原函数与不定积分(直接积分法).ppt

第五章,微分法:,积分法:,互逆运算,不定积分,微分的逆运算,二、 基本积分公式,三、不定积分的性质 (运算法则),一、 原函数与不定积分的概念,第一节,原函数与不定积分(直接积分法）,第五章,一、 原函数与不定积分的概念,定义 1 . 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x),满足,在区间 I 上的一个原函数 .,则称 F (x) 为f (x),问题:,1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ?,2. 若原函数存在, 它如何表示,有多少个 ?,定理1.,存在原函数 .,初等函数在定义区间上连续,初等函数在定义区间上有原函数,定理 2.,也是f(x)的原函数,( 其中C 为任意常数 ),则,(2) f(x)的任意两个原函数之间只相差一个常数.,定义 2.,在区间 I 上的原函数全体称为,上的不定积分,其中, 积分号;, 被积函数;, 被积表达式., 积分变量;,若,则,( C 为任意常数 ),C 称为积分常数, 不可丢 !,例如,记作,从不定积分定义可得:,或,或,或者写成：,不定积分的几何意义:,的原函数的图形称为,的图形,的所有积分曲线组成,的平行曲线族.,的积分曲线 .,例1（5.1.8）. 设曲线通过点(1, 2),且其上任一点处的切线,斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.,解:,所求曲线过点 (1, 2) ,故有,因此所求曲线为,例2 设曲线通过点(0,0)，且曲线上任一点处的切线 斜率等于该点横坐标的余弦值，求此曲线.,由于sinx是cosx的一个原函数，所以cosx的不定积分是 y=sinx+C.于是所求的曲线族为,代入初始条件x=0,y=0,求得C=0.故经过点(0,0)的积分 曲线为 .,二、 基本积分表,利用逆向思维,( k 为常数),或,或,例3. 求,解: 原式 =,例4. 求,解: 原式=,三、不定积分的性质,推论: 若,则,例5 求,解,例6 求 .,解,例7. 求,解: 原式,倍角公式,例8. 求,解: 原式,例9(5.1.14). 求,解: 原式 =,例10. 求,解: 原式 =,例11(5.1.13). 求,解: 原式 =,加项减项,四、内容小结（直接积分法）,1. 不定积分的概念, 原函数与不定积分的定义, 不定积分的性质, 基本积分表,2. 直接积分法:,利用恒等变形,及 基本积分公式进行积分 .,常用恒等变形方法,分项积分,加项减项,利用三角公式 , 代数公式 ,积分性质,5. 求下列积分:,提示:,