初中数学竞赛专题复习 第一篇 代数 第1章 实数试题 新人教版

第一篇代数第1章实数11实数的运算111计算：解析将及分别分解为两数的积，得，所以，原式评注一般地有；1.1.2计算：解析原式1.1.3计算：解析原式评注在做分数加减法运算时，根据特点，将其中一些分数适当拆开，使得拆开后有一些分数可以相互抵消，达到简化运算的目的，这种方法叫拆项法本例中，我们把拆成，即有其他常用的拆项方法如：(1)它经常用于分母各因子成等差数列，且公差为的情形(2)1.1.4计算：解析原式1.1.5计算：解析因为，所以原式1.1.6计算：解析因为，所以原式1.1.7设，求与最接近的正整数解析对于正整数，有，所以因为，所以，与最接近的正整数为251.1.82008加上它的得到一个数，再加上所得的数的又得到一个数，再加上这次得数的又得到一个数，依此类推，一直加到上一次得数的最后得到数为1.1.9计算：解析因为，所以1.1.10计算：解析1.1.11计算：解析因为，所以1.1.12计算：解析1.1.13计算：解析设，则，所以，故评注一般地，对于求和：，我们常常采用如下方法，令，则，于是，1.1.14计算：解析设，则，所以，1.1.15计算：解析设，则原式1.1.16计算下列繁分数：（2008个减号）解析先耐心地算几步，从中发现规律可将用字母代替（这样可以得到更一般的结论）自下而上逐步算出，由此可见，每计算3步，又重新出现，即3是一个周期而，所以，原式特别地，在时，得出本题的答案是1.1.17比较与2的大小解析先将中的每一个数拆成两数的差：，所以，好1.1.18已知，问：的整数部分是多少？解析我们只要估算出在哪两个相邻整数之间即可这里，下面进一步估计介于哪两个相邻整数之间，所以，即的整数部分是1011.1.19在数，的前面分别添加“”或“”，使它们的和为1，你能想出多少种方法？解析这8个有理数的分母都是10，只要2，3，4，5，6，7，8，9这8个整数的代数和为10即可，而，所以添加“”或“”后，正数的和应为方法很多如，等1.1.20计算解析因为，所以，原式等于1.1.21求和：解析因为，所以，原原式1.1.22已知，其中为正整数，证明：解析注意到，所以1.1.23求下列分式的值：解析由于由此，原式评注对通项的分子分母同乘2，发现可以首尾配对是本题的关键1.1.24设，求的整数部分解析对于，因为，所以，于是有，故的整数部分等于41.2实数与数轴1.2.1数、在数轴上对应的点如图所示，试化简解析 由图可知，而且由于点离原点的距离比点离原点的距离大，因此我们有评注本题由图，即数轴上、两点的位置，“读”得，等条件，从而去掉绝对值符号，解决问题1.2.2已知，化简：解析这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号原式（因为）（因为）1.2.3若，化简解析因为，所以，从而，因此，原式评注根据所给的条件，先确定绝对值符号内的代数式的正负，然后化去绝对值符号若有多层绝对值符号，即在一个绝对值符号内又含有绝对值符号（如本题中的分子），通常从最内层开始，逐层向外化去绝对值符号1.2.4化简：解析本题是两个绝对值和的问题解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号若分别去掉每个绝对值符号，则是很容易的事例如，化简，只要考虑的正负，即可去掉绝对值符号这里我们是分是一个分界点类似地，对于而言，是一个分界点为同时去掉两个绝对值符号，我们把两个分界点和标在数轴上，把数轴分为三个部分（如图所示），即，这样我们就可以分类讨论化简了（1）当时，原式；（2）当时，原式；（3）当时，原式即评注解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的变量字母的值，即先求出各个分界点，然后在数轴上标出这些分界点，这样就将数成分几个部分，根据变量字母的这些取值范围分类讨论化简，这种方法又称为“零点分段法”1.2.5设，且，试化简解析因为，所以，即，所以，因此1.2.6化简解析先找零点由得由即，得，从而或由得所以零点共有，三个因此，我们应将数轴分成4个部分，即，当时，原式当时，原式当，原式当时，原式即原式评注由于本例中含又重绝对值，采用零点分段法时，不要忘了考虑的零点1.2.7若的值恒为常数，求满足的条件及此常数的值解析要使原式对任何数恒为常数，则去掉绝对值符号，化简合并时，必须使含的项相加为零，即的系数之和为零，故本题只有一种情况因此必须有且故应满足的条件是解得此时，原式1.2.8如果，且，求的最大和最小值解析（1）当时，有，所以（2）当时，有，所以综上所述，的最值是3，最小值是1.2.9求代数式的最小值解析设，根据绝对值的几何意义，我们知道表示数轴上对应的点到对应、的点的距离之和，下面分类讨论：当时，；当时，；当时，因此，当时，取最小值251.2.10如果为有理数，求代数