不定积分

1、1第三章 一元函数积分学 (不定积分)一. 求下列不定积分:1. dxx1ln2解. l2 cxxd21ln4l1ln22. cxdxx 22 art2arctarct1arctn3. osi)os(i2解. cxxddxx 22 os1incos1insic1in)c1(i4. )(8d解. 方法一: 令 , tx1 cttdtxd )1ln(81)1( 887828= cx8ln方法二: dxxdxd)1()1()1( 87878= =cx)ln(|l88 cx81ln5 dxdxcosi12i2)sin(2cosin1dxin1cosi12xxx 2cos2sin)(22tan1t2|cosin1|l2 xdxxc|l|i|l二. 求下列不定积分:1. 2)1(2xxd解. 1)()1()( 222 xdxx txan令 tdseco2=ccttdsinsico2。

2、,1,5.2 求不定积分的几种基本方法,一、 第一类换元法（凑微分法）,.,先看下例：,例1 求,解,设,则,.,2,一般地，如果,是,的一个原函数，则,而如果,又是另一个变量,的函数,且,可微，那么根据复合函数的微分法，有,由此得,.,3,是具有原函数,于是有如下定理：,定理1 设,可导，则,有换元公式,（5-2）,由此可见，一般地，如果积分,不能直接,利用利用基本积分公式计算，而其被积表达式,能表示为,的形式，且,较易计算，那么可令,.,4,代入后有,这样就得到了,的原函数.这种积分称为第一类换元法.,由于在积分过程中，先要从被积表达式中凑出一个积分,。

3、微 积 分 (下),微积分,微分,积分,1,刻画函数 的变化率,计算： 求导数、求微分,关于本门课程的学习方法:,1）课前预习（前一天通读下次要讲的内容）.,2）认真听讲（提倡超前的动脑思维）.,3）课后复习（弄懂每一个细节,并适当看一些参考书,帮助并加深理解该讲的内容）.,“成功就是简单的事情反复做”,李开复,花时间学习！,最好的学习方法,奥巴马的同学，曾任微软中国研究院院长、Google全球副总裁兼中国区总裁,4）完成作业（要独立完成,可以讨论或询问,但切忌抄袭）.,吴巧梅老师,5）小结（总结所学内容、归纳方法、写出体会).,3,一道有意义。

4、第四章,微分法:,积分法:,互逆运算,不定积分,1,二、 基本积分表,三、不定积分的性质,一、 原函数与不定积分的概念,第一节,不定积分的概念与性质,第四章,2,一、 原函数与不定积分的概念,引例: 一个质量为 m 的质点,下沿直线运动 ,因此问题转化为:,已知,求,在变力,试求质点的运动速度,根据牛顿第二定律,加速度,定义 1 . 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x),满足,在区间 I 上的一个原函数 .,则称 F (x) 为f (x),如引例中,的原函数有,3,问题:,1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ?,2. 若原函数存在, 它如何表示 ?,定理1.,存在原函。

5、第四章,微分法:,积分法:,互逆运算,不定积分,1,二、 基本积分表,三、不定积分的性质,一、 原函数与不定积分的概念,第一节,不定积分的概念与性质,第四章,2,一、 原函数与不定积分的概念,引例: 一个质量为 m 的质点,下沿直线运动 ,因此问题转化为:,已知,求,在变力,试求质点的运动速度,根据牛顿第二定律,加速度,定义 1 . 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x),满足,在区间 I 上的一个原函数 .,则称 F (x) 为f (x),如引例中,的原函数有,3,问题:,1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ?,2. 若原函数存在, 它如何表示 ?,定理1.,存在原函。

6、______________________________________________________________________________________________________________第四章 不定积分一、 基本要求：1、 理解原函数与不定积分的概念；2、 掌握不定积分的性质和了解不定积分的几何意义。二、 授课内容：4-1 原函数与不定积分一、 原函数定义1 如果对任一，都有或 则称为在区间I 上的原函数。例如：，即是的原函数。，即是的原函数。原函数存在定理：如果函数在区间I 上连续，则在区间I 上一定有原函数，即存在区间I 上的可导函数，使得对任一，有。注1：如果有一个原函数，则就有无穷多个。

