初中数学竞赛专题复习 第一篇 代数 第3章 一元方程试题2 新人教版

一元方程求的最在大值解析因为方程有两个不相等的实数根，所以，即结合题设知因为所以，即，解得由于，故设，因为在上是递减的，所以当时，的最大值为10故的最大值为103.3.13设、为互不相等的实数，且满足关系式，及，求的取值范围解析1由得，所以当时，又当时，由、得，将两边平方，结合得，化简得，故，解得，或所以，的取值范围为且，解析2因为，所以，所以又，所以、为关于的一元二次方程的两个不相等实数根，故，所以当时，另外，当是时，由式有，即，或，解得，或所以，的取值范围为且，3.3.14求使得关于的方程恰有一个实数根的所有实数解析原方程写成关于的一元二次方程，即，所以，所以无实数解，由判别式知3.3.15已知实数、满足，及，求的最小值解析已知，由题设知，且，所以、是如下关于的一元二次方程的两个根：，故，即，所以于是，从而，故，当，时等号成立所以，的最小值为303.3.16已知实数、满足：求证：解析构造以、为两实根的一元二次方程，含在这个方程的系数里，利用可证得由题设条件知，于是，、是关于的一元二次方程的两个实根，所以，得3.3.17设实数、满足，求证：、中必有一个大于解析由及知，、三个数中，一定是一正二负不妨设，由题设得，于是、是关于的一元二次方程的两个实根，因为，所以，故评注利用韦达定理，结合判别式是初中阶段处理不等式问题的常用技巧请大家熟练掌握3.3.18满足的所有实数对中，的最大值是多少？解析设，则，代入已知等式得，即，将它看成关于的一元二次方程因是实数，所以，即令，得，所以的解为，即的最大值是，这时，3.3.19、为实数，且满足，求的最大值和最小值解析由于，所以，上式可以看成关于的一元二次方程因为实数，所以，即，解得当时，代入中，得，即时，有最小值当时，代入，得，即时，有最大值3.3.20实数、满足，且对任何实数，都有不等式，求证：，解析因为对任何实数，有，当时，便有，所以由于，于是，于是、是一元二次方程所两个实数根，所以，即，所以同理可证，3.3.21实数、满足，求的最大值解析因为，所以、是关于的一元二次方程的两实根故，即，所以，当时，故的最大值为3.4一元二次方程根的分布3.4.1若二次方程的两个根都大于2，求实数的取值范围解析1作代换，则可把已知方程化成关于的二次方程，既然已知方程的两个根都大于2，那么关于的方程都是正根令，则代入已知方程，得，即因为已知方程的两个根都大于2，所以上面关于的二次方程的两根都是正数，故解方程组，得这就是所求的的取值范围解析2考察的图象（如图），因的两根、都大于2，故它的对称轴在直线的右侧，顶点不在轴的上方，且当时，即反过来，上面三个条件满足后，的两根必都大于2解上述不等式组，得的取值范围为3.4.2设关于的方程有两个不相等的实数根、，且，求的取值范围解析由于方程有两个不相等的实根，故，原方程可变形为记，则这个抛物线开口向上，因，故当时，即解得3.4.3已知关于的实系数二次方程有两个实数根、证明：如果，那么且解析由韦达定理（根与系数的关系），有另一方面，由函数的图象（如图）易知函数在时均为正值，即，从而3.4.4已知、是实数，为了使二次方程与都有实根，并且其中任一方程的两根被另一方程的根分隔开业，系数、应满足什么条件？解析，的图象都是开口向上，且形状大小相同的抛物线（如图）因为的两根被的两根分隔开来，所以，两条抛物线在轴下方有一个公共点反过来，两条抛物线在轴下方有一个公共点也能推知与都有实根，且其中任一方程的两根被另一方程的根分隔开来由得在的条件下，这就是两条抛物线公共点的横坐标故，即反之，当上面不等式成立时，必有故上面的不等式即是所求的条件3.4.5方程（是常数）有两实根、，且，那么的取值范围是（ ）ABC或D无解解析用根与系数关系设，则原方程变为，整理，得原方程两根为、，所以上述方程的两根为，又因为，所以，即，所以，解得又，即，亦即，解得或又由得，即，解得或可证明，满足、的、必满足，所以的范围是、的公共部分，即或故应选3.4.6已知方程有一个根小于，另一个根大于0，求的取值范围解析设，则的图象为开口向上的抛物线，该抛物线与轴的一个交点在左侧，另一个交点在0右侧的位置，如图所示因此，一个根小于，另一个根大于0的等价条件是故的取值范围为3.4.7设二次方程的系数、都是奇数它的两个实根、满足，若，求、解析设，则有从而因为，那么，因为是奇数，得，从而又因为，且是奇数，则，因此方程的根，满足要求当时，二次方程的系数仍是奇数，判别式，且两个实根与的相同因为它的二次项系数，故应用上一段的结果，的两个实根是，这也就是所求的的根3.4.8设二次函数，方程的根为、，且，当时，试比较与的大小关系解析1已知方程，整理为由韦达定理得根据题意，则，所以，得到又是方程的根，则，由可知又因为开口向上，在时是单调递减的，且由题意，因此解析2由已知方程的两根为、，则有，即因为，由题意，得又由，可得，综合、，有，所以评注题