初中数学竞赛专题复习 第二篇 平面几何 第14章 共点线与共线点试题 新人教版

第14章 共点线与共线点14.1 梅涅劳斯定理14.1.1设等腰直角三角形，是中点，在上，求证：.（试用梅氏定理证明）解析 如图，设与交于，则，由梅氏定理，得，又，故，故.14.1.2设是锐角三角形的边上的一点，是边上的一点，与相交于点，求.解析 由梅涅劳斯定理，得，故，.所以.14.1.3证明：锐角三角形一条高线的垂足在另两边及另两条高线的身影在同一直线上.解析 设的三条高线为、，在、上的身影分别为、，欲证、共线，先证、共线.由梅氏逆定理，知该结论为真，即，最后一步是由于.同理，、共线，故、四点共线.14.1.4已知是的高，在内，且，作与垂直，与垂直，、分别是垂足，连结并延长，交延长线于，求.解析 如图，设，则由梅氏定理.又由身影定理，于是，得.14.1.5如图，已知锐角三角形，是高，在、上的垂足分别是、，延长后交延长线于，若，求.解析 由图知，故. 由梅氏定理及身影定理，有，故，即， 移项并因式分解，得，于是，即是所求答案.14.1.6证明，两内角、平分线分别交对边于、，而的外角平分线交直线于，求证：、共线.解析 如图，既然的外角平分线直线相交，说明，不防设，则在延长线上.由角平分线性质知，故由梅氏逆定理知、共线.14.1.7已知不等边三角形，、的平分线分别交对边于、，的中垂线与直线交于，同理得到、，证明：、共线.解析 如图，不妨设的中垂线与延长线相交，连结，则，于是，因此，于是.同理，于是，由梅氏逆定理，知、共线.14.1.8已知：是的边上一点，是上一点，、分别在、上，与交于，与交于.求证：若，则.解析 如图，由梅氏定理，.于是.由于，故，于是，故.14.1.9已知的面积为，点、在上，且，点在上，且，、分别与交于点、，求四边形的面积.解析 这类题目基本且典型，显然有，而，于是下求.由梅氏定理，有，代入已知数值得，于是，从而.又由，即，得，从而，于是，故.14.1.10已知不等边锐角三角形，、是高，且位置如图所示，与中位线交于点，点、分别是的外心与垂心，求证：.解析 一个熟知事实是，.延长交直线于点，则有，延长交于点，于是只需证明，即只需证.由于，问题归结为，下面计算与.由梅氏定理知，于是.因，由正弦定理有，故上式为.证毕.14.1.11如图，已知、是圆的两条切线，为圆的一条割线，交于，在上，交于，求证：.解析 易知、为调和点列，于是.（见题12.3.13）由梅氏定理，因此.14.1.12 已知为的直径，弦，弦与交于，求证：平分.解析 如图，无非要证明，或证明，或证明.设与交于，与交于.由梅氏定理，得，故，即，得，证毕.14.1.13证明牛顿定理：设中，、分别在、上，、交于，则、的中点在一条直线上（牛顿线）.解析 设、的中点分别为、，则易由中位线知、共线，、共线，、共线.且（后者是截所得）.故由梅氏逆定理，知、共线.评注 此题亦可由面积证.14.1.14设等腰直线三角形中，是三角形内一点，连结并延长至，使，是中点，直线分别与、交于、，求证：是的中点.解析 如图，延长、，分别交直线于、，设，则由梅氏定理，有，而，故，即，或，或.又由梅氏定理，此即，所以，于是.14.1.15设的边的中点，是射线上一点，满足，是射线上一点，且与在边的同侧，满足，与交于，与交于，求.解析 设边长分别为、，由梅氏定理，由于，故，.接下去处理.延长与交于，则，故，又由梅氏定理，得，故平分，.故答案为.14.1.16在中，为的中点，以为直径的圆交、于另一点、.分别过点、作圆的切线和.证明：、和直线共点.解析 如图设交直线于点，与直线交于点.由条件，及圆以为直径，可知，于是. 为证、与直线共点，只需证明与重合.我们下证：.利用，可知，故，于是.同理可证.于是，其中为与的交点.对考虑割线，运用梅涅劳斯定理，可知，结合，可知，从而.再由可知，综合上式，得.命题获证.14.2 塞瓦定理14.2.1已知，向外外作长方形、，又设直线与直线交于，直线与直线交于，直线与直线交于，则、共点.