《电磁波总复习》PPT课件

电磁场与电磁波 高等教育出版社 1 电磁场与电磁波 高等教育出版社 2 1. 标量和矢量 矢量的大小或模 ： AA 矢量的单位矢量 ： 标量 ： 一个只用大小描述的物理量。 A Ae A 矢量的代数表示 ： AeAeA AA 1.1 矢量代数 矢量 ： 一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字 母或带箭头的字母表示。 矢量的几何表示 ： 一个矢量可用一条有方向的线段来表示 注意 ： 单位矢量不一定是常矢量。 A 矢量的几何表示 常矢量 ： 大小和方向均不变的矢量。 电磁场与电磁波 高等教育出版社 3 zzyyxx AeAeAeA A A A A A A x y z c o s c o s c o s )c o sc o sc o s( zyx eeeAA 矢量用坐标分量表示 c o sc o sc o s zyxA eeee z Ax A Ay Az x y O 电磁场与电磁波 高等教育出版社 4 （ 1）矢量的加减法 )()()( zzzyyyxxx BAeBAeBAeBA 两矢量的加减在几何上是以这两矢量为 邻边的平行四边形的对角线 ,如图所示。 矢量的加减符合交换律和结合律 2. 矢量的代数运算 矢量的加法 BA A B 矢量的减法 BA AB B 在直角坐标系中两矢量的加法和减法： 结合律 ( ) ( )A B C A B C A B B A 交换律 电磁场与电磁波 高等教育出版社 5 （ 2）标量乘矢量 （ 3）矢量的标积（点积） zzyyxx kAekAekAeAk zzyyxx BABABAABBA c o s A B B A 矢量的标积符合交换律 1 zzyyxx eeeeee 0 xzzyyx eeeeee A B 矢量 与 的夹角 A B A B A B 0 BA / A B AB 电磁场与电磁波 高等教育出版社 6 （ 4）矢量的矢积（叉积） s inABeBA n )()()( xyyxzzxxzyyzzyx BABAeBABAeBABAeBA zyx zyx zyx BBB AAA eee BA ABBA sin AB BA B A 矢量 与 的叉积 A B 用坐标分量表示为 写成行列式形式为 BA ABBA 若 ，则 BA / 0 BA 若 ，则 电磁场与电磁波 高等教育出版社 7 （ 5）矢量的混合运算 CBCACBA )( CBCACBA )( )()()( BACACBCBA CBABCACBA )()()( 分配律 分配律 标量三重积 矢量三重积 电磁场与电磁波 高等教育出版社 8 三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来 确定。 1.2 三种常用的正交曲线坐标系 在电磁场与波理论中， 三种常用的正交曲线坐标系为： 直角 坐标系、圆柱坐标系和球坐标系 。 三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为 正交曲线坐标系 ；三条正交曲线称为 坐标轴 ；描述坐标轴的量称 为 坐标变量 。 电磁场与电磁波 高等教育出版社 9 1. 直角坐标系 zeyexer zyx 位置矢量 面元矢量 线元矢量 zeyexel zyx dddd zyelleS xzyxx ddddd yxelleS zyxzz ddddd 体积元 zyxV dddd zxelleS yzxyy ddddd 坐标变量 zyx , 坐标单位矢量 zyx eee , 点 P(x0,y0,z0) 0 y y （平面） o x y z 0 x x （平面） 0 z z （平面 ） P 直角坐标系 xe ze ye x y z 直角坐标系的长度元、面积元、体积元 o d z d y d x zyeS xx ddd yxeS zz ddd zxeS yy ddd 电磁场与电磁波 高等教育出版社 10 2. 圆柱坐标系 ddddd ddddd ddddd zzz z z elleS zelleS zelleS z,坐标变量 zeee , 坐标单位矢量 zeer z 位置矢量 zeeel z dddd 线元矢量 zV dddd 体积元 面元矢量 圆柱坐标系中的线元、面元和体积元 圆柱坐标系 0 （ 半平面 ） 0（ 圆柱面 ） 0zz （ 平面 ） ),( 000 zP 电磁场与电磁波 高等教育出版社 11 dds i nddd 2relleS rrr dds inddd rrelleS zr ddddd rrelleS r 3. 球坐标系 ,r 坐标变量 eee r ,坐标单位矢量 rer r 位置矢量 ds inddd rererel r 线元矢量 ddds ind 2 rrV 体积元 面元矢量 球坐标系中的线元、面元和体积元 球坐标系 0 （ 半平面 ） 0 （ 圆锥面 ） 0rr（ 球面 ） ),( 000 rP 电磁场与电磁波 高等教育出版社 12 1.3 标量场的梯度 如果物理量是标量，称该场为 标量场 。 例如 ：温度场、电位场、高度场等。 如果物理量是矢量，称该场为 矢量场 。 例如 ：流速场 、 重力场 、电场、磁场等。 如果场与时间无关，称为 静态场 ，反之为 时变场 。 时变标量场和矢量场可分别表示为： 、),( tzyxu ),( tzyxF 确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在 该区域上定义了一个 场 。 从数学上看，场是定义在空间区域上的函数： 标量场和矢量场 、),( zyxu ),( zyxF静态标量场和矢量场可分别表示为： 电磁场与电磁波 高等教育出版社 13 1. 标量场的等值面 等值面 : 标量场取得同一数值的点在空 间形成的曲面。 Czyxu ),(等值面方程 ： 常数 C 取一系列不同的值，就得到一系列 不同的等值面，形成等值面族； 标量场的等值面充满场所在的整个空间； 标量场的等值面互不相交。 等值面的特点 ： 意义 : 形象直观地描述了物理量在空间 的分布状态。 标量场的等值线 (面 ) 电磁场与电磁波 高等教育出版社 14 标量场的梯度是矢量场，它在空间某 点的方向表示该点场变化最大（增大） 的方向，其数值表示变化最大方向上 场的空间变化率。 标量场在某个方向上的方向导数，是 梯度在该方向上的投影。 梯度的性质 ： 梯度运算的基本公式 ： uufuf uvvuuv vuvu uCCu C )()( )( )( )( 0 标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面） 电磁场与电磁波 高等教育出版社 15 2. 矢量场的通量 问题 ： 如何定量描述矢量场的大小？ 引入通量的概念。 nd d dSSF S F e S 通量的概念 nddS e S 其中： 面积元矢量； ne 面积元的法向单位矢量； dSnddF e S 穿过面积元 的通量。 如果曲面 S 是闭合的，则 规定曲面的法向矢量由闭合曲面 内指向外 ，矢量场对闭合曲面的通量是 ),( zyxF Sd ne 面积元矢量 SS SeFSF dd n 电磁场与电磁波 高等教育出版社 16 圆柱坐标系 )(s i n1)( s i ns i n1)(1 22 FrFrFrrrF r z FFFF z )( 球坐标系 z F y F x FF zyx 直角坐标系 散度的表达式 ： 散度的有关公式 ： GFGF fFFfFf kFkFk fCfC CCC )( )( 为 常