初中数学竞赛专题复习 第一篇 代数 第6章 函数试题3 新人教版

第6章 函数令，则，当时，函数取最小值，此时有，得当时，函数取最大值，此时，所以，当时，取最小值；当时，取最大值56.5.20 实数、满足，求的最小值解析 令，则，整理得，因为是实数，所以，即所以因为是实数，所以，所以，得当时，所以，的小最小值为（在，时取到）评注 消去成为二元二次多项式，二次使用判别式再消去、，最后得到的范围，反过来，若，则，所以不等式有实数解（存在），所以，所以方程有实数解（存在），所以也存在至此，是的取值范围6.5.21 求函数在上的最小值、最大值解析 所以（在，即时取到），（在，即时取到）评注 本题利用配方法、换元法将关于的四次函数式化为关于的二次函数式，代换时注意的范围6.5.22 (1)求函数的最小值和最大值；(2)求函数的最大值解析 （1），所以，（在或4时取到），（在时取到）（2）设，则，所以所以，（在即时取到）6.5.23 求函数的最小值解析 易知定义域为或因为在上递减，在上递增，所以在上递减，在上递增所以，所以，（在时取到）评注 本题的函数可看成两个函数的和而这两个函数在定义域内的单调性是一致的，利用“单调性一致的两个函数的和仍具有相同单调性”这一性质求出各个单调区间上的最小值，再比较得出结论6.5.24 求函数的最小值和最大值解析 先求定义域由得，当，且增加时，增大，而减小，于是是随着的增加而减小，即在区间上是减函数所以，6.5.25 已知实数、满足，求的最小值和最大值解析 因为，所以，又当时，故又因为， 所以，又当，时，所以评注 1本题所用的方法是不等式法先用不等式估计出的上、下界，再举例说明所得的上、下界是可以达到的，从而这就是所要求的最大值和最小值2式这个不等式大家经常忽略，其实我们可以利用不等式来解决与之间的上、下界关系6.5.26 设是正实数，求函数的最小值解析 先估计的下界，又当时，所以，的最小值为1评注 在求最小(大)值，估计了下(上)界后，一定要举例说明这个界是能取到的，才能说这就是最小(大)值，否则就不一定对了例如，本题我们也可以这样估计：，但无论取什么值时，取不到3，即3不能作为的最小值6.5.27 设、是实数，求的最小值解析 先将看作是的二次函数(把看作常数)，进行配方后，再把余下的关于的代数式写成的二次函数，再配方后，便可估计出下界来，又当，时，所以，的最小值为16.5.28 对实数、，求代数式的最小值解析 因为，当，时等号成立，故所求的最小值为6.5.29 若是实数，求的最大值解析 由得，设，则，所以，故，当时等号成立所以，最大值为6.5.30 已知实数、满足等式，求的最大值和最小值解析 令，则，于是有因为，所以上述关于的二次方程有实数解，从而推知，即当时，代入关于的方程得，即，当时，得，所以当，时，取得最小值；当，时，取得最大值6.5.31 求函数的最大值和最小值解析 由，得由，故，当时等号成立故的最小值是又因为，故，当时等号成立故的最大值是评注 本题求最大值时用了一个不等式：6.5.32 若，求的最小值解析 设，则，于是，把它们相加得，故，当，时，等号成立所以，的最小值为196.5.33 已知，求的最大值和最小值解析 令，则，于是，所以，当，即时，取最大值；当时，即时，取最小值26.5.34 已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形(如图)，其中，试在上求一点，使矩形有最大面积解析 设矩形的边，于是矩形的面积，易知，且有，即，所以，二次函数的图象开口向下，对称轴为，故当时，函数值是随的增加而增加，所以，对满足的来说，当时有最大值6.5.35 实数、使得对于所有满足的实数，都有，求的最大值解析 不妨设，用代替，得，不改变它的界和，故设令，由，可得，若，则若，则，故又当时，满足题设条件，且所以所以，所求的最大值为3006.5.36 某环形道路上顺时针排列有4所中学、，它们顺次有彩电15台、8台、5台、12台，为使各校的彩电数相同，允许一些中学向相邻中学调出彩电，问怎样调配才能使调出的彩电总台数最小?并求出调出彩电的最小总台数解析 设中学调给中学台彩电(若为负数，则认为是中学向中学调出台彩电，下同)，中学凋给中学台彩电，中学调给中学台彩电，中学调给中学台彩电因为共有40台彩电，平均每校10台，因此，即我们将、都用来表示，即得因此，本题要求的最小值，其中，且为整数，为方便起见，我们分情况讨论如下：的范围的表达式最小值及对应的值当时有最小值14当时有最小值010当时取最小值0无最小值由上表可知，当时，取得最小值10又由于是正整数，即当，3，4，5时，有最小值10当时，；当时，；当时，；当时，故有如下四个方案，且调出的彩电最小总数为106.5.37 某人租用一辆汽车由城前往城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间(单位：)如图所示若汽车行驶的平均速度为，而汽车每行驶需要的平均费用为1.2元，试指出此人从城出发到城的最短路线(要有推理过程)，并求出所需费用最少为多少元?