7、不定积分解题方法总结摘要：在微分学中，不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分重要。然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循”。本文论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。关键词：不定积分；总结；解题方法不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是毫无解题规律可言。本文所总结的是一般规律，并非所有相似题型都适用，具体情况仍需要具体分析。1. 利用基本公式。（这就不多说了）2. 第一类换元法。（凑微分）设f()具有原函数F()。则其中可微。用凑微分法求解不定积分时，首先要。

8、第5章 不定积分,5.1 原函数与不定积分的概念 一、原函数与不定积分 通过对求导和微分的学习，我们可以从一个函数 yf(x)出发，去求它的导数f(x) 那么，我们能不能从一个函数的导数f(x)出发， 反过来去求它是哪一个函数(原函数)的导数呢? 定义 已知f(x)是定义在某区间上的一个函数，如果存在函数F(x)，使得在该区间上的任何一点x处都有F(x)f(x)，那么称函数F(x)为函数f(x)在该区间上的一个原函数。,例1 求下列函数的一个原函数： f(x)2x f(x)cosx 解：(x2)2x x2是函数2x的一个原函数 (sinx)cosx sinx是函数cosx的一个原函数 这里为什么要强。

9、习题课,一、 求不定积分的基本方法,二、几种特殊类型的积分,不定积分的计算方法,第四章,一、 求不定积分的基本方法,1. 直接积分法,通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则 求不定积分的方法 .,2. 换元积分法,注意常见的换元积分类型, 如掌握 P205P206 公式(16) (24)的推导方法,(代换: ),3. 分部积分法,使用原则:,1) 由,易求出 v ;,2),比,好求 .,一般经验: 按“反, 对, 幂, 指 , 三” 的顺序,排前者取为 u ,排后者取为,计算格式: 列表计算,多次分部积分的 规 律,快速计算表格:,特别: 当 u 为 n 次多项式时,计算大为简便 .,例1. 求,解:,。

10、一、不定积分的基本公式,第四章 不定积分,第二节 不定积分的基本公式和运 算法则 直接积分法,二、不定积分的基本运算法则,三、直接积分法,不定积分基本公式表,当 x 0 时，,所以,当 x 0 时，,所以,综合以上两种情况，当 x 0 时，得,例 1 求不定积分,解,例 2 求不定积分.,解 先把被积函数化为幂函数的形式，再利用基本积分公式，,(1),(2),得,例 3 求不定积分,解,法则 1 两个函数的代数和的不定积分等于这两个函数不定积分的代数和，,即,二、不定积分的基本运算法则,法则1 可推广到有限多个函数代数和的情况，,即,根据不定积分定义，只须验证。

11、二、第二类换元法,第二节,一、第一类换元法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,换元积分法,第四章,第二类换元法,第一类换元法,基本思路,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设,可导,则有,一、第一类换元法 （P221）,定理1.,则有换元,公式,(也称配元法,即, 凑微分法),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 求,解: 令,则,故,原式 =,注: 当,时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. （P222）求,解:,令,则,想到公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. （P223） 求,想到,解:,(直接配元),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. （P225）求,解:,机动 目录 。

12、第二节 不定积分的基本公式和直 接积分法,一、不定积分的基本公式 二、直接积分法,实例,启示,能否根据求导公式得出积分公式？,结论,既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.,一、基本积分公式,1 常量函数：,2 幂函数：,3 指数函数,4 三角函数：,5 反三角函数,基本积分表 ,是常数);,说明：,简写为,依据微积分的互逆性以及导数计算基本公式，有上面的积分计算基本公式，它们是积分计算的基础，所有积分的计算都必需依据其中的某一个才能得出结论，因此这些公式必须象求导基本公式一样要熟记。,例1 求下列不定积。

13、第五章,微分法:,积分法:,互逆运算,不定积分,微分的逆运算,二、 基本积分公式,三、不定积分的性质 (运算法则),一、 原函数与不定积分的概念,第一节,原函数与不定积分(直接积分法）,第五章,一、 原函数与不定积分的。

14、第四节 原函数与不定积分,一、主要定理和定义,二、典型例题,三、小结与思考,2,一、主要定理和定义,定理一,由定理一可知:,解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关, (如下页图),1. 两个主要定理:,3,4。

15、2019-2020年高中数学选修本(理科)不定积分的概念 教学目的 使学生理解不定积分的概念，符号及它的两个性质 教学重点和难点 不定积分的概念及符号 教学过程 一、复习提问 问题1 若f(x)有一个原函数。