能量及其守恒

第六讲能量及其守恒6.1 功和功率6.1.1恒力的功：如果一个恒力 F 作用在一个质点上 , 质点发生的位移为S , 则力在这段位移上所做的功为 WFS cos , 式中是 F 和 S 之间的夹角6.1.2变力的功质 点 在 变 力 F 的 作 用 下 沿 曲 线 从 点 a 运 动 到 点 b 的 有 限 过 程 中 , 力 F 做 的 功 为bbAF drF cosdsaadAF drF cosdsF x dxF ydyF zdz几种常见力的功（ 1）重力的功（ 2）弹力的功Wmg( h2h1 )W1 kx121 kx2222（3）万有引力的功GMmGMmWr1r26.1.4 功率：作用在物体上的力在单位时间内所做的功称为功率, 即 PWt注意 ：（ 1）一个力做的功与参考系有关，一对相互作用力做功与参考系无关，因此，一对力做的功只需在其中一物为参照系下计算。（2）一对滑动摩擦力做功之和永远做负功；一对静摩擦力做功之和为0.某时刻的瞬时功率PF v cos, 式中 v 为某时刻的瞬时速度,为 v 与 F 的夹角例 1：是推导弹力做功和万有引力做功的表达式。6.2 动能和动能定理物体由于运动而具有的能量, 叫做动能质点的动能为 Ek1 mv2；质点系的动能为122Ekmi vi2质点动能定理：合外力对质点所做功的代数和等于质点始末状态下动能的增量, 即A EEK11 mv21 mv2外K22221质点系动能定理：作用在质点系的全部外力对系统所做的功及系统内各质点相互作用力（内力）的功的代数和等于该质点系的总动能的增量, 即A A EK 2EK11 m v21 mv2外内i2i i 2i2i i16.2.4柯尼希定理：设质点系质心的速度为v，总质量为，第i个质点相对于质心的速度cM为 vi，则质点系的总动能：E k1mi vi21Mv c222例 2：（ 1）试证明柯尼希定理。 （ 197）（ 2）设两质点的质量分别为 m1 和 m2，质心速度为 vc，质点 2 相对于质点 1 的速度为 u，求质点系的总动能。例 3：在光滑的水平桌面上竖直放置着半径为 r 、质量为 m的匀质圆环，圆环在竖直平面内作纯滚动，环心的速度恒为 v，求此运动圆环的动能。 （ 200）6.3 保守力与势能做功与路径无关的力称为保守力以保守力相互作用的物体系统, 在一定的位置状态下所具有的能量称作势能常见的几种保守力如重力、弹力、万有引力系统内有保守力, 它是势能存在的前提, 系统内有某种保守力, 就存在与之对应的某种势能力学中常见的势能有三种形式：mghC重力势能EP1 kx 2C弹力势能2G mMC 引力势能r式中 ,C 为任意常数 , 当选定势能零点后 ,C 为确定值（也可能为零）保守力的功只取决于受力质点的始、末位置 , 而与路径无关 亦即沿任意闭合路径, 保守力对质点所做的功为零 , 即F保dl0.l6.4 功能原理和机械能守恒功能原理：物体系在一过程中机械能的增量 , 等于该过程中外力做功与非保守力做功的总和 ,即A外A 非保守E2E1(EK2EP) (EKEP)2116.4.2机械能守恒定律一个物体系统 , 如果只有保守内力做功, 而其他非保守内力及外力都不做功, 则该物体系的机械能不变 , 即当A外0， A非守0时， EE0常数例 4：如图所示，质量为 M的滑块可以在光滑水平导轨上滑动，长为 L 的轻绳一端系于滑块M上，另一端系一质量为 m的小球。今将绳沿水平拉直，使小球与滑块等高，并同时释放。问：当绳与水平导轨间夹角为 时绳中的张力 T 为多大？