解析 从城出发到达城的路线分成两类：(1)从城出发到达城，经过城因为从城到城所需最短时间为，从城到城所需最短时间，所以，此类路线所需最短时间为(2)从城出发到达城，不经过城这时从城到达城，必定经过、城或、城，所需时间至少为综上，从城到达城所需的最短时间为，所走的路线为所需费用最少为80481.2=4608(元)6.5.38 市、市和市分别有某种机器10台、10台和8台现在决定把这些机器支援给市18台，市10台已知：从市调运一台机器到市、市的运费分别为200元和800元；从市调运一台机器到市、市的运费分别为300元和700元；从市调运一台机器到市、市的运费分别为400元和500元(1)设从市、市各调台到市，当28台机器全部调运完毕后，求总运费(元)关于(台)的函数式，并求的最小值和最大值；(2)设从市调台到市，市调台到市，当28台机器全部调运完毕后，用、表示总运费 (元)，并求的最小值和最大值解析 (1)由题设知，市、市、市发往市的机器台数分别为、，发往市的机器台数分别为、于是又，所以所以59，所以（59，是整数）由上式可知，是随着的增加而减少的，所以当时，取到最小值10 000元；当时，取到最大值13 200元(2)由题设知，市、市、市发往市的机器台数分别为、，发往市的机器台数分别为、于是又，所以所以，且、为整数当，时，所以的最小值为9800又，当，时，所以的最小值为142006.5.39 设，是整数，并且满足：（1），1，2，；（2）；（3）；求的最大值和最小值解析 设，中有个1，个1，个2，由题设得可得所以故，所以又当，时，；当，时，所以的最小值为19，最大值为1336.5.40求函数的最大值，并求此时的值，其中表示不超过的最大整数解析 设，则，这里是的小数部分，因为，所以故当，即（是整数）时，取最大值6.5.41 求的最小值解析 在直角坐标系中，设、，则，所以，当且仅当、三点共线时等号成立即当且仅当、三点共线时原式取最小值此时，如图，易知，故有，从而故当时，的最小值为106.5.42 已知实数、满足，（1）求、中的最大者的最小值；（2）求的最小值解析 （1）不妨设则由题设知，且，于是、是一元二次方程的两实根，所以又，时，满足题意故、中的最大者的最小值为4（2）因为，所以、为全大于0或一正二负(i)若、均大于0，则；（ii）若、为一正二负，设，则、均小于0，由（1）知，故当，时，等号成立故的最小值为66.5.43 整数，满足条件：，求的最小值解析 由已知可得，于是，又，则，即由为整数可得是偶数，比较与的大小，可得当，时等号成立，所以的最小值为346.5.44 设、是正整数，且满足，求的最大值解析 由条件等式的对称性，不妨设，由题设，有，由此得，即若，则，此时题设等式成为，矛盾若，则，即当时，容易解得，是满足条件的解，即是能达到的所以，的最大值是56.5.45 实数、使得关于、的方程组有实数解（1）求证：，（2）求的最小值解析 （1）由方程知，且，所以，当时，当时，故（2）将代入方程，得，所以因方程组有实数解，所以方程在或的范围内至少有一个实根（i）当，有，或即，或若，即时，由此得，所以当时，上述不等式等号成立，此时若，即时，对于满足或的任意实数，均有（ii）当时，则综上，的最小值为6.5.46 设函数定义为求在区间上的最大值解析 因为，即由定义知下面证明，（1）若，且是无理数，则（2）若，且是有理数，设，其中，由于，所以故，所以，因此综上所述，在区间上的最大值为6.5.47 关于、的方程组有实数解(，)，求正实数的最小值解析 由第一个方程得，进而由第二个方程得由得，即由此可见，开口向上的抛物线经过不在轴上方的点（，），从而该抛物线与轴有公共点所以，即，（因为）又当时，所以，的最小值为6.5.48 设、是正整数，关于的一元二次方程的两实数根的绝对值均小于，求的最小值解析 设方程的两实数根为、，由韦达定理知，、均为负数由，得，所以，得，故又，所以，故（1）当时，由，及知，或12，但方程有根，不合题意；方程的两根为、，也不合题意（2）当时，由，及知，11，12，13，14，15，16，故由，得，易知（11，12，16）为增函数，而，故只能为16此时，而的两根为满足题意（3）当时，所以，于是若，只能，此时方程的两根为，不合题意，故此时综上所述，的最小值为256.5.49 求满足下述条件的最小正实数：对任意不小于的4个互不相同的实数、，都存在、的一个排列、，使得方程有4个互不相同的实数根解析 所求最小正实数一方面，若，取、，使得，则对（，）的任意排列（，），方程的判别式，该方程无实数根所以，另一方面，设、是不小于4的4个不同实数，不妨设，考察方程, 和 首先，故、都有两个不同实根其次，若与有公共实根，则两式相减，得，这时，矛盾所以，与没有公共实根，从而符合要求综上，问题的答案为6.5.50 设、是非负实数，使得，是，和中的最大值，求的最小值解析 由题设知,所以，所以又当，时，所以，的最小值为 评注 欲求的最小值，先估计的下界，即找到一个常数，使，然后再具体构造一个实例：，分别等于什么时，这样的最小值就是6.5.51 已知、是正数，满足用表示，中的最大者，求的最小值解析 显然，另一方面，当时，所以的最小值为3评注 本题利用了这样一个事实：个正数的最大值不小于它们的算术平均6.5.52 一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多能容纳32人，而且只能在第2层至第33层中的某一层停一次对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意现在有32个人在第一层，并且他们分别住在第2至第33层的每一层问：电梯停在哪一层，可以使得这32个人不满意的总分达到最小?最小值是多少?(有些人可以不乘电梯而直接从楼梯上楼)解析 易知，这32个人恰好是第2至第33层各住1人对于每个乘电梯上、下楼的人，他所住的层数一定不小于直接上楼的人所住的层数事实上，设住层的人乘电梯，而住层的人直接上楼，交换两人的上楼方式，其余的人不变，则不满意总分减少设电梯停在第层，在第一层有个人没有乘电梯而直接上楼，那么不满意总分为又当，时，故当电梯停在第27层时，不满意总分最小，最小值为316分20