若，则、共点；若，则解析 如图，设，延长、分别与交于、，设由知，同理，即，于是，或若，则，又，做；，由，得、共点（见题11.1.23）11.1.29正三角形，、是、的中点，、分别在、上，、共线，、共线，、共线，求解析 如图，不妨设边长为2，则，由，得，同理，1，于是，所以，11130任给锐角，问在、上是否各存在一点、，使，?解析 这样的是存在的作法如下：在上任取一点，作于，分别过、作、的垂直线交于点若恰在上，则、，即为满足条件的三点、；若，不在上，设、，所在直线与交点为(因为是锐角三角形，所以交点必在上)，过分别作、的垂线交、于、，则，连结，易知，得，由作法，所以，、满足条件11.1.31已知凸四边形内有一点，、的平分线分别交、于、，求证：四边形为平行四边形的充要条件是为、的中垂线的交点解析 若为、的中垂线之交点，则，于是，于是，同理，又同理，故四边形为平行四边形反之，若四边形为平行四边形，由于，故由梅氏定理，若、不与平行，它们将与交于同一点，这与矛盾，因此，同理，故在、的中垂线上11132已知梯形中，、分别在、上，求证：若，则又此时若、交于，、交于，问三直线、共点的条件解析 如图(a)，不妨议、延长后交于，于是有，于是，由此可得，故因为四边形为平行四边形，过的中点，若、共线，则由塞瓦定理，有下面刻画或的位置，如图(b)，设与交于，则由，而，故，此即11.1.33如图，已知中，、交于，延长后与的延长线交于，求证：解析 作，与交于，与交于，则由平行，知，故，于是11.1.34已知，、是角平分线，、在上，且，求证：平分解析1 设内心为，与交于，与交于，连结，交于由角平分线及平行性质，有，故有，又，故，于是，于是平分解析2 由角平分线性质，知，于是又易见，故，于是，以下同解析1评注 注意解析1更好些，因为只要求平分不要求是内心，本题结论也成立于是本题的逆命题是，由平分得出平分，而不能证明是内心这个逆命题也是正确的，读诗者不妨一试11135为内一点，、在上，、在上，线段、交于若，则平分，反之亦然解析 如图，作平行四边形，、分别在、上设，此时易得，因此，于是但，故所以平行四边形是菱形，为之平分线反之，可设所作平行四边形为菱形设菱形边长为，则，即得同理，于是命题得证11136已知，三边分别为、，是角平分线求之长(用、，表示)解析 如图，延长至，使，于是、共圆，又，故=设，则，故11137在中，、三等分，且2，3，6，求的长解析 如图，设，则由角平分线性质知，由于，即，同理，消去，得11138已知平行四边形，点是点在上的垂足，点在上，点在上，点是与的交点，又延长后与的延长线交于点，求证：解析 如图，作对与来说，而，如果能证明两三角形(顺向)相似，那么第三组对应边与就垂直了，于是只需证明或事实上设、延长后交于点，且设，则易知，于是，又，故，于是，代人上式，即得11.2相似三角形1121已知，是中点，、在的同侧，且，证明：解析 如图，易知又，故，于是，故1122已知=+，则，解析 如图，作与，使，则由条件，且，故，从而，此即，评注 这个结果用途极广1123线段分为两个相似的三角形，相似系数等于，求的各内角解析 如图，不妨设，比较“大”由于及，故只能有，于是不可能(否则)，故，因此三内角为：、1124设中，在在上，且，求证：解析 过作，是是一点于是，代入条件并整理，即得又，于是，于是，故19