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,二、第二类换元法,第二节,一、第一类换元法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,换元积分法,第四章,第二类换元法,第一类换元法,基本思路,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设,可导,则有,一、第一类换元法 （P221）,定理1.,则有换元,公式,(也称配元法,即, 凑微分法),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 求,解: 令,则,故,原式 =,注: 当,时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. （P222）求,解:,令,则,想到公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. （P223） 求,想到,解:,(直接配元),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. （P225）求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,类似,例5. （P223）求,解:, 原式 =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,常用的几种配元形式:,万能凑幂法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6. 求,解: 原式 =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7. 求,解: 原式 =,例8. 求,解: 原式 =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例9. 求,解法1,解法2,两法结果一样,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例10.（P227） 求,解法1,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解法 2,同样可证,或,(P226-P227 ),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例11. 求,解: 原式 =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例12 . 求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例13. 求,解:,原式 =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例14. 求,解: 原式=,机动 目录 上页 下页 返回 结束,分析:,例15. 求,解: 原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,小结,常用简化技巧:,(1) 分项积分:,(2) 降低幂次:,(3) 统一函数: 利用三角公式 ; 配元方法,(4) 巧妙换元或配元,万能凑幂法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,利用积化和差; 分式分项;,利用倍角公式 , 如,思考与练习,1. 下列各题求积方法有何不同?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 求,提示:,法1,法2,法3,作业 目录 上页 下页 返回 结束,二、第二类换元法 （P228）,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第一类换元法解决的问题,难求,易求,若所求积分,易求,则得第二类换元积分法 .,难求，,定理2 . 设,是单调可导函数 , 且,具有原函数 ,证:,令,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则有换元公式 （P228）,例16. （P230）求,解: 令,则, 原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例17. 求,解: 令,则, 原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例18.（P230） 求,解:,令,则, 原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,令,于是,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,被积函数含有,时,除采用,采用双曲代换,消去根式 ,所得结果一致 .,或,或,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三角代换外, 还可利用公式,原式,例19. 求,解: 令,则,原式,当 x 0 时, 类似可得同样结果 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,小结:,1. 第二类换元法常见类型:,令,令,令,或,令,或,令,或,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第四节讲,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 常用基本积分公式的补充 (P399-404),(7) 分母中因子次数较高时, 可试用倒代换,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解: 原式,(P399 公式 (9) ),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例20. 求,例21. 求,解:,(P400 公式 (15) ),例22. 求,解: 原式 =,(P401 公式 (33) ),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例23. 求,解: 原式,(P401 公式 (33) ),例24. 求,解: 令,得,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(P400 公式 (19) ),例25. 求,解: 原式,令,例16,例16 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1. 下列积分应如何换元才使积分简便 ?,令,令,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 已知,求,解: 两边求导, 得,则,(代回原变量),机动 目录 上页 下页 返回 结束,备用题 1. 求下列积分:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.,求不定积分,解：,利用凑微分法 ,原式 =,令,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,分子分母同除以,3.,求不定积分,解:,令,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
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