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4.2应用题421小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币，小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的倍，”小玲对小倩说：“你若给我元，我的钱数将是你的2倍”其中为正整数求的可能值的个数解析设小倩、小玲分别所拥有的钱数为元、元，、为非负整数于是由题设可得消去得，所以，3，5，15，得，5，6，11，从而分别为8、3、2、1，分别为14、7、6、7422甲、乙两人从相距120千米的两地同时相对而行，6小时后相遇如果甲、乙每人各多行2千米，那么相遇地点距前一次相遇的地点3千米，求原来甲、乙的速度解析设原来甲、乙的速度分别为千米时，千米时，则有如果甲、乙每人各多行2千米，则有,解得或所以，甲、乙原来的速度分别是13（千米时）、7（千米时）；或者7（千米时）、13（千米时）423长90米的列车速度是每小时54千米，它追上并超过长50米的列车用了14秒，如果这两列火车相向而行，从相遇到完全离开要用多少时间？解析 两列火车的追及问题中，（车速车速2）追及时间两列火车的长度之和丙列火车的相向相遇问题中，（车速车速2）相遇时间两列火车的长度之和设长90米的列车速度为(米/秒)，长50米的列车速度为（米秒）对于追及，则有，解得（米/秒）所以，两列火车相向而行从相遇至完全离开时所用时间为（秒）评注对于火车行程问题，首先将火车的运动情况分析清楚，再运用一些常用的数量关系式来求解即可424火车通过长82米的铁桥用了22秒，如果它的速度加快1倍，通过162米长的铁桥就只用了16秒，求这列火车原来的速度和它的长度解析设这列火车原来的速度为米秒，它的长度为米则依题意有解得即这列火车原来的速度为8米秒，它的长度为94米425某人骑自行车从地到地，途中都是上坡或下坡路，他以每小时12千米的速度下坡，以每小时4千米的速度上坡从地到地用了50分钟，从地返回地用了小时求、两地相距多少千米？解析设从地到地，上坡路有千米，下坡路有千米，则解得（千米）所以，、两地相距7千米426甲、乙二人骑车在400米环形跑道上进行万米比赛同时出发后，乙速大于甲速，在第15分钟时甲加快速度，在第18分钟时甲追上乙并开始超过乙，在第23分钟时，甲再次追上乙，而在第23分50秒时，甲到达终点，那么乙到达终点时所用的时间是多少分钟？解析设出发时甲的速度为米分，乙的速度为米分，第15分钟甲加速后的速度为米分，依题意得解得，.所以，乙到达终点的时间为（分）427甲、乙两人在圆形跑道上从同一地点出发，按相反方向跑步甲速每秒6米，乙速每秒7米，直到它们第一次又在处相遇之前，在途中共相遇多少次？解析假设跑道长为，甲、乙第一次又在处相遇时所用时间为，甲、乙相遇一次，则跑过的路程为一圈即设甲、乙第一次又在点相遇时共跑了圈，则甲、乙两人第一次又在点相遇所跑过的路程为，即甲、乙第一次又在处相遇时，乙比甲多跑了一圈，解得，则途中相遇次数为（次）即他们第一次又在点相遇之前，在途中共相遇12次评注因为每圈相遇一次，最后一圈相遇点，故为次（起始点不算在内）428某船往返于甲、乙两港之间，顺水而下需用8小时，逆水而上需要12小时，由于暴雨后水速增加，该船顺水而行是逆水而行所花时间的，那么逆水而行需几小时？解析 设甲、乙两港之间距离为，该船在静水中的速度为千米时，水速为千米时，水速增加后为千米时依题意得解得，所以水速增加后，该船逆水而行所需时间为（小时）评注 解流水问题只要抓住基本公式：顺水速度船速水速，逆水速度船速水速，则很多该类型题目都可以通过列方程组迎刃而解，上下坡问题跟流水问题也有类似之处429甲、乙两人同时从圆形跑道上同一点出发，沿顺时针方向跑步，甲的速度比乙快，过了一段时间，甲第一次从背后追上乙，这时甲立即背转身子，以原来的速度沿逆时针方向跑去，当两人再次相遇时，乙恰好跪了4圈，试问甲的速度是乙的几倍？解析 本题是甲、乙两人跑圆圈，先同向，后反向就问题的实质来说，跑圆圈和跑直线的思考方法相同如果设甲的速度为，乙的速度为，跑道一圈的长为则有，乙跑4圈的速度是，距离为再设乙跑4圈所用的时间为，于是.