初中数学竞赛专题复习 第二篇 平面几何 第15章 面积问题与面积方法试题1 新人教版

第15章 面积问题与面积方法15.1.1如图，（b）、（c）、（d）、（e）中直线与直线交于点，则：（a）中有；（b）、（c）、（d）、（e）中有.解析 只要作相应的高，并运用比例即可.15.1.2若中有一点，延长、，分别交对边于点、，则.解析 如图，易证，三式相加即得结论.15.1.3求证：若点、是一直线上依次的任意四个不同点，点是直线外一点，则有.解析 如图，两式相乘，即得结论.评注 这个定理叫交比定理，在这里作为例子是为了强调交比（即上述比值）是一个重要的不变量，交比为2时，四点称为调和点列，此时，这种情形在几何中十分常见.15.1.4如图，设，试用、表示.解析 用面积比或梅氏定理得出，于是以及与的表达式，最后算得.15.1.5 已知为的角平分线上任一点，、延长线上分别有点、，求证：.解析 如图，连结、.至、距离相等，即，由，有，故，于是.15.1.6在的两边和上各取一点和，使得，与交于，求证：是的平分线.解析 如图，易知，又，故至的距离与至距离相等，于是平分.15.1.7已知的边、上分别有点、，且、共点，求证：.解析 如图，设，则由塞瓦定理知.又知原式等价于证明，而，同理，于是问题变为证明，去分母、考虑并移项整理得上式等价于.这显然成立，取等号仅当，此时、为各边中点.15.1.8在凸四边形中，求四边形的面积.解析 如图，故本题只有一解（否则可能为钝角）.今延长、交于，则为等腰直角三角形，.又作，则.又，故.于是.15.1.9锐角中，向外作正与正，设与交于点，与交于点，又与交于点，求证：.解析 结论转化为，两边同时除以，转化成线段之比，即求证，上式又等价为.这是成立的，因为左式右式，此处用到了与.15.1.10在等腰中，、分别在两腰、上，与相交于点，四边形的面积为，求的面积.解析 如图，连结，设.易知，于是，又，故，.15.1.11设、为锐角的三条高，若平分的三条高，若平分的面积，求证：.解析 如图，由条件知，由于，故，.又由相似知，故，.又，得，于是，结论证毕.15.1.12设是内心，在、上的身影分别是、，延长后，交于，延长后与交于，求证：.解析 如图，连结、，本题等价于证明.而，由知，于是只需证明.由，结论得证.15.1.13已知：锐角三角形，向外作正方形、，、交于，求证：.解析1 如图（1），作，我们证明、共点.由于，故，而，.设、交于，、交于.于是，故结论成立.解析2 如图（2），设是高，在延长线上分别找点、，使，.易知，同理.的三条高在、直线上.因此、三线共点.15.1.14求证：存在一个面积为的四边形，使形内任何一点，、至少有一个是无理数.解析 如图，作梯形，与的距离为.则.设是内部任一点，则与中至少有一个是无理数.否则，若与均为有理数，设分别为、，则，整理得一个关于的二次方程，系数可以是整数.但决不是这个方程的根，矛盾.因此与中至少有一个是无理数.15.1.15设中，点为其内部任一点，求证：.解析 此题用坐标法能使解题思路看起来更加清晰.如图，设（，）、（，）、（，）、（，），则（，），于是.15.1.16四边形的两条对角线垂直且交于点，、分别与、垂直，延长、，分别与、交于点、，求证：.解析 显然可将待证式改为.由于.同理，也是此式.于是结论成立.15.1.17已知凸五边形满足，求五边形的面积.解析 如图，作点关于的对称点，于是，分别作和的角平分线，设交于点，则、分别垂直平分、，则点是的外心.又由于，因此.又由于，因此，点为斜边的中点.由，以及得.为求，只需注意，因此作点关于的对称点（图中未画出），有，于是.15.1.18凸四边形中，、分别在、上，、将三等分，且，求证：.解析 如图，连结、.由，（这是因为）知：.由于，故.因此，亦即.由知，.而，故，因而、为、中点.由此可得、分别为、的中位线，即，.因此四边形为平行四边形，所以，而，故，由此得四边形为平行四边形，故.15.1.19为的内心，、分别为、的中点.与延长线交于，延长线与延长线交于（如图），求.解析 设，内切圆半径为.由得.而.又.所以，即.同理，对用同样的方法可得：.两式相乘，利用得：，即.所以，.15.1.20已知、为直角三角形（）的角平分线，交于，求.解析 设，.由内角平分线性质，有，故，于是.而，故，.同前面类似的算法可得：，故.利用，.15.1.21点为正三角形内一点，试用、表示.解析 分别把、绕点、顺时针旋转，得、三点，则、是边长分别为、的正三角形，而、与是边长各为、的全等三角形，最终得，此处.15.1.22在凸四边形中有一点，满足，求证：点在该四边形的对角线上.解析 显然在对角线上时，上述结论成立.今用反证法，若点不在对角线上时，如图，不妨设与交于点，又不妨设点位于的内部.