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,习题课,一、 求不定积分的基本方法,二、几种特殊类型的积分,不定积分的计算方法,第四章,一、 求不定积分的基本方法,1. 直接积分法,通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则 求不定积分的方法 .,2. 换元积分法,注意常见的换元积分类型, 如掌握 P205P206 公式(16) (24)的推导方法,(代换: ),3. 分部积分法,使用原则:,1) 由,易求出 v ;,2),比,好求 .,一般经验: 按“反, 对, 幂, 指 , 三” 的顺序,排前者取为 u ,排后者取为,计算格式: 列表计算,多次分部积分的 规 律,快速计算表格:,特别: 当 u 为 n 次多项式时,计算大为简便 .,例1. 求,解:,原式,例2. 求,解:,原式,分析:,例3. 求,解 :,原式,分部积分,例4. 设,解:,令,求积分,即,而,例5. 求,解:,例6. 求,解: 取,说明: 此法特别适用于,如下类型的积分:,例7. 证明递推公式,证:,注:,或,例8. 求,解:,设,则,因,连续 ,得,得,利用,例9.,设,解:,为,的原函数,且,求,由题设,则,故,即, 因此,故,又,二、几种特殊类型的积分,1. 一般积分方法,有理函数,分解,多项式及 部分分式之和,指数函数有理式,指数代换,三角函数有理式,万能代换,简单无理函数,三角代换,根式代换,2. 需要注意的问题,(1) 一般方法不一定是最简便的方法,(2) 初等函数的原函数不一定是初等函数 ,要注意综合,使用各种基本积分法, 简便计算 .,因此不一,定都能积出.,例如 ,例10. 求,解: 令,则,原式,例11. 求,解: 令,比较同类项系数, 故, 原式,说明: 此技巧适用于形为,的积分.,例12.,解：,因为,及,例13.,求不定积分,解:,原式,例14.,解:,I =,例15. 求,解:,( n 为自然数),令,则,
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