所以，问题转化为如何根据已知条件列出关于、的表示时间的关系式就可以了设甲的速度为，乙的速度为，跑道一圈的长为，那么有由于，所以原方程可化为，即本题要求的是甲的速度是乙的多少倍，所以，我们只需求出为某一常数即可于是，方程可化为，解得，或（舍去）所以，甲的速度是乙的倍评注 本题中是多设的未知数，它对于列方程来说起到了桥梁作用，使列方程变得思路简单，易于理解，在方程列出后，直接相约（或相消），又立即去掉了多设的未知数这种方法称为设辅助元法4210小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟迎面驶来一辆18路公交车假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，问：发车间隔的时间是多少分钟？解析 设18路公交车的速度是米分，小王行走的速度是米分，同向行驶的相邻两车的间距为米每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，则每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，则由，可得，所以即18路公交车息站发车间隔的时间是4分钟4211两地相距120千米，已知人的步行速度是每小时5千米，摩托车的行驶速度是每小时50千米，摩托车后座可带一人问有三人并配备一辆摩托车从地到地最少需要多少小时？（保留1位小数）解析 记此三人为甲、乙和丙，甲开摩托车后座带乙人，三人同时出发，甲和乙到地所用时间设为小时，并且放下乙，乙继续步行，到达地所用时间设为小时，而甲马上折返，在地遇到丙后，携带丙乘摩托车驶向地，为了与乙同时到达地，和应当满足如下方程：甲和乙到达地时，丙到达地（见下图）步行的路程是千米；之间的距离是千米；甲折返与丙在地相遇所用时间是小时；丙步行到地，所用时间是小时；从地乘摩托车到所用时间是小时；而乙乘摩托车到地，所用时间是小时；从地步行到达地所用时间是小时从上述分析，可以列出二元一次方程组解得，所以，有三人并配备一辆摩托车从地到地最少需要小时4212一工人在定期内要制造出一定数量的同样零件，若他每天多做10个，则提前天完成，若他每天少做5个，则要误期3天问他要做多少个零件？比定期是多少天？解析 设这个工人要做个零件，定期为天，则他每天做个零件根据题目条件，若他每天多做10个，则可减少天工期所以，同理，可列另一个方程即可得方程组解得所以，工人要做1350个零件，此定期为27天4213某项工程，如果由甲、乙两队承包，天完成，需付180000元；由乙、丙两队承包，天完成，需付150000元；由甲、丙两队承包，天完成，需付160000元现在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队承包费用最少？解析 设甲、乙、丙单独承包各需、天完成，则解得再设甲、乙、丙单独工作一天，各需付、元，则解得于是，由甲队单独承包，费用是（元）由乙队单独承包，费用是（元）而丙队不能在一周内完成所以由乙队承包费用最少4214已知甲、乙、丙三人，甲单独做这件工作所用时间是乙、丙两人合作做这件工作所用时间的倍，乙单独做这件工作所用时间是甲、丙两人合作做这件工作所用时间的倍，求丙单独工作所用时间是甲、乙两人合作做这件工作所用时间的几倍解析 甲、乙、丙独立完成这一工作分别需、天，再设整个工程是1于是，乙单独做一天完成的工作量是，丙是，这样乙、丙合做一天完成的工作量是，那么乙、丙合作这项工作所用的时间应是天，依题意有解得所以故丙独立完成这一工作需要的时间是甲、乙两人合作完成同一工作所需的时间的倍.4215某商店经销一种商品，由于进货价降低了，使得利润率提高了，那么原来经销这种商品的利润率是多少？解析 本题虽然题干很短，但牵涉到的商业方面的概念及公式还是很丰富的这里，写出几个与利润有关的“盈亏”公式：(1)利润售出价进货价；(2)利润率；(3)进货价本题涉及两种情况，可设原进价为元，销售价为元，并表示出按原价销售的利润率和按新价销售的利润率，再根据两者之间的关系，得出与的数量关系，最后代入求值设原进货价为元，销售价为元，由公式(2)有按原价销售的利润率为：；按新价销售的利润率为：依题意列方程解方程得.因此，原来经销这种商品的利润率评注 随着市场经济体制的建立，有关营销类应用问题已屡见不鲜，对这类问题，学生首先要了解一些日常的基本常识和有关名词，如进货、售出价、利润、利润率、盈利、亏本等，同时要掌握好基本关系公式，巧妙地建立关系式4216现有一块黄铜和一块青铜的混合物，其中含有的铜，的锌和的锡已知青铜含的铜，的锌和的锡，而黄铜是铜和锌的合金求黄铜含有铜和锌之比解析 设黄铜中含铜，则含锌黄铜和青铜的混合物中含黄铜，青铜则由，得，由，得，由、，得所以，黄铜含有铜和锌之比是4217李明、张斌、王钢三人去文具店买练习本、圆珠笔和橡皮，李明买了4本练习本、一支圆珠笔和10块橡皮，共付了11元，张斌买了3本练习本、一支圆珠笔和7块橡皮，共付了8.9元，王钢买了一本练习本、一支圆珠笔和一块橡皮共付了多少钱？