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3.5多个随机变量的函数的分布,问题：已知二维随机变量(X,Y)的分布，,如何求出Z=g(X,Y)的分布？,有一大群人，令X和Y分别表示一个人的年龄和体重，Z表示该人的血压，并且已知Z与X,Y的函数关系Z=f(X,Y)，如何通过X,Y的分布确定Z的分布.,(1)设(X1,X2)是二维离散型随机变量，则Z=g(X1,X2)是一维离散型随机变量.,3.5.1两个离散型随机变量函数的分布,(2)二维离散型随机变量函数的分布是容易求的：,i)对(X1,X2)的各种可能取值对，写出Z相应的取值.,ii)对Z的相同的取值，合并其对应的概率.,求随机变量Z=X+Y的分布律.,结论,若二维随机变量(X,Y)的联合分布律为,则随机变量Z=(X,Y)的分布律为,例2设X与Y独立，且X,Y等可能地取值0和1.求Z=max(X,Y)的分布律.,解:,X01P1/21/2,Y01P1/21/2,Z=max(X,Y)的取值为:0,1,P(Z=0)=P(X=0,Y=0),=(X=0)P(Y=0),=1/4,P(Z=1),=P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1),=3/4,1.Z=X+Y的分布,3.3.2两个连续型随机变量的函数的分布,由此可得概率密度函数为,由于X与Y对称,当X,Y独立时,例3,若(X,Y),求Z=X+Y的概率密度.,解:,fZ(z)=,由f(x,y)的表达知，当x0，z-x0时,被积函数不为0，如图3-6.,例4X与Y是独立同分布的标准正态变量，求Z=X+Y的分布.,解：,所以Z=X+YN(0,2).,说明,有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布.,例如，设X、Y独立，都具有正态分布，则3X+4Y+1也具有正态分布.,一般地，设X,Y相互独立,且仍然服从正态分布，则Z=X+Y也服从正态分布，且有,设X1,X2,Xn,独立同分布，其分布函数和概率密度分别为FX(x)和fX(x).若记,M=max(X1,X2,Xn),N=min(X1,X2,Xn),则,M的分布函数:,Fmax(z)=FX(y)n,M的概率密度:,fmax(z)=nFX(y)n1fX(y),N的分布函数:,Fmin(z)=11FX(z)n,N的概率密度:,fmin(z)=n1FX(z)n1fX(z),（二）最大值、最小值的分布,例5设系统L由两个相互独立的子系统L1和L2联接而成，其联接方式分别为(1)串联、(2)并联,如图3-7所示.设L1和L2的寿命分别为X和Y，已知它们的密度函数分别为:,其中0,0.试分别就以上两种联接方式，求出系统L的寿命Z的概率密度.,解:（1）串联情况.因为当L1和L2中有一个损坏，系统L就停止工作，所以，此时L的寿命为Z=minX,Y.由已知可知X和Y的分布函数分别为：,所以Z的分布函数为,FZ(z)=1-1-FX(z)1-FY(z),于是得Z的概率密度,(2)并联情况.此时系统L的寿命为Z=maxX,Y.所以Z的分布函数为,FZ(z)=FX(z)FY(z)=,于是得Z的概率密度,fZ(z)=,分布的可加性,若同一类分布的独立随机变量和的分布仍是此类分布，则称此类分布具有可加性.,二项分布的可加性,若Xb(n1,p)，Yb(n2,p)，,注若Xib(1,p)，且独立，则Z=X1+X2+Xnb(n,p).,则Z=X+Yb(n1+n2,p).,泊松分布的可加性,若,注XY不服从泊松分布.,且独立，,则Z=X+Y(1+2).,正态分布的可加性,若XN()，YN()，,注XY不服从N().,则Z=XYN().,独立正态变量的线性组合仍为正态变量.,XiN(i,i2),i=1,2,.n.且Xi间相互独立,实数a1,a2,.,an不全为零,则,1.Z=X+Y的概率密度,小结,当X与Y独立，Z=X+Y的概率密度为,设X1,X2,Xn,独立同分布，其分布函数和概率密度分别为FX(x)和fX(x).,M=max(X1,X2,Xn),N=min(X1,X2,Xn),则,M的分布函数:,Fmax(z)=FX(y)n,M的概率密度:,fmax(z)=nFX(y)n1fX(y),N的分布函数:,Fmin(z)=11FX(z)n,N的概率密度:,fmin(z)=n1FX(z)n1fX(z),2.最大值、最小值的分布,若XN()，YN()，,且独立，,则Z=XYN().,独立正态变量的线性组合仍为正态变量.,3.正态分布的可加性,XiN(i,i2),i=1,2,.n.且Xi间相互独立,实数a1,a2,.,an不全为零,则,课堂练习,1设两个相互独立的随机变量X与Y分别服从正态分布N(0,1),N(1,1)，则（）.,B,则,2设X和Y为两个随机变量且,D,
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