不定积分的概念与性质ppt课件

微 积 分 (下),微积分,微分,积分,1,刻画函数 的变化率,计算： 求导数、求微分,关于本门课程的学习方法:,1）课前预习（前一天通读下次要讲的内容）.,2）认真听讲（提倡超前的动脑思维）.,3）课后复习（弄懂每一个细节,并适当看一些参考书,帮助并加深理解该讲的内容）.,“成功就是简单的事情反复做”,李开复,花时间学习！,最好的学习方法,奥巴马的同学，曾任微软中国研究院院长、Google全球副总裁兼中国区总裁,4）完成作业（要独立完成,可以讨论或询问,但切忌抄袭）.,吴巧梅老师,5）小结（总结所学内容、归纳方法、写出体会).,3,一道有意义的计算题！,如果令 A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 分别等于百分之 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 那么 Hard work （努力工作） H+A+R+D+W+O+R+K= 8+1+18+4+23+15+18+11 = 98% Knowledge（知识）K+N+O+W+L+E+D+G+E = 11+14+15+23+12+5+4+7+5 = 96% Love（爱情） L+O+V+E = 12+15+22+5 = 54% Luck（好运） L+U+C+K = 12+21+3+11 = 47%,4,什么能使得生活变得圆满？ 是 Money（金钱）吗? . M+O+N+E+Y = 13+15+14+5+25 = 72% 是 Leadership（领导能力）吗? . L+E+A+D+E+R+S+H+I+P = 12+5+1+4+5+18+19+9+16 = 89% 那么，什么能使生活变成100%的圆满呢？ ATTITUDE（态度） A+T+T+I+T+U+D+E = 1+20+20+9+20+21+4+5 = 100%,一道有意义的计算题！,5,Attitude - 100% 态度决定一切！,6,1)考核成绩构成： 期末考试成绩：40分 平时成绩： 60分,关于本课程的要求：,平时成绩包括： 出勤：30分.考勤缺一次扣3分,迟到一次扣1分,扣完为止. 作业：10分.少做一次扣2分,扣完为止. 平时测验：20分. 缺一次扣5分.,2)关于作业： 1)每两周收一次,用作业纸写； 2)每个班由课代表收作业,然后统一交给老师.,7,一、复习：,导数 :,微分 :,关系 :,可导,可微,微分学,导数:,描述函数变化快慢.,微分:,描述函数变化程度.,微积分,积分学：,微分学：,研究导数、微分及其应用.,研究不定积分、定积分及其应用.,8,记住常见函数的导数公式：,9,记住常见函数的导数公式：,10,四则运算的求导法则：,注意：,复合函数求导法则：,初等函数在定义区间内可导, 且导数仍为初等函数.,11,第四章 不定积分,第一节 不定积分的概念与性质,第二节 换元积分法,第三节 分部积分法,12,第一节 不定积分的概念与性质,一、原函数与不定积分的概念,二、基本积分表,三、不定积分的性质,13,比如：已知直线运动的位置函数 S = S(t)，用微分法可求运动速度:,但若已知运动速度v(t)，怎么求其位置函数 S(t) 呢？,在数学中，一般来说一种运算的出现都伴随着它的逆运算.,引言,微分(求导)是否有逆运算？若有, 是什么？,例如： 加法的逆运算是减法; 乘法的逆运算是除法; 指数的逆运算是对数等.,微分有逆运算，不定积分是微分的逆运算！,14,例,1 定义：,一、原函数与不定积分的概念,求给定函数的原函数是积分学中的第一个基本问题，也是本章讨论的中心问题。,15,1）已知函数 应具备什么条件，才可以保证它的原函数一定存在？,原函数存在定理：,简言之：连续函数一定有原函数.,问题：,2)如果 f (x)有原函数，一共有多少？即原函数是否唯一？,当一个函数具有原函数时，它的原函数不只是一个.,比如：cosx的原函数除sinx外，,一般地，设F(x)是 f (x)的一个原函数，则 对于任意的常数C，F (x)+C也是 f (x)的一个原函数.,都是cosx的原函数。,16,例,（C 为任意常数）,3) F (x)的原函数不唯一，那这些原函数之间有什么联系？,则,(C为常数），,结论：如果函数 f(x)有一个原函数 F(x)，那末它就有无穷多个原函数，并且 f(x)的无穷多个原函数仅限于F(x)+C.,17,定义2：,求 f (x) 的不定积分，只要找出它的一个原函数,再加任意常数即可.,检验不定积分运算是否正确，只需求导验证.,18,例1：求,解：,19,解：,例2：求,20,例3：已知 , 求,解：,21,例4：求,解：,而,这是因为,不定积分答案形式不惟一，但本质是一样的!,即选择的不同原函数之间仅仅相差一个常数C .,22,这两个原函数的图像可以通过“上下平移 ”互变,表明这两个函数在任一点的函数值都只相差一个常数 。,思考： 的全部原函数的图像应该是什么样子的？,23,24,24,f (x) 的不定积分，是 f (x) 的“全部原函数”，它可以表示为“f (x) 的一个原函数加任意常数 C ” 的形式。,“不定积分”与“原函数”的联系和区别,f(x) 的原函数，是 f (x) 求导以前“原来的函数”；,为了形象地理解“ f (x) 的原函数”的概念，我们用“填空”的方式来说明“原来的函数”的含义： 的括号中需要填的，就是 的原函数 .,25,以前接触的运算，先做运算再做逆运算相当于没有变化，例如：,不定积分是微分的逆运算，对函数进行先微分再积分的运算和先积分再微分的运算，函数是否也没有变化？,积分与微分的关系,26,设F(x) 为 f (x) 的一个原函数，,先微分再积分:,先积分再微分:,结论：,27,显然，求不定积分得到一积分曲线族.,2.不定积分的几何意义：,在每一条积分曲线上横坐标相同的点处作切线，这些切线是彼此平行的。,一个原函数对应于一条积分曲线 不定积分则对应于积分曲线簇无数条积分曲线 被积函数对应于积分曲线在各点的切线斜率 同一横坐标处，切线平行,28,例：设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.,解：,设曲线方程为,根据题意知,由曲线通过点（1，2）,所求曲线方程为,29,二、 基本积分表,积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.,( k是常数);,30,31,证,等式成立.,（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）,三、不定积分的性质,（不定积分的线性运算）,32,例：计算不定积分,解：,注意：本题化为三个积分，应出现三个任意常数，但由其任意性，可写成一个任意常数。,33,解：,例： 求积分,34,例：求不定积分,解：,35,例：求（1） （2）,解：（1）,（2）,36,例：求积分,解：,说明：,以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.,37,例1：求,解：,38,基本积分表(1),不定积分的性质,原函数的概念：,不定积分的概念：,求微分与求积分的互逆关系,四、 小结,39,思考题,符号函数,在 内是否存在原函数？为什么？,思考题解答,不存在.,假设有原函数,故假设错误,所以 在 内不存在原函数.,结论,每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数.,40,