解析 如图，设延长后交于，同理定义、（图中未画出）.连结、，则，同理，故，、共点或平行，由于、均在内，故平行不可能.14.2.2已知内有一点，今过点作一直线与关于的角平分线对称，同样，过点、分别作直线、，求证：、交于一点.解析 如图，设与直线交于，则，同理，.于是，由塞瓦逆定理，即知、共点.这个公共点，称为的等角共轭点.14.2.3已知，向外作相似的等腰三角形、及，其中、是顶角.求证：、交于一点.解析 如图，不妨设与交于，同理定义、.设，则，由塞瓦逆定理，便得结论.14.2.4已知：中，、是角平分线，则当且仅当.解析 当，延长至任一点，则，于是至距离等于至距离；又平分，故至距离等于至距离，因此可知平分，同理平分，故.反之，若，过作，与、延长线分别交于、，则由塞瓦定理知，于是，故，即平分，于是过作、的垂线，不难得出平分，于是.14.2.5已知中，、分别在、上，、交于，延长后交于，与交于，与交于，、延长后分别交于、，求.解析 由塞瓦定理易知，又由梅氏定理，两式相除，注意，得.易得，同理，故.14.2.6如图，是锐角的角平分线，于点，于点，与交于点，求证：.解析 作，易知，故而有，于是.又由，故由塞瓦逆定理知、共点.于是.14.2.7锐角，向外作和， 使得，若、交于点，求证：.解析 为证明结论，我们干脆作的高，设法证明、与共点.由及知.设与交于点，与交于点，则有.于是由塞瓦逆定理，结论成立，最后一步用到的仍是.14.2.8中，、分别在边、上，且、共点于.也在上，且与的中点重合，同理定义、.求证：、也共点.解析 由塞瓦定理和逆定理，注意到等，立得结果.评注 新共点与点互为等边共轭点.14.2.9设的边、上分别有点、，且、共点，又的边、上分别有点、，、也共点，求证：、共点.解析 如图，又设延长后与交于（为简洁起见，图中未图出），同理定义、.于是，同理，由条件及塞瓦定理，得，于是、共点.14.2.10一个三角形的一边上的高、第二边上的中线与第三边上的角平分线交于一点，这个三角形一定是正三角形吗？解析 不一定.不妨设中，、分别为高、中线与角平分线，于是，若三线交于一点，则由塞瓦定理（此处设，），知有.而由，知，于是有，.例如令，则.14.2.11 如图，、是两条切线，与是任意两条割线，求证：、与交于一点.解析 本题无疑是要运用塞瓦逆定理，比如在中，知只需证.由圆内接四边形对角互补知，上式等价于，化简，得.由、及，得，于是.14.2.14设的内切圆分别与、切于点、，于点，与交于点，与交于点，求证：、与共点.解析 易知，由塞瓦逆定理，知三线共点.评注 此处这个条件多余，但可用来证明平分.证明如下：设中内角为、，于是易知，故，又由，故，于是命题得证.14.2.13已知凸四边形，是上任一点，延长、，分别交、于、，求证：.解析 如图，分别作，且、共线，、共线，设与交于.由塞瓦定理及角平分线性质定理，有.但，于是.又，故，于是.14.2.14设、分别是的边和上的点，、分别是与、与的交点.证明：若，点、共圆，则.解析 如图，延长交于，为证，只需证明.而、共圆，故，于是只需证明为的平分线.对的割线及其内一点分别利用梅涅劳斯定理和塞瓦定理，得，.所以， .在射线上取一点，使得，则由，可知为的外角平分线，于是，利用内、外角平分线定理，可知.从而，.对比式得，故与重合，因此，为的角平分线.14.2.15给定，点为内一点，使得，；为内一点，使得，；为内一点，使得，.证明：、和三线共点，且该公共点在的外接圆上.解析 延长交于点，则，即为的平分线，于是，.而由条件，易知，故（这里、为的三边长），从而，故.同理可证：，其中为与的交点，为与的交点（图中、未画出）.从而.于是，由塞瓦定理的逆定理可知、三线共点.设上述公共点为，为的外心，则，故、四点共圆.于是设交这个圆于另一点，则为的中点.结合，可知为、所共圆的直径.因此，类似可证，.所以，、在以为直径的圆上. 14.3 其他问题14.3.1求证：已知，点是上一点，则有；反之，若上式成立，且（即不是“反方向”的），则点、共线.