式的最小值解析分，五个部分进行讨论去掉绝对值符号，经过化简得到：当时，原式，最小值为17；当时，原式，最小值为15；当时，原式，是一固定值；当时，原式，最小值大于15；当时，原式，最小值大于15综上所述，原代数式的最小值为15评注此题还可以用绝对值的向何意义求解本题就是要在数轴上找一点，使它到、1、3的距离之和最小这一点显然应在与之间（包括这两点）的任意一点，它到、的距离之和为15，就是要求的最小值1.2.11已知，且，求的最大值和最小值解析由题设条件知：，于是，所以（1）当时，有，所以（2）当时，有，所以因此，的最大值是为7，最小值为31.2.12已知，求的最大值解析首先使用“零点分段法”将化简，然后在各个取值范围内求出的最大值，再加以比较，从中选出最大者有三个分界点：，（1）当时，由于，所以，的最大值是（2）当时，由于，所以，的最大值是6（3）当时，由于，所以，的最大值是6（4）当时，由于，所以，的最大值是0综上可知，当时，取得最大值为61.2.13设，求的最小值解析设、在数轴上的对应点分别为、，则表示线段之长，同理，分别表示线段，之长，现要求，这和的值最小，就是要在数轴上找一点，使该点到、四点距离之和最小因为，所以、的排列应如图所示：所以当在、之间时，距离和最小，这个最小值为，即1.2.14、为有理数，且，试求的值解析当时，由得，故此时当时，由，得，故此时所以，不管是还是，、中至少有一个为0，因此，1.2.15若、为整数，且，试计算的值解析因为、均为整数，则，也应为整数，且，为两个非负整数，和为1，所以只能是且，或者且由有且，于是；由有且，于是无论或都有且，所以1.2.16将1，2，100这100个正整数任意分成50组，每组两个数，现将每组的两个数中任一个数记为，另一个数记为，代入代数式中进行计算，求出其结果，50组都代入后可求得个值，求这50个值的和的最大值解析代数式的值就是、中的较大数，为保证所计算出的50个值之和最大，分组时不要把51，52，100这50个数中任两个分成一组即可对于任意一组中的两个数、，不妨设，则代数式于是这50个值之和与大数有关，所以，这50个值的和的最大值为1.2.17设个有理数，满足，且，求的最小值解析先估计的下界，由，及，知，所以，又当时，取满足已知条件，所以，正整数的最小值为201.3实数的判定1.3.1证明循环小数是有理数解析要说明一个数是有理数，其关键要看它能否写成两个整数比的形式设，两边同乘以100得得，所以既然能写成两个整数比的形式，从而也就证明了是有理数1.3.2已知是无理数，且是有理数，在上述假定下，分析下面四个结论是：（1）是有理数；（2）是无理数；（3）是有理数；（4）是无理数哪些是正确的？哪些是错误的？解析取无理数，这时是有理数，而是无理数，故结论（1）不正确仍取，仿上可知结论（3）不正确由于，且是有理数，是无理数，故是无理数，即结论（2）正确同样，由，知结论（4）正确1.3.3求证：是有理数解析要证明所给的数能表示成（，为整数，）的形式，关键是要证明是完全平方数，所以因为与3均为整数，所以是有理数1.3.4证明是无理数解析要证明一个实数为无限不循环小数是一件极难办到的事由于有理数与无理数共同组成了实数集，且二者是矛盾的两个对立面，所以，判定一个实数是无理数时，常常采用反证法假设不是无理数，则必为有理数设（、是互质的正整数），两边平方有，所以一定是偶数设（是正整数），代入得，所以也是偶数、均为偶数和与互质矛盾，所以不是有理数，于是是无理数评注只要是质数，就一定是无理数，这个结论的证明并不困难，请自行完成1.3.5设是正整数，是有理数，则必是完全平方数；反过来，如果是完全平方数，则是有理数（而且是正整数）解析第二个结论显然成立，下面证明第一个结论因是有理数，故可设（、为互质的正整数），从而我们知道，任何一个平方数的质因数分解式中，每一个质因数的指数都是正偶数（反过来也成立）；而非平方（自然）数的质因数分解式中，至少有一个质因数的指数是奇数由此可见，如果不是完全平方数，那么无论与有无相同的质因数，在的质因数分解式中，至少有一个质因数的指数是奇数，即不是平方数这样式不可能成立所以，是完全平方数评注本题是一个重要的结论，它可作为定理使用，读者应熟悉它有了这个结论，可以立即断定、等都是无理数1.3.6设、及都是整数，证明：及都是整数解析由于负数不能开平方，故由题设知、都是非负整数若或，易知结论成立若、都是正整数，由，两边平方得，所以由所设、及都整数，故是有理数，从而是平方数，故是整数，从而是整数1.3.7求满足等式的有理数、解析把原式两边立方，得因、是有理数，故解得，或，易检验它们都满足原式1.3.8求满足条件的正整数、解析将原式两边平方得显然，是无理数，假设是有理数，则是有理数，这与式矛盾，所以必为无理数由式变形为假设，则必为非零有理数，设为，即，所以有，两边平方得，所以因为，所以是无理数，而是有理数，矛盾所以且所以又因为，所以，所以满足条件的正整数为：，或，1.3.9若（其中、为有理数，为无理数），则，反之，亦成立解析 