概率论第十六讲中心极限定理.ppt

教学目的：1.介绍中心极限定理的思想；2.应用，着重讲解用正态分布计算其它分布的方法；,教学内容：第四章，4.5,第十六讲中心极限定理,中心极限定理：概率论中有关随机变量的和的极限分布是正态分布的系列定理。,设随机变量序列,相互独立,且有期望和方差：,令,则,定理1林德伯格（Lindberg）定理,设相互独立随机变量,满足林德伯格条件，即,有,则n，有,林德伯格定理的意义:,被研究的随机变量可以被表示为，,许多相互独立随机变量的和,其中,每一个随机变量对于总和只起微小的作用,定理二,林德伯格-列维中心极限定理,独立同分布的中心极限定理,定理三,棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理,二项分布以正态分布为极限分布,(Lindberg-levi),(DeMoivre-Laplace),独立同分布的中心极限定理,设随机变量序列,独立同一分布,且有期望和方差：,则对于任意实数x,定理1,注,即n足够大时，Yn的分布函数近似于标准正态随机变量的分布函数,记,近似,近似服从,中心极限定理的意义,在第二章曾讲过有许多随机现象服从正态分布,若联系于此随机现象的随机变量为X，,是由于许多彼次没有什么相依关,系、对随机现象谁也不能起突出影响，而,均匀地起到微小作用的随机因素共同作用,则它可被看成为许多相互独立的起微小作,用的因素Xk的总和，而这个总和服从,或近似服从正态分布.,(即这些因素的叠加)的结果.,对此现象还可举个有趣的例子,高尔顿钉板试验加以说明.,钉子层数,高尔顿钉板,德莫佛拉普拉斯中心极限定理（DeMoivre-Laplace）,设YnB(n,p),0p1,n=1,2,则对任一实数x，有,即对任意的ab,YnN(np,np(1-p)(近似),定理2,应用1,例1炮火轰击敌方防御工事100次,每次轰击命中的炮弹数服从同一分布,其数学期望为2,均方差为1.5.若各次轰击命中的炮弹数是相互独立的,求100次轰击,(1)至少命中180发炮弹的概率;(2)命中的炮弹数不到200发的概率.,中心极限定理的应用,解设Xk表示第k次轰击命中的炮弹数,相互独立，,设X表示100次轰击命中的炮弹数,则,由独立同分布中心极限定理,有,(1),(2),例2售报员在报摊上卖报,已知每个过路人在报摊上买报的概率为1/3.令X是出售了100份报时过路人的数目，求P(280X320).,解令Xi为售出了第i1份报纸后到售出第i份报纸时的过路人数,i=1,2,100,(几何分布),应用2,相互独立,由独立同分布中心极限定理,有,例3检验员逐个检查某产品,每查一个需用10秒钟.但有的产品需重复检查一次，再用去10秒钟.若产品需重复检查的概率为0.5,求检验员在8小时内检查的产品多于1900个的概率.,解若在8小时内检查的产品多于1900个,即检查1900个产品所用的时间小于8小时.,设X为检查1900个产品所用的时间(秒),设Xk为检查第k个产品所用的时间(单位：秒),k=1,2,1900,应用3,0.50.5,相互独立同分布,例4某车间有200台车床，每台独立工作，开工率为0.6.开工时每台耗电量为r千瓦.问供电所至少要供给这个车间多少电力,才能以99.9%的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产？,解设至少要供给这个车间a千瓦的电力，,X为开工的车床数,则XB(200,0.6),XN(120,48)(近似),应用4,由德莫佛拉普拉斯中心极限定理,有,问题转化为求a,使,反查标准正态函数分布表，得,令,例5设有一批种子，其中良种占1/6.试估计在任选的6000粒种子中，良种比例与1/6比较上下不超过1%的概率.,解设X表示6000粒种子中的良种数,XB(6000,1/6),应用5,由德莫佛拉普拉斯中心极限定理,则,有,比较几个近似计算的结果,中心极限定理,二项分布(精确结果),Poisson分布,Chebyshev不等式,比较,作业P.138习题四,19202223,习题,设某农贸市场某种商品每日的价格的变化是个相互独立且均值为0,方差为2=2的随机变量Yn，并满足,其中Xn是第n天该商品的价格.如果今天的价格为100，求18天后该商品的价格在96与104之间的概率.,*补充作业,解设表示今天该商品的价格,为18,天后该商品的价格,则,得,一本书有1000000个印刷符号,排版时每个符号被排错的概率为千分,之一.校对时,每个排版错误被改正的,概率为0.99.求在校对后错误不多于,每周一题12,15个的概率.,第12周问题,