解析 设、分别表示1本练习本、1支圆珠笔和1块橡皮的价钱（以角为单位），得方程组这是一个三个未知数二个方程的不定方裎，想从中求出、是很难的，但问题是要我们求的值，故得.因此，王钢买1本练习本，1支圆珠笔和1块橡皮共付了4.7元4218学校用一笔钱买奖品，若以一支钢笔和2本日记本为一份奖品，则可买60份奖品；若以1支钢笔和3本日记本为一份奖品，则可买50份奖品，问这笔钱全部用来买钢笔或日记本，可买多少？解析 由于这笔钱是未知的，若直接依题目要求去设未知数，则不易列方程故像这类题目必需间接设元设钢笔元支，日记本元本，则这笔钱可表示为：或所以得于是，这笔钱全用于买钢笔，可买(支)；这笔钱全用于买日记本，可买（本）4219甲、乙、丙三人共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道题，将其中只有1人解出的题叫做难题，3人都解出的题叫做容易题，试问：难题多还是容易题多？（多的比少的）多几道题？解析设有道难题，道容易题，中等的（两人解出的）题为道，则由题意可得方程组：，得.所以，难题多，难题比容易题多20道4220现有甲、乙、丙三种货物，若购买甲3件，乙7件，丙1件共需315元；若购买甲4件，乙10件，丙1件共需420元，问要购买甲、乙、丙各一件共需多少元？解析 设甲、乙、丙三种货物每件分别为元、元、元依题意，得，得所以，购买甲、乙、丙各一件共需105元4221甲、乙、丙、丁四人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为29、23、21和17，这四人中最大年龄与最小年龄的差是多少？解析 设四个人的年龄分别为、，根据题意有由上述四式可知比较、知，最大，最小，得所以，即这四个人中最大年龄与最小年龄的差为18.4222现在父母年龄的和是子女年龄和的6倍；2年前，父母年龄和是子女年龄和的10倍；6年后，父母年龄的和是子女年龄和的3倍，问共有多少子女？解析 设现在父母年龄之和为岁，子女年龄之和为岁，子女共有人，由题意得 代入、，得两式相减，得，所以，子女共有3人4223一次数学竞赛出了、三道题目，25个学生每人至少能解出一道题目在这些不能解的学生中，能解的人数等于能解的二倍；在能解的学生中，至少还能解别的一题的人数比不能解别的题目的人数少一个如果正好能解一道题目的学生中，有一半不能解问有多少学生正好能解出这道题目？解析 由题意可知，本题涉及的量很多，如果采用直接成间接设元都很难列出方程，因此我们可以采用设辅助未知数，以此作为桥梁建立等量关系，列出方程最后，消去辅助未知数，从而获得所要的答案设，分别表示正好能解，与，与与的学生人数，则依题意可得其中，都是非负数由和，得,而可写成 ,而可写成由、得,即代入，得.因为，所以由和分别得，但是是整数，所以所以，有6个学生正好能解出这道题目4.3含绝对值的方程组431方程组的解的个数为（ ）.A1B2C3D4解析若，则于是，这不可能若，则于是，解得，进而求得所以，原方程组的解为(，)（，9），只有1个解故选A.432如果和是非零实数，使得和，那么等于（ ）A3BCD解析 将代入，得(1)当时，方程，无实根；(2)当时，得方程，解得，正根舍去，从而于是故因此，结论(D)是正确的423解方程组解析 由得因为，所以，所以把代入，得，即把代入，得，即，于是由时，得故原方程组的解为434解方程组解析 由得或即或可得方程组()或（）解方程组()：由，解得或，再代入，得方程组（）的解或解方程组()得或综上所述，原方程组的解为435求方程组在实数范围内解的组数解析 设，则原方程组可化为两式相减并化为，则或由此可得由第一个方程组解得(，)(0，0)，(4，4)；由第二个方程组解得(，)（，），（，）由(，)的第一组解推得(，)(0，0)；其他三组解每组可推得(，)的4组解所以，原方程组共有13组不同的实数解436解方程组：这里、是已知的两两不同的实数解析因为、是两两不同的实数，又方程组中交换下标、的位置方程组不变，所以可先设此时方程组可写成，得，得.，得由于、两两不同，所以，得代入式，得.更由式，得，故将代入式，得所以在的条件下，已知方程组的解为，在一般情况下，设，这里、是1、2、3、4的一个排列，则方程组的解是，14
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