初中数学竞赛专题复习 第一篇 代数 第6章 函数试题2 新人教版

第6章 函数6.3.35 已知点、的坐标分别为、，点是抛物线上一个动点（1）判断以点为圆心，为半径的圆与直线的位置关系；（2）设直线与抛物线的另一个交点为，连结、，求证：解析（1）设点的坐标为，则，而点到直线的距离为所以，以点为圆心，为半径的圆与直线相切（2）过点、分别作直线的垂线，垂足分别为、，由（1）知，同理可得，因为，、都垂直于直线，所以，于是，于是，所以，于是，从而6.3. 36 已知抛物线和抛物线相交于、两点，是在抛物线上且位于和之间的一点，是在抛物线上且位于和之间的一点（1）求线段的长；（2）当轴时，求长度的最大值解析（1）解方程组得 所以，点、的坐标分别是、，于是（2）当轴时，可设点、的坐标分别为、，于是 ，当时等号成立故的长的最大值为86.3.37 求使得不等式，当时恒成立的实数对解析 令），此二次函数图象的对称轴为，开口向上（1）当时，有，由、，得于是，这与式矛盾（2）当时，有，由、，得于是，结合式，得，从而，即为所求的实数对（3）当时，有，即由、，得，与式矛盾（4）当时，有，即由、，得，即，与式矛盾综上得满足题设条件的数对为6.3.38 设是正整数如果二次函数和反比例函数的图象有公共整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求的值和对应的公共整点解析 联立方程组消去得，即，分解因式得如果两个函数的图象有公共整点，则方程必有整数根，从而关于的一元二次方程必有整数根，所以一元二次方程的判别式应该是一个完全平方数，而所以应该是一个完全平方数，设（其中为非负整数），则即显然与的奇偶性相同，且，而，所以或或解得或或而是正整数，所以只可能或当时，方程即，它的两根分别为2和，易求得两个函数的图象有公共整点和当时，方程即，它的两根分别为1和，易求得两个函数的图象有公共整点（1，-25）和（-251）6.3.39 （1）证明：若二次函数的值当，时均是整数，则对任何整数、的值也是整数；（2）若对任何整数，的值是整数，、是否必是整数？解析（1）由条件，、都是整数，因此与是整数，也是整数当是偶数时，设，则，因为、是整数，所以是整数当为奇数时，设，则仍是整数（2）因为时，故必是整数，但、不一定是整数例如函数由于对任何整数，与中必有一个是偶数，因此是整数，的值必是整数但这个函数的系数不全是整数6.3. 40 给定二次三项式已知方程有四个不同实根，且其中两个根的和等于证明：解析 我们用、表示方程，的根，、表示方程的两个和为的根后一方程的根的集合等于方程与根的集合的并集如果、同时是这两个方程中的某一个的根，由韦达定理，故这推出再利用方程的判别式非负，得，这推出现在考虑另一种情况，不失一般性可写成，将它们相加得由韦达定理和已知条件得，故64含绝对值的函数6.4.1 作函数的图象解析 当时，；当时，；当时，所以它的图象如图所示6.4.2 把一抛物线在轴上方的部分，改成它关于轴对称的图形，得到图中实线表示的曲线，则该曲线是下列函数（ ）的图象ABCD解析 先按图象求出原抛物线所对应的二次函数，然后根据实数绝对值的意义找出实线所表示的曲线是哪一个函数的图象原抛物线的顶点为（2，4），开口向下，原抛物线所对应的二次函数可写成，图中实线部分过点，故原抛物线过，于是有，原抛物线对应的二次函数是，即因此，实线部分是函数的图象选（ D）6.4.3 作函数的图象解析 当或3时，于是；当时，于是.所以于是，得图象如图所示6.4.4求下列函数的最小值：（1）；（2）；（3）解析（1）按实数绝对值的意义对）而言，的最小值为；对而言，的最小值为.由此可见，当时，取最小值.（2）根据第（1）小题的结论，函数在时取最小值；又函数显然在时取最小值0故在对取最小值（3）根据第（1）小题的结论，函数在时取最小值；函数在时取最小值；函数在时取最小值.注意到，就知当时取最小值.评注 第（1）小题中，为了应用一次函数求最大（小）值的方法，把变成分段函数如果把理解为数轴上点到点的距离，那么不脱去绝对值号，也能分析得出，只有当点在点，与之间（包括、）时，才能使点点和的距离和（即）最小，其最小值为与间的距离.通过第（2），（3）小题的解答，我们容易把本例的结果推广到一般情况即对个实常数，求的最小值由于，中有些允许相等，因此，我们应该会求函数的最小值，这里，都是正整数.6.4.5 点满足方程，求它的图象所围成区域的面积解析 当，时，即当，时，即当，时，即当，时，即于是，所得图象如图所示由此可知，的图象是一个对角线长为4，边长为的正方形，因此所求区域面积为6.4.6 是什么实数时，方程有四个互不相等的实数根？