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第10章 四边形10.1 平行四边形与梯形10.1.1如图(a)，在四边形中，、是对角线，已知是等边三角形，求边的长解析 如图(b)，以为边向四边形外作等边，连结由于，所以，从而又因为，于是，从而在中，所以10.1.2在中，为中点，D交(或延长线)于求证：解析 如图，取中点，连结、易知四边形与均为菱形，垂直平分，于是，于是10.1.3、是的三条中线，,四边形是平行四边形解析 如图，连结，则是中位线由条件知，故，于是，故结论成立10.1.4延长矩形的边到，使，是的中点，求证：解析 如图，取中点，连结，则，于是10.1.5菱形中，求菱形的面积解析 如图，易知与均为正三角形设菱形边长为，则由，得，所以，因此菱形面积为10.1.6在梯形中，中位线分别交、于、，若延长、的交点正好位于上，求解析 设、延长后交于，且在上，则由中位线知，故10.1.7四边形中，,，求解析 如图所示，作，分别交所在直线于、，作交于，则为等腰直角三角形，故；，故，所以，从而10.1.8已知中，是上一点，关于、的对称点分别为、，若,解析 如图，连结、由对称，有，故、共线又，故，而，所以梯为等腰梯形又，于是10.1.9将梯形的各个顶点均作关于不包含该顶点的对角线的对称点，证明：如果所得到的四个像点也形成四边形，则必为一个梯形解析 如图，、关于对应对角线的对称点分别为、设、交于，连结、则=，故、共线，且，同理、共线，所以由得故如、不位于同一直线上，则，即成梯形10.1.10已知：直角梯形，是上一点，求解析 如图，连结，则由，得又，故，又，故为正三角形，于是10.1.11在四边形中，求、和的长解析 如图，延长、至，则，又，故，又，故至于求，有多种方法，如勾股定理或余弦定理，也可用、四点共圆的性质：，10.2 正方形10.2.1在正方形中，为的中点，为上的点，且求证：解析 如图，延长、，设交于，则得，于是，即10.2.2正方形边长等于1，通过它的中心引一条直线，求正方形的四个顶点到这条直线的距离平方和的取值范围解析 如图，设是正方形的中心，通过，、分别与垂直于、由于，故，对、的垂线也有类似结论，因此所求距离的平方和是常数110.2.3正方形的对角线交于，的平分线交于，交于，求证：解析 如图，作，交于，为中位线，问题变为证明因为么，于是结论成立10.2.4设、分别为正方形的边、的中点，且与交于，求证：解析 如图，由知，故，故延长、，设交于，则，为直角三角形斜边之中点，于是10.2.5已知两个正方形、(顶点均按照顺时针方向排列)，求证：这两个正方形的中心和、的中点组成一个正方形解析 如图，设、的中点分别为、由于，于是，由此得与垂直且相等由于，故四边形为正方形10.2.6是正方形内一点，若，求解析 如图，作于，则解得，不妨设，则，由条件，知，即，解得又作于，于是，故10.2.7是正方形的两对角线的交点，是上异于的任一点，于，于，是的延长线和的交点，求解析 如图，易知，于是，于是，故为等腰直角三角形，10.2.8是正方形的边的中点，点分对角线的比为，证明：解析 连结，由正方形关于对称，知又作于，由，易知，故为中点，垂直平分，于是，或,故10.2.9已知，向外作正方形和直线垂直于，反向延长交于，求证：是的中点解析 如图，作、分别与直线垂直，垂足为、易见，又，故有，同理，于是，10.2.10已知：正方形中，、分别在、上，于若，求证：反之，若，则解析 如图，延长至，使，连结，则，又，故，、为其对应边上的高，于是反之，若，则，同理，于是10.2.11在梯形中，()，在边上，若，求的长解析 延长至，使过作，为垂足易知四边形为正方形，所以又，故又，故，设，则，在中，故，即，解之，得，故的长为4或610.2.12在正方形的边上任取一点，过作于，且延长交于，设正方形对角线的交点为，连结、，求证：解析 如图，易知，故，故，又，于是，10.2.13四边形是正方形，四边形是菱形，、在一直线上求证：、三等分解析 如图，作、与垂直，垂足为、，于是由知，于是又，于是，、三等分9
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