目要求比较与的大小，解析1是去比较与的大小关系，利用不等式得到，从而解决此题而解析是利用已知二次方程的两根，把函数写成的形式，通过作差比较来解决此题的3.4.9若关于的方程至少有一个实根大于0且小于1，求实数的取值范围解析设方程的两根为、且，那么由根与系数的关系得，故由此可知，或，或，记，则的图象如图1或图2所示故方程至少有一个实根大于0且小于1等价于（注意：在第二种情况中由可推出）：或或或，故的取值范围为评注不等式组中，表示抛物线的顶点在轴下方或在轴上，这个不等式也可用代替；分类讨论是数学解题的一种重要方法，我们要留意这方面的培养和训练；本题也可不求另一根的取值范围，直接对抛物线的对称轴的位置进行分类讨论即分，四种情况分别求出方程至少有一个实根大于0且小于1的的取值范围，然后合并得解3.4.10若关于的方程的所有根都是比1小的正实数根，求实数的取值范围解析首先，题目没有指明已知方程为二次方程，因此对二次项系数应分等于零不等于零两种情况讨论对的情况，再借助于二次函数的图象及不等式求出的取值范围当时，原方程为，满足条件当时，原方程为，不满足条件当时，已知方程为二次方程，且可化成设，则二次方程的两实根都是比1小的正数，等价于该抛物线与轴的两个公共点（包括两个公共点重合）都在大于0且小于1的范围内（如图），由此得综上所述，所求的的取值范围为或3.4.11使关于的不等式成立的的最小值为，试求的值解析已知不等式即按题设是它最小的解，因而该不等式的解必成的形状，其中和都不等式相应的二次方程的实根（这里能允许，即二次方程有两个相等实根，由已知不等式得），是这个不等式的最小解，故上列不等式的解是，这里、都是二次方程的根于是有，即解之，得或当时，已知不等式即，它的解为，满足题意当时，已知不等式即，它的解为，满足题意综上所述，的值为或评注解得或后，检验6或是否满足题意是必须的这是因为当时仅知当或时，方程有一个根为，而不知道另一实根是否不小于3.4.12设、是整数，且方程的两个不同的正数根都小于1，求的最小值解析已知方程有两个不同正数根，又，已知方程可化成记，则的两个不同正数根都小于1等价于为整数，故为正整数，于是于是当时，不存在；当时，整数不存在；当时，整数可取换句话说，方程符合题目要求，故的最小值为33.4.13设实数、满足条件，且，求证：方程有一根，满足解析当时，若，方程的根为，又，则，即；若，则，那么任何实数都是原方程的根，因此必有一根使得当时，令，则有若，则，所以必有一根满足；若，则，所以必有一根满足3.4.14已知、为实数，并且证明：一元二次方程有一个介于与1之间解析由题意，可以不妨设（否则多项式乘以，并用、代替、即可），则由得考虑运用二次函数图象特点转化问题为证明函数有，由可得，即有，又由可得，即有因此，函数的图象与轴必有一个交点，它的横坐标在与1之间，即方程必有一根介于与1之间3.5一元二次方程的整数根3.5.1设、为质数，且方程有整数解，求、的值解析设是方程的整数解，是方程的另一个解则由为整数及知，也是整数，且，故、都是负整数利用及为质数，可知，和及对称的情形，于是，或由及为质数，可知只能是如果为奇数，则为偶数，结合为质数知，导致，矛盾所以为偶数，故，3.5.2已知是质数，使得关于的二次方程的两根都是整数，求出所有可能的的值解析因为这是一个系数一元二次方程，它有整数根，所以为完全平方数，从而为完全平方数令，由于，所以，因为为质数，且，故只可能或解得或当时，原方程为，；当时，原方程为，故和都满足条件于是所有可能的值为或评注利用是完全平方数，进而解一个不定方程是求解一元二次方程整数根的常用方法3.5.3已知、都是整数，且对一切实数，都成立，求所有这样的有序数组解析恒成立，即恒成立，这说明有两个整数根、所以是一个完全平方数，令其为，是正整数，则由于与同奇偶，且均大于0，所以或解得或当时，方程的两根为，；当时，所以，满足条件的有序组共有如下组：，3.5.4求所有的有理数，使得关于的方程的所有根是整数解析首先对和进行讨论当时，是关于的一次方程；当时，是关于的二次方程，由于是有理数，用直接求根的方法或用判别式来解，都有些困难，故可考虑用韦达定理，先把消去当时，原方程为，所以当时，原方程是关于的一元二次方程，设它的两个整数根为、，且，则消去，得，所以或解得或所以，或1综上所述，当，时，方程的所有根都是整数3.5.5已知是正整数，且使得关于的一元二次方程至少有一个整数根，求的值解析将原方程变形为，显然，于是由于是正整数，所以，即，所以当，0，1，2时，得的值为1、6、10、3、1所以，的值为1、3、6、10评注从解题过程中知，当时，有两个整数根、；当，10时，方程只有一个整数根有时候，在关于的一元二次方程中，如果参数是一次的，可以先对这个参数来求解本题利用判别式也是可以求解的是完全平方数，故是平方数，且为奇数的平方，令，是正整数，则原方程可化为，所以，或，故，或，或，所以，的值为、3.5.6关于的二次方程19