初中数学竞赛专题复习 第二篇 平面几何 第15章 面积问题与面积方法试题2 新人教版

面积问题与面积方法15.1.43已知凸四边形的边、上各有一点、，满足，与交于，与交于，求证：.解析 如图，问题可转化为求证.下证此式：记，则由定比分点，在.15.1.44已知：中，是角平分线，、分别在、上，且，求证：，并用三边表示.解析 如图，由，得，.于是，故.又设的对应边长为、，则，同理，故.15.1.45已知，、在上，求.解析 如图，设，则.由三角形内角和，得.，.由，得.15.1.46已知，.点在内，使得，求的面积.解析 如图，作，由于，故相似比为，于是，.，结合知，于是.所以，从而.于是，故.15.1.47已知矩形，、分别在、上，若，求矩形的面积.解析 如图，易知，.设，则，由条件，知，展开得，.15.1.48一个凸四边形的边长依次为、，两条对角线相交所成的锐角为，求该四边形的面积（用、和表示）.解析 如图，不妨设，与交于，（），则由四边形的“余弦定理”（见题13.1.7）：，于是.一般地，有，当时，四边形面积不定.15.1.49若一正方形的两个相邻顶点在一三角形的某条边上，另两个顶点分别在另两条边上，则称这个正方形是该边上的内接正方形，现有一不等边三角形，、边上的内接正方形边长都是，求.解析 如图，四边形是正方形，边长为，为高，设为，则.现在回到原题，设三对应边长为、，对应高为、，对于、边上的正方形，有.考虑到，故有，而，代入，有，而由题设，故，.易知，故.15.1.50中，、分别在、上，若、分别为1、2、3、4，求.解析 如图，设，.则，同理，.于是，故，解得.由，得，由，得，易知均符合要求.评注 读者可考虑何时具有唯一解.15.1.51梯形中，在上，在上，若把梯形分成两部分的面积之比为，求的值.解析 如图，由于未讲清部分是，哪部分是，故本题可能有两解.不妨设，则，.又设，.于是有（1）或（2）由（1）解得由（2）得负解，舍.故.15.1.52中，是的平分线，点、分别在、上，交于点，若，求四边形的面积.解析 易知，.连结，由，得，连结.由，得，故，.又，由角平分线性质，知，于是.15.1.53中，、分别在、上，且，为中点，为与之交点，延长交于，求.解析 如图，由梅氏定理，即，又，即.设，.由，得，即，于是.15.1.54在的边上取点，上取点，使，再在线段上取点，使，今延长交于，用、表示.解析 如图，连结、，则.又，故.15.1.55设正方形面积是，、上分别有点、，且，又设、分别交于、，求四边形的面积.解析 如图，延长、交于，则.而，.又，故.15.1.56已知中，、分别是角平分线和中线.垂直陈于，交于，交于，求证：.解析 如图，连结、.易知，故.于是，.因此，所以.15.1.57如图，已知点、共圆，且，求证：只与、有关.解析 延长至点，使，设，易知，于是，又由，因此.由于，又，故，所以.15.1.58已知的三边、上各有一点、，且满足、交于一点，若、的面积相等，求证：是的重心.解析 如图，不妨设三个三角形面积为，而、与的面积分别为、.由塞瓦定理知.（1）若、互不相等，不妨设，则，但，矛盾.（2）若、中有相等的，不妨设，则，由得，于是，、为各边中线，为重心.15.1.59已知中，点在边上，求；又若、长度不变，当达到最大时，求.解析 如图，延长至，使，则，中，又与等高，故，所以.当面积最大时，作，则，于是，.15.1.60已知中，点满足，求证：与面积相等.解析 如图，不妨设、在两侧，作使，于是，这里为内心，就是的边外的旁心，且有.设旁切圆半径为，则，为至距离，于是与至等距，所以.评注 请读者自行验证.15.1.61已知：是锐角三角形的垂心，、是高，求证：.解析 如图，由于，故，同理，.三式相加，得，整理便是欲证式.评注 注意到等，故，此式对于钝角三角形也成立.15.1.62在四边形中，对角线中点连线的延长线交于，求证：的面积等于整个四边形面积的一半.解析 如图，设对角线交点为，不妨设、的中点、分别在、上.连结，则.，故.剩下，连结，则.于是.15.1.63已知中，在上截取，上截取，上截取，求证：的面积与的面积相等.解析 如图，不妨设，（注意、可零可负）.问题变为证明，或证明，或.由正弦定理，上式相当于.展开即知这是恒等式，故.15.1.64在直角三角形中，是上一动点，在上，从点开始向运动且保持，试写出与点运动时与点距离的关系式.解析 如图，过点作，交直线于，则有，得.由，令，则，得，.