（ 213 ）6.5 碰撞如果两个物体 （球）在碰撞前后的速度都在其中心连线上,这种碰撞成为正碰 （或对心碰撞） ；否则就叫斜碰在正碰和斜碰中,根据动能的变化情况,可分为完全弹性碰撞（常见成为“弹性碰撞”）、非完全弹性碰撞和完全非弹性碰撞6.5.1 完全弹性碰撞如果两个物体（球）在一水平面上作完全弹性碰撞,这时相互碰撞的两个物体（球）组成的系统不仅动量守恒,而且能量守恒 ,即有m1v10m2 v20m1v2m2v21 m v21 m v21 m v21 m v221102220212222联立两式可得：v10v20v2v1v1m1m2 v102m2v20再联立 可得：m1m2m1 m22m1m1m2 v20v2v10m1m2m1m2v1m1v10m2 v20m2( v10v20 )m1m2m1m2整理后可得：m1v10m2 v20m2v2( v10v20 )m1m2m1 m2其中，前一项是质心的速度，即vcm1 v10m2 v20m1m2m2后一项是质点碰后的相对速度：v(v10v20 )m1m2非完全弹性碰撞和完全非弹性碰撞一般情况下 ,两个物理碰撞时总要损失一部分能量,这叫做非完全弹性碰撞对非完全弹性碰撞动量守恒仍成立 ,但系统动能不守恒 如若两物理在碰撞后以同一速度运动 ,并不分开 ,这叫做完全非弹性碰撞恢复系数定义为两物体碰后的分离速度（v2v1 ）与碰前的接近速度（v10v20 ）的比值 ,即ev2v1, e 的值在 0 和 1之间若 e1 ,则为完全弹性碰撞；0 e 1,则为非完全弹性v10v20碰撞； e0,则为完全非弹性碰撞对心碰撞过程中损失的动能：E11e2m1m2v10v2022m1 m2例 5：一弹球由阶梯上逐级下弹，他击打在每一步阶梯的同一位置，并且在每一步阶梯上弹起相同的高度。设该阶梯的高和宽均为s，球与阶梯的恢复系数为e，球与阶梯相碰无摩擦。求弹球所必需的水平速度和弹起的高度。（224 ）练习 1如图所示，光滑无摩擦的桌面上，两个质量均为M 的小球被一根轻质细线连在一起，用一恒力F 垂直地拉细线中心，直到两球发生非弹性碰撞（黏在一起）。设绳长为2L ，起初细线拉直，求碰撞过程中损失的机械能。练习 2一列火车质量为M ，在额定功率推动下，阻力恒定。火车经过实践t，前进距离s，是速度从v0 达到最大值vm，求火车的额定功率P 和所受阻力f。（ 180）练习 3 在用 235U 做燃料的核反应堆中， 铀核吸收一个动能约为 0.025eV的热中子（慢中子）后，可发生裂变反应， 能放出 23 个快中子， 而快中子不利于铀核的裂变。为了能使反应继续，需要时反应中释放的快中子减速。有一种方法是用石墨做减速剂。设中子与C 原子的碰撞是对心碰撞，问一个动能为E0=1.75MeV 的快中子需要与静止地C 原子碰撞过多少次，才能减速为动能为0.025eV 的热中子 ?(lg7=0.8451,lg11=1.0414,lg13=1.1139). （ 228）练习 4 N 个相同的、 质量均为 m 的小滑块排成一行， 静止在光滑的水平面上，间距。现有一质量为 M 的大滑块以速度 u 从左方沿 N 个滑块的连线射向滑块，假设滑块间的碰撞皆为完全弹性的，试求所有滑块的最终速度。 （ 245）各滑块间有并与之正碰。练习 5 水平地面上整齐堆放着三个质量分布均匀、长度相等、半径为r 的圆柱体，如图所示。设图中三个圆柱体A 、 B 、C 的质量分别为 mA =2mB=2mc=2m。（1）设所有接触的静摩擦系数均为，试确定保持图中位形所需的最小值。（2）若 =0，从图中位形释放，求柱A 落地时的速度。 （241）