解析 如图，由，得，两边同时除以，即得结论.为证三点共线，只需将上述过程反过来，得，于是点、共线.14.3.2已知及直线，在上的身影为，在上的身影为，类似地定义，和、，求证：、和共点.解析 如图，只需证明（、未画出）.由于，同理，于是三式相加，便知结论成立.14.3.3.锐角三角形中，、是两条高，为的垂心，、分别是、的中点.证明：、和共点，这里为的外心.解析 如图，由条件，可知和都是等腰直角三角形，而为、的中垂线上的点，故，于是，从而四边形为平行四边形.故与的交点为的中点.另一方面，、为、的中点，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知，.即四边形为菱形，所以与的交点亦是的中点.从而命题获证.14.3.4四边形与都是正方形，且点、共线，点、共线，连结、，点在上的射影是点，点在上的射影是点，求证：点、共线.解析 设与交于点，又设，.于是由，有，即点与点重合.14.3.5在矩形的边、上分别取异于顶点的、，已知.证明与的交点在矩形的对角线上.解析 连结、.因为，与相交于，所以，可得，.又因，所以，则；因此.综上，所以，可得，即、共线.14.3.6证明：如果一个梯形内的（）个点到梯形四边距离之和相等，那么这个点共线.解析 如图，延长梯形的腰、交于点.设为这个点中的一个点，过作一直线，交、于点、，使得为等腰三角形（）.设是这个点中的另一个点，我们证明在直线上.由条件到、的距离和等于到、的距离和.若在四边形内，则，从而，这里表示点到直线的距离.结合，可得，矛盾.类似地，若在四边形内，则，亦矛盾.故在线段上.14.3.7设四边形仅有一个内角是直角，且两对角线相等，则对边中垂线交点与直角顶点共线.解析 如图，设四边形中，作矩形，则，又设的中垂线与之中垂线交于，则易知，于是、均在中垂线上.同理、中垂线之交点也在中垂线上，故而结论成立.14.3.8等腰梯形中.将绕点旋转一个角度，得一个新的.证明：线段、和的中点共线.解析 如图，设、的中点分别为、，为的中点.并设，则，且，即为等腰三角形，并且等于减去与所成的角.注意到，所以，从而.于是.另一方面，而，故.综上，.故、共线.14.3.9直角三角形中，是斜边，为斜边上的高，以为圆心、为半径作.过作的割线，交于点和，交于点（在与之间）.在上取一点，使得，且与不在的同一侧.证明：、三点共线.解析 延长交于点，我们证明与重合，即证.由知为的切线，故.再在中，为高，从而由身影定理可知，所以，故、共圆，因此.注意到，故（这里再次用到、共圆），结合前面的结果，可知.由圆的对称性，即得.14.3.10设锐角三角形，、为高，是垂心，、分别在、上，且，求证：、的中垂线之交点在上.解析 如图，若设、中垂线分别交于、（、在图中未画出），只要证明，即知结论成立.由于，而，故只需证明或即可.由条件知，故.结论证毕.14.3.11的内切圆切边、于点、，直线与该内切圆切于劣弧内一点，分别交、于点、.为与的交点.证明：在线段上.解析 设交于点，的内切圆切与于点、.交于点，先证：与重合.由正弦定理，可知，结合，可知.同理可证：.所以，由及，可知，即与重合.这表明过与的交点.类似可知，与与的交点.所以，与的交点在线段上.14.3.12在中，.、分别为边、上的点，使得四边形为正方形.设为过所作的外接圆的切线.证明：、和三线共点.解析 设交直线于点，连延长交于点.只需证明与重合.记的三边长分别为、，而正方形的边长为.则由，可知，故.由为外接圆的切线，得，而为公共角，故，从而，于是，即，从而，结合，可知，故，.所以，即.而.所以，故与重合，命题获证.14.3.13、均为圆的切线，是该圆的一条能弦，与圆交于点、，已知，点为中点，求证：点、共线，这里为与的交点.解析 连结、，易知题目无非是要证明.易知，于是问题转变为求证.由切线性质知，于是根据三角形面积公式，有，于是待证式又变为求证.事实上，这是由于，且.20