量化与量化误差第二节.ppt

5 2量化与量化误差 对系统中各系数的量化误差 受计算机中存贮器的字长影响 对输入模拟信号的量化误差 受A D的精度或位数的影响 运算过程误差 如溢出 舍入及误差累积等 受计算机的精度影响 有限字长的二进制数表示数字系统的误差源 5 2 1二进制数的表示 1 定点表示整个运算中 小数点在数码中的位置固定不变 称为定点制 定点制总是把数限制在 1之间 最高位为符号位 0为正 1为负 小数点紧跟在符号位后 数的本身只有小数部分 称为 尾数 定点数作加减法时结果可能会超出 1 称为 溢出 乘法运算不溢出 但字长要增加一倍 为保证字长不变 乘法后 一般要对增加的尾数作截尾或舍入处理 带来误差 另外一种定点数的表示是总把数看成整数 缺点 动态范围小 有溢出 定点数的表示分为三种 原码 反码 补码 设有一个 b 1 位码定点数 0 1 2 b 则 原码所代表的十进制表示为例 1 111 0 875 0 010 0 25 反码表示 反码和补码的正数表示和原码没有区别 负数的反码表示就是将该数正数表示形式中的所有位取反 例 正数表示 0 101其反码为 1 010 原码和反码的总和1 末尾加1进位成最大值1 补码表示 正数同原码 负数则将原码中的尾数求反加1 即 例 正数表示 0 110取反 1 001x的补码 1 010 原码加减法运算要考虑符号位 补码加法运算规律 正负数可直接加减 符号位同样参加运算 结果仍是补码 若结果没有超出字长范围 则符号位丢弃不影响结果的正确性 若超出字长范围 如符号位发生双进位 可以自然丢弃 若是单进位 丢掉则发生溢出 补码又称 2的补码 补码中负数是采用2的补数来表示的 即先把负数加上2 以便将正数与负数的相加转化为正数与正数的相加 从而克服原码表示法做加减法的困难 X 0 625在原码中表示为1 101 在补码中为2 0 625 1 375 因此补码的表示为1 011 2 浮点表示尾数指数阶数浮点制运算 相加对阶相加归一化 并作尾数处理相乘 尾数相乘 阶码相加 再作截尾或舍入 优点 动态范围大 一般不溢出 缺点 相乘 相加 都要对尾数作量化处理 一般 浮点数都用较长的字长 精度较高 所以我们讨论误差影响主要针对定点制 对于任意一个二进制数n 可用N S 2P表示 其中S为尾数 P为阶码 2为阶码的底 P S都用二进制数表示 S表示N的全部有效数字 P指明小数点的位置 当阶码为固定值时 数的这种表示法称为定点表示 这样的数称为 定点数 当阶码为可变时 数的这种表示法称为浮点表示 这样的数称为 浮点数 通常定点数有两种表示法 均设P 0 小数点是隐含的 若数值部分为n位 当S为纯整数时 此时定点数只能表示整数 所能表示的N范围是 2n 1 N 2n 1 当S为纯小数时 此时定点数只能表示小数 所能表示的N范围是 1 2 n N 1 2 n 实际数值不一定都是纯整数或纯小数 运算前可选择比例因子 使所有原始数据化成纯小数或纯整数 运算后再用比例因子恢复成实际值 定点制中的乘法 运算完毕后会使字长增加 例如原来是b位字长 运算后增长到b1位 需对尾数作量化处理使b1位字长降低到b位 量化处理方式 截尾 保留b位 抛弃余下的尾数 舍入 按最接近的值取b位码 两种处理方式产生的误差不同 另外 码制不同 误差也不同 5 2 2定点制的量化误差 1 截尾处理Truncated 1 正数 三种码形式相同 一个b1位的正数为 用 T表示截尾处理 则 截尾误差可见 ET 0 i全为1时 ET有最大值 量化宽度 或 量化阶 q 2 b 代表b位字长可表示的最小数 一般2 b1 2 b 因此正数的截尾误差为 q ET 0 2 负数负数的三种码表示方式不同 所以误差也不同 原码 0 1 0 ET q 反码 补码 因所以 补码的截尾误差全是负值 原码和反码的截尾误差与数的正负有关 正数时为负 负数时为正 并且都以正负q为界 2 舍入处理Rounding通过b 1位上加1后作截尾处理实现 就是通常的四舍五入法 按最接近的数取量化 所以不论正数 负数 还是原码 补码 反码 误差总是在之间 以表示对x作舍入处理 舍入处理的误差比截尾处理的误差小 所以对信号进行量化时多用舍入处理 也就是超过0 5进位 小于则舍去 5 2 3A D变换的量化效应 A D变换器分为两部分 采样 时间离散 幅度连续 量化 数字编码 对采样序列作舍入或截尾处理 得有限字长数字信号 本节讨论这一过程中的量化效应 对一个采样数据作截尾和舍入处理 则截尾量化误差 舍入量化误差 上两式给出了量化误差的范围 要精确知道误差的大小很困难 一般 我们总是通过分析量化噪声的统计特性来描述量化误差 可以用一统计模型来表示A D的量化过程 以补码为例 图A D变换器模型 其中e n 就是量化误差 对其统计特性作如下假定 e n 是平稳随机序列 e n 与信号x n 不相关 e n 任意两个值之间不相关 即为白噪声 e n 具有均匀等概率分布 由上述假定知 量化误差是一个与信号序列完全不相关的白噪声序列 称为量化噪声 是一个加性白噪声 误差的均值和方差 截尾量化噪声 有直流分量 会影响信号的频谱结构 舍入量化噪声 可见 量化噪声的方差与A D变换的字长直接有关 字长越长 量化噪声越小 定义量化信噪比 用对数表示 字长每增加1位 量化信噪比增加6个分贝 信号能量越大 量化信噪比越高 注 因信号本身有一定的信噪比 单纯提高量化信噪比无意义 例 已知x n 在 1至1之间均匀分布 求b 8 b 12位时A D的SNR 因均匀分布 所以有 均值 方差 当b 8位 则SNR 54dB 当b 12位 则SNR 78dB 5 2 4量化噪声通过线性系统 为了单独分析量化噪声通过系统后的影响 将系统近似看作是完全理想的 即具有无限精度的线性系统 在输入端线性相加的噪声 在系统的输出端也是线性相加的 系统的输出 输出噪声为如为舍入噪声 则输出噪声的方差为 由于是白色的 各变量之间互不相关 即代入上式 得由Parseval定理 H z 全部极点在单位圆内 表示沿单位圆逆时针方向的圆周积分 由留数定理 如为截尾噪声 则输出噪声中还有一直流分量 例3 一个8位A D变换器 其输出作为IIR滤波器的输入 求滤波器输出端的量化噪声功率 已知IIR滤波器的系统函数为 解 由于A D的量化效应 滤波器输入端的噪声功率为 滤波器的输出噪声功率为 其积分值等于单位圆内所有极点留数的和 单位圆内有一个极点z 0 999 所以 量化就是截尾或舍入 在给定字长的情况下 改变小数点的位置对表示数据的范围和运算精度的影响