又由，得，即，得.因，得，于是.15.1.65已知中，、分别在、上，、交于，与交于，则.解析 如图，知只需证，即，或.又，于是结论成立.评注 满足上述条件的点、即为调和点列.15.1.66有两个锐角与，其中，、延长后交于点，点、分别是、的垂心，求证：的充要条件是.解析 必要性：若，设两线交于点，又设的两条高为、；的两条高为、，并记.由点、共圆及点、共圆，得；同理.又由，则，故.充分性：若，不能直接运用点了.我们还是先证明，再分别作，、均在射线上，于是有，故与重合，因此.评注 充分性也可用四点共圆来证明.15.1.67如图，、是直线上依次四点，在直线外，试证.解析 由于，若，只需证，这等价于，即，也即，也等价于或.由于，故，由此知结论成立.15.1.68凸四边形对角线交于点，点、分别在、上，点在上，点、在上，且点、四点共线，点、四点共线.若，证明：.解析 连结、，则有，.由于，因此知，两端减，便得.15.1.69 已知、分别为凸四边形的边、的中点，、交于，、交于，求证：或重合.解析 如图，连结、，则，同理也是此值，于是，即，若、在同侧（比如与、在同一侧），则，于是；若、在直线上，则与重合.若线段与直线相交，不妨设在上或在之“上”，在之“下”，则有，矛盾，于是结论成立.15.1.70如图，以锐角的边为边向外作正方形、围成，而、围成（图中未画出），求证：.解析 很容易证明，留给读者，下证.其实只要证明为对称式即可.我们先计算.连结、.不妨记，同理分别还有两对三角形面积为与.于是有，分子是由于点至的距离等于点、至距离之和.同理.两式相加，并作等式变形，即可解出，同理可得和.三式相加，得，故 .这是一个对称式，同理也是此值.至此结论证毕.评注 易知有等，如果，则有.15.1.71如图，中，是高，是中线，且，求证：或.解析1 如图（a），设，则.由，得.又由，即，故.（1）当时，即得；（2）当时，有.由此可得.解析2 如图（b），若与重合，则；若与不重合，不妨设比靠近.今在上取中点，连结、，则，.于是，故、共圆，从而，所以.15.1.72试说明是否在所有内部总存在一个点，使点在、上的射影分别为点、，满足，？解析 当为等腰三角形时，点显然是存在的.但一般情形未必成立.试看如下反例.如图，设，且满足要求.此时，由于，则 ，故点为之中点. 易知此时四边形为凸四边形，故由，得，矛盾，故点并不总是存在的.15.1.73设点、分别在的边、上，且、交于一点，若，求证：点一定在在某条中线上.解析 如图，设个小三角形面积分别为、.易知有，这是由塞瓦定理保证的.题设条件等价于.下面再证一个无条件等式，这是由于，故而.同理有，三式相加，即得，证毕.令，则对于同一个方程，有三根、或、，顺序上先不讲究.若有之尖，则结论已经成立了；若，则只需讨论，的情况（否则，结论必成立），此时，结论成立；若，同理只需讨论，的情况，此时，结论也成立.评注 此题亦可不用韦达定理.这个证法好处是增加一个知识，即.15.1.74中有一点，延长、，分别交、于点、，与交于点，作，点在上，求证：平分.解析 如图，分别作、与垂直，我们的目的证明或.易知.又由 .故，证毕.15.1.75设有一凸四边形，、上分别有两点、；、；、；、，满足，若四边形是平行四边形，求证：.解析 我们先证明四边形也是平行四边形.先不妨设四边形与四边形的位置是如图（a）所示，找出、的中点、，则点、也分别是、的中点，且.作，点是的中点，又作，点为的中点，则易知，故，于是.又由中位线知，于是四边形是平行四边形，于是.又由，故四边形也是平行四边形，于是.这样，便有，从而四边形也是平行四边形.再看图（b），设中点为，连结、及、，由题15.1.63知，有，由于四边形与均为平行四边形，故.15.1.76三边长为6、8、10，求证：仅存在一条直线同时平分的周长与面积.解析 设中，.若此直线过三角形的某个顶点，因平分面积则必平分对边，因此不可能平分周长.所以此直线必与某两条边相交.（1）如图（a），若与、相交.设，则，所以，即 .由于，故无解.（2）如图（b），若与、相交.设，则，由知.由 ，解得 ，不满足，无解.（3）如图（c），若与、相交.设，则，即 ，解得 舍）综合上述，只有唯一一条直线满足条件.15.1.77已知、分别是的边、上的点，且，.连结和，它们相交于点.过点分别作，它们分别与边交于点、，求的面积与的面积之比.解析 过点作，且交边于点，则，所以 .因为，所以，于是 .因为，因此，故.18