设法将等式变形，利用有理数不能等于无理数来证明将原式变形为若，则因为是无理数，而是有理数，矛盾所以必有，进而有反之，显然成立评注本例的结论是一个常用的重要运算性质1.3.10设与是两个不相等的有理数，试判断实数是有理数还是无理数，并说明理由解析 假设是有理数，设其为，即整理得由1.3.9题知，即，这与已知矛盾所以原假设是有理数错误，故是无理数评注本例并未给出确定结论，需要解题者自己发现正确的结论解这样的问题时，可以先找到一个立足点，如本例以为有理数作为立足点，以其作为推理的基础1.3.11已知、是两个任意有理数，且，求证：与之间存在着无穷多个有理数（即有理数集具有稠密性）解析只要构造出符合条件的有理数，题目即可被证明因为，所以，所以设，显然是有理数（因为、为有理数）因为，所以，同理可证设，显然也是有理数，依此类推，设， 为任意正整数，则有，且为理数，所以在和 之间存在无穷多个有理数1.3.12已知在等式中，、都是有理数，是无理数，问：（1）当、满足什么条件时，是有理数；（2）当、满足什么条件时，是无理数解析（1）当，时，为有理数当时，有，所以，只有当，即时，为有理数故当，且；或，且时，为有理数（2）当，时，为无理数当时，有，故只有当，即时，为无理数所以，当，；或，为无理数1.3.13已知、是两个任意有理数，且，问是否存在无理数，使得成立？解析因为，所以，即又因为，所以，即由，有，所以取因为、是有理数，且，所以是无理数，即存在无理数，使得成立1.3.14已知数的小数部分是，求的值解析因为无理数是无限不循环小数，所以不可能把一个无理数的小数部分一位一位确定下来，这类涉及无理数小数部分的计算题，往往是先估计它的整数部分（这是容易确定的），然后再寻求其小数部分的表示方法因为，即，所以的整数部分为3设，两边平方得，所以1.3.15已知：、是有理数，且满足，试求的值解析将代入方程，得，化简，得因为、都是有理数，则解方程组，得所以评注本题应用到了性质：若、为有理数，为无理数，1.3.16若为正整数，求证：必为无理数解析只需证为非完全平方数而这只要证明它位于两个相邻的正整数的平方之间即可因为，又因为，所以而与是两个相邻的整数的完全平方数，它们之间一定没有完全平方数因则对任意的正整数，数不可能是完全平方数，即必为无理数1.3.17若、是正整数，、是实数，问是否存在三个不的素数、，满足，？解析假设存在三个不同的素数、，满足，其中，、为实数，、是正整数消去、，得，即式的两边立方，得将式中的代入式，得但是是无理数，故上面等式有矛盾因此，不存在在个不同的素数、，满足，1.3.18设是的个位数字，2，3，求证：是有理数解析有理数的另一个定义是循环小数，即凡有理数都是循环小数，反之循环小数必为有理数所以，要证是有理数，只要证它为循环小数因此本题我们从寻找它的循环节入手计算的前若干个值，寻找规律：1，5，4，0，5，1，0，4，5，5，6，0，9，5，0，6，5，9，0，0，1，5，4，0，5，1，0，4，发 现：，于是猜想：，若此式成立，说明是由20个数字组成循环节的循环小数，即下面证明令，当是10的倍数时，表明与有相同的个位数，而由前面计算的若干值可知：是10的倍数，故成立，所以是一个有理数1.3.19已知、均为有理数，如果它们中有三个数相等，求、的值解析依题意，否则无意义若，则，矛盾所以若，则由或都得到，矛盾所以因此，三个相等的代数式只能是：（1）或（2）由得当时，由（1）得，矛盾；由（2）得，矛盾所以当时，由（1）得，由（2）得，所以，1.3.20表示不超过实数的最大整数，令（1）找出一个实数满足；（2）证明：满足上述等式的，都不是有理数解析设，则、是整数，由题设，所以，令，则，再验证它满足（1）取，则，于是，所以（2）设，其中、是整数，则，于是，当时，均不满足当时，若，其中为正整数，则由于，且与同奇偶，所以或均不可能故不是完全平方数，从而是无理数1.3.21设、是实数，对所有正整数，都是有理数，证明：是有理数解析由题意，都是有理数而有如下“递推关系”：，所以，从中解出即可设，则有，消去，得所以，当，即时，是有理数当时，若、全为0，则结论成立；若、中恰有一个为0，不妨设，则为有理数，从而为有理数；若，且、均不为0，则是有理数从而命题得证评注本题分析中给出的递推关系：非常重要遇到涉及类型的问题时，利用这一递推关系，可以帮助我们解题1.3.22设是给定的正有理数（1）若是一个三边长都是有理数的直角三角形的面积，证明：一定存在3个正有理数、，使得；（2）若存在3个正有理数、，满足证明：存在一个三边长都是有理数的直角三角形的三边长，、都是有理数，且，若，则，这与、都是有理数的假定矛盾，故不妨设，取，则、都是正有理数，且，（2）设三个正有理数、满足，则取，则、都是正有理数，且，即存在一个三边长、都是正有理数的直角三角形，它的面积等于27