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第四章,微分法:,积分法:,互逆运算,不定积分,1,二、 基本积分表,三、不定积分的性质,一、 原函数与不定积分的概念,第一节,不定积分的概念与性质,第四章,2,一、 原函数与不定积分的概念,引例: 一个质量为 m 的质点,下沿直线运动 ,因此问题转化为:,已知,求,在变力,试求质点的运动速度,根据牛顿第二定律,加速度,定义 1 . 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x),满足,在区间 I 上的一个原函数 .,则称 F (x) 为f (x),如引例中,的原函数有,3,问题:,1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ?,2. 若原函数存在, 它如何表示 ?,定理1.,存在原函数 .,(下章证明),初等函数在定义区间上连续,初等函数在定义区间上有原函数,4,定理 2.,原函数都在函数族,( C 为任意常数 ) 内 .,证: 1),又知,故,它属于函数族,即,5,定义 2.,在区间 I 上的原函数全体称为,上的不定积分,其中, 积分号;, 被积函数;, 被积表达式., 积分变量;,(P185),若,则,( C 为任意常数 ),C 称为积分常数, 不可丢 !,例如,记作,6,不定积分的几何意义:,的原函数的图形称为,的图形,的所有积分曲线组成,的平行曲线族.,的积分曲线 .,7,例1. 设曲线通过点(1, 2),且其上任一点处的切线,斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.,解:,所求曲线过点 (1, 2) ,故有,因此所求曲线为,8,例2. 质点在距地面,处以初速,力, 求它的运动规律.,解: 取质点运动轨迹为坐标轴, 原点在地面, 指向朝上 ,质点抛出时刻为,此时质点位置为,初速为,设时刻 t 质点所在位置为,则,(运动速度),(加速度),垂直上抛 ,不计阻,9,先求,由,知,再求,于是所求运动规律为,由,知,故,10,二、 基本积分表 (P188),从不定积分定义可知:,或,或,利用逆向思维,( k 为常数),11,或,或,12,13,例3. 求,解: 原式 =,例4. 求,解: 原式=,14,三、不定积分的性质,推论: 若,则,15,例5. 求,解: 原式,16,例6. 求,解: 原式 =,例7. 求,解: 原式 =,17,例8. 求,解: 原式 =,18,内容小结,1. 不定积分的概念, 原函数与不定积分的定义, 不定积分的性质, 基本积分表 (见P188),2. 直接积分法:,利用恒等变形,及 基本积分公式进行积分 .,常用恒等变形方法,分项积分,加项减项,利用三角公式 , 代数公式 ,积分性质,19,思考与练习,1. 证明,2. 若,(P193题7),提示:,20,3. 若,是,的原函数 , 则,提示: 已知,21,4. 若,的导函数为,则,的一个原函数,是 ( ) .,提示: 已知,求,即,B,?,?,或由题意,其原函数为,22,5. 求下列积分:,提示:,23,6. 求不定积分,解：,24,7. 已知,求 A , B .,解: 等式两边对 x 求导, 得,25,作业,P192 2.奇数; 4，5 ;,第二节,26,
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