此时，与有一交点，记为.由题设得，于是由面积比知点、共线.这样一来，点、均在直线上，点就在上，与假设矛盾.15.1.23自的顶点引两条射线交边于、，使，求证：.又，反之如何？解析 如图，由，得.又，故.两式相乘，即得.反之，若，作外接圆，分别交、于、.则，代入得，得，但、共圆，故四边形为等腰梯形，圆周角和所对弧相等，由于其和小于，故.15.1.24已知正三角形内一点，到、的射影分别是、，求证：；、和和面积和等于的一半.解析 如图，易知，三式相加即得结论.又过作，.、在上，、在上，、在上.易知、和均为正三角形，四边形、均为平行四边形，记，则.15.1.25已知：凸五边形中，、分别是、中点，在上，求证：.解析 如图，设中点为，连结、.则，.设、交于，则，故，.15.1.26凸四边形中，对角线相交于，、分别为、的中点，连结，交于，交于，、分别为、中点，分别与、交于、，求证：.解析 如图（图中点、未画出），连结、，则，故，且，同理，于是在与中，与互补，于是.15.1.27 已知为内一点，求证：.解析 如图，由余弦定理，同理，三式相加，得，此即15.1.28中，是高，求.解析 设.分两种情况讨论，一种、在两侧，另一种、在同侧.、在两侧时，于是由面积，即，得，得或.时，不合要求；故，.、在同侧时，同样由面积公式，即，得，无解.15.1.29设矩形的边、上分别有点、，满足是正三角形，求证：.解析 如图，设边长为.取，使，连结、，与交于，延长至，连结，则.又易知.于是只要证明即可.事实上，.于是结论成立.15.1.30已知正三角形边长为，在上，在上，求的长.解析 如图，作、分别与、垂直，设，由，得.又由条件，知，同理，故，于是.由，得，又，故.由于，故，于是.（见题9.2.3.）15.1.31用正弦定理证明三角形面积公式.这里、为的三边长，为的外接圆半径.解析 .又，代入得.又找到外心，则.评注 最后的结果中，、可能取负值，但不影响结论.15.1.32已知，、分别在、上，试用、表示.解析 如图（a）作，、在直线、上，设，又设，则，因此，于是有，展开得.记，则，解得.所以.因为，故根号前应取“”号，于是解析2 如图（b），延长、交于，连结，设，则，于是有.解出，以下同解析1.15.1.33已知面积为，、分别在边上，且，、在边上，、在边上，若、交于，求.解析 如图，由于，故，且.又作，交于，则为的高.设至距离为，则由，知.又，故，于是.所以.15.1.34已知的三边长分别为、，面积为；的三边长分别为、，面积为，且，则与的大小关系一定是（ ）A.B.C.D.不确定解析 构造与如下：（1）作，显然，即.（2）设，则，即有.（3）设，则，即有.因此，与的大小关系不能确定.应选（D）.15.1.35用长为1、4、4、5的线段为边作梯形，求这个梯形的面积.解析 （1）当梯形的上底为，下底为时，两腰长均为，得等腰梯形（如图（a）所示）.作交于，交于，易知，且.由勾股定理可得.所以.（2）当梯形的上底为，下底为时，两腰分别为和，得直角梯形（如图（b）所示）.过作交于，易知，从而.根据勾股定理的逆定理可知，.所以.（3）若用长为的线段作梯形的腰，则无法完成符合条件的梯形.15.1.36在直角三角形中，分别以、为边长向外作等边三角形、，连结交于点，求的面积.解析 由题设得，、三点共线.因为，而，所以.即，从而.于是.15.1.37设点、分别在面积为的四边形的边、上，且（是正数），求四边形的面积.解析 如图，连续、.易知.因此.同理.所以.同理可证 .所以.15.1.38如图，在中，且到、的距离之比为.若的面积为，的面积为，求的面积.解析 由知，所以.又由题设知，所以，故，于是，.15.1.39凸四边形中，点在边上与交于点，若，且，求证：点、分别为与的中点.解析 如图，由于，延长、交于.设，则，故，.又作，在上，连结、，与交于，则，故，四边形为平行四边形，为的中点.于是为的中位线，故为之中位线，故、分别为、的中点.15.1.40已知，在上，且，求证：.解析 如图，设，则由条件知，此即，于是，注意即至距离，即至距离，故有，代入上式，有，即.15.1.41点、分别是凸四边形的边、的中点，点、分别在、上使四边形为平行四边形，证明：.解析 如图，.当时，为中位线，于是，为至距离，此正是，于是.若与不平行，设、中点分别为、，四边形亦为平行四边形，、的中点都是之中点，若与不重合，则与也不重合（否则、的中点不是同一点），因此与相互平分，即，与、不平行矛盾.所以、是、的中点，此时易证.15.1.42已知中，、分别在、上，、分别为、的中点，求证：、三线共点.解析 如图，设、延长后交于，如能证明平分，则、即共点.易知，又，于是，故结论成立.23