解析1 将原方程变形为令，则它的图象如图，而是一条与轴平行的直线原方程有四个互不相等的实根，即直线应与曲线有四个不同的交点，由图象可知，当，即时，直线与曲线有四个不同的交点，所以，当时，方程有四个互不相等的实数根评注 本题是一个方程问题，我们利用图形来研究，这是一种非常重要的思想方洼数形结合法当然，本题不用图象也是可以解的，下面给出解法，请读者比较一下解析2 原方程变形为所以，要使这4个数互不相等，必须，且，即6.4.7 如果满足的实数恰有6个，求实数的值解析 本题先分段讨论脱去绝对号，再研究为何值时方程有6个实根，由于绝对号内套绝对号，则相当繁琐注意到方程的实根个数就是函数的图象与直线y-a的公共点的个数，因此只要设法画出函数的图象为了作出函数的图象，我们分两步，先作出函数，即的图象（图（1）中的实线）接着将上述图象向下移动10个单位，并将轴下方的部分改成它关于z轴对称的图形，这样就得到函数图象（图（2）于是，由图应知与T轴平行的直线中只有直线与该函数图象有6个公共点故6.4.8 已知，试确定关于的方程的解的个数解析 先画出函数，即的图象，再画直线（如图）注意到该直线经过定点，且在轴上的截距满足易见，直线与函数图象的公共点有3个，故原方程有3个解6.4.9 若函数与的图象围成一个平面区域，求实数的取值范围及这个区域的面积解析 函数可化为作出其图象（如图）若直线和曲线围成平面区域，则要使直线与曲线有两个交点故，即这时交点）、作轴于点，轴于点则6.4.10 求使方程恰好有两个解的所有实数解析 先作出的图象由可得图象如图所示：从图中可知，当且仅当或时，的图象与有两个不同的交点所以，所求的为或评注 本题解答所用的方法是“数形结合法”，通过函数的图象，可以“直观”地解决问题本题也可以通过分类讨论的方法解决，请读者自己试一试6.4.11 设，、为实数若在时的最大值为，求的最小值解析 当实数、在实数范围内变化时，在时的最小值当然也在变化，要求在的这种变化中能达到的最小值先借助绝对值不等式求出的下界然后构造一个例子证实这个下界能够达到，从而判定这个下界即是所求的的最小值按的定义，于是，所以，若取，则的图象如图所示，此时所以，的最小值是6.4.12 设函数，的最大值是，求的解析式，并求出的最小值解析 时，；时，（1）当，在内递增，在内递减，在内递增当，即时，最大值为；当，即时，最大值为；当时，最大值为，即i）当即时，最大值为；ii）当即时，最大值为；（2）当，最大值为1（3）当，在内递增，最大值为所以的最小值（在时取到）评注 将绝对值符号去掉后，化为定区间动对称轴的二次函数最大值问题是关于的一个分段函数，其最小值是各段的最小值之最小值6.4.13 规定表示取、中的较大者，例如，求函数的最小值，并求当取最小值时自变量的值解析 的含义是，对每一个实数，等于与中的较大者，因为与的图象都能很容易作出，而的图象由的图象及的图象中的上方部分组成因此）的图象也可画出在同一直角坐标系中分别画出与的图像（如图）两图象有四个交点、，它们的横坐标可由方程解得去绝对值号，得或，解得，由图易见、的横坐标顺次是、按的定义，它的图象为图中的实线部分所示，点的纵坐标为函数的最小值，此最小值为6.4. 14 设函数，对任意正实数，且，求最小的实数，使得解析 先用递推关系推出函数的解析式，然后再求解由已知条件得当时，令，则，此时即得，当时，令，则，于是以此类推可得所以由于，而，所以，最小的满足的实数6.5函数的最大值和最小值6.5.1 设是大于零的常数，且，求的最大值与最小值解析 下面对一次项系数分两种情况讨论（1）当时，于是函数的函数值是随着的增加而增加的，所以当时，取最小值；当时，取最大值（2）当时，于是函数的函数值是随着的增加而减少的，所以当时，取最大值；当时，取最小值6. 5.2 已知、是非负实数，且满足条件，求的最大值和最小值解析 设条件给出两个方程，三个未知数、，当然，、的具体数值是不能求出的，但是，我们固定其中一个，不妨固定，那么、都可以用来表示，于是便是的函数了从已知条件可解得，所以又、均为非负实数，所以解得由于是随着的增加而减小的，所以当时，有最大值130；当时，有最小值1206.5.3 实数、满足，且，求的最大值和最小值解析 设，则，且所以，所以，当，时等号成立，故的最大值为25又，所以，当，时等号成立，所以的最小值为206.5.4 设，求二次函数在时的最大值和最小值解析 因，故函数的对称轴方程为我们按是否满足（即是否在自变量的取值范围内）分别讨论（1）当满足时，由于二次函数的二次项系数为负数，故函数在时取得最大值由于函数值在时随增大而减小，而在时随增大而增大，故函数在时最小值在或处取得，在这两点处的函数值的较小者就是最小值，注意，若点（0，0）到对称轴的距离比点（1，0）到对称轴的距离近，则函数在处的值便不小于在处的值否则，函数在处的值就不大于在处的值，因此我们进一步区分两种情况：若，如图（1），函数在有最小值若，如图（2），函数在处有最小值0（2）当时，如图（3），函数在处有最大值，在处有最小值0综上所述，当时，最大值为，最小值为；当时，最大值为，最小值为；当时，最大值为，最小值为06.5.5 如果抛物线与轴的交点为、，顶点为，求三角形的面积的最小值解析 首先，所以抛物线与轴总有两个交点，设抛物线与轴的交点为、，那么又抛物线的顶点坐标是，所以当时等号成立所以，的面积的最小值为16.5.6 已知、是方程（是实数）的两个实数根，求最大值和最小值解析 由于二次方程有实根，所以，解得由于在上是减函数，可见当时，有最大值18，当时，有最小值6.5.7 已知二次函数及实数，求：（1）函数在时的最小值；（2）函数在时的最小值，解析 由于自变量变化范围内含有参数，因此需分类讨论的图象是以为对称轴，开口向上的抛物线（如图）（1）当时，在对称轴的左侧，此时的最小值在时取到，即为当时，的最小值在时取到，即为（2）因，故当，且时，即当时，在对称轴的左侧的最小值在时取到，即为当，即时，的最小值在时取到，即为当时，的最小值在时取到，即为6.5.8 已知，的最小值为，求表示的代数式解析，它的图象是顶点在，开口向上，对称轴为的抛物线当抛物线的顶点的横坐标在左边时，即，这时抛物线在上是上升的，所以；当抛物线的顶点的横坐标在上时，即，这时；当抛物线的顶点的横坐标在的右边时，即，这时抛物线在上是下降的，所以6.5.9 设为非零实数，求函数的最大值与最小值解析 当时，的图象是开口向上的抛物线，其顶点的横坐标为由于与中至少有一个不小于1，故因此，的图象是一段在对称轴左侧的抛物线弧（如图），此时的最大值为，最小值为当时，的图象是开口向下的抛物线，其顶点横坐标，故的图象是一段在对称轴右侧抛物线弧，故的最大值还是，最小值还是综上所述，的最大值为，最小值为6.5.10 已知、都是正整数，且二次函数的图象与轴有两个不同的交点、，若、到原点的距离都小于1，求的最小值解析 设函数图象与轴的两个交点、坐标为、，且，则有又、为正整数，于是有，从而推知、均为负数因为，则，因此，由图，有，因为、为正整数，则显然成立由式得，即因为函数在时对应的值为，故的最小值就是函数在处的最小值，而，结合图象知当时取最小值，此时由式得由式、得，则所以，从而因此，当，时，取得最小值5+5+1=116.5.11 已知函数其中自变量为正整数，也是正整数，求为何值时，函数值最小解析 函数整理为，其对称轴为因为为正整数，故，因此，函数的最小值只可能在取、时达到（1）当时，此时由于是正整数，所以时使函数取得最小值；（2）当，即时，由于是正整数，而为小数，故不能在；达到最小值当时，；当时，考查（i）当，即或3时，取，使为最小值；（ii）当，即时，有，此时取2或3；（iii）当，即且为整数时，取，使为最小值函数值最小6.5.12 设，当声时，二次函数有最大值5；二次函数的最小值为，且；求的解析式和的值解析 由题设知，所以，由于在时有最大值5，故设，所以由于的最小值是，于是解得，从而6.5.13 已知二次函数同时满足：（1）；（2）当时，；（3）当时，有最大值2求常数、的值解析由（1）知为开口向上的抛物线，由（1）、（3）知由（2）知，由、知由、得故时，达到最小值，因此，由得故，6.5.14 设函数在的范围内的最小值为，最大值为，求实数对解析 由于二次函数，的对称轴为，所以，就、与对称轴的关系来讨论分三种情况：（1）当时，时单调递减，所以，即解得，（2）当时，在时单调递增，所以，即由于方程两根异号，所以，满足条件不存在（3）当时，此时，在处取最大值，即，故而在或处取最小值，由于，故，即，解得综上，或6.5.15 已知，且，求的最小值解析 令，由，判别式，所以这个二次函数的图象是一条开口向下的抛物线，且与轴有两个不同的交点、，因为，不妨设设，则，对称轴，于是，所以故 当，时，等号成立所以，的最小值为46.5. 16 求函数的最值解析 去分母、整理得当时，这是一个二次方程，因是实数，所以判别式，即解得当时，；当时，由此即知，当时，取最小值，当时，取最大值1评注 本题求最值的方法叫作判别法，这也是一种常用的方法但在用判别法求最值时，应特别注意这个最值能否取到，即是否有与最值相应的值6.5.17 设函数的最大值为4，最小值为，求、的值解析 将原函数去分母，并整理得因式实数，故即由题设知，的最大值为4，最小值为，所以，即由、得，所以所以，6.5.18 已知函数的最小值是2，最大值是6，求实数、的值解析 将原函数去分母，并整理得若，即是常数，就不可能有最小值2和最大值6了，所以，于是，即由题设，的最小值为2，最大值为6，所以，即比较、得解得，6.5.19 求函数的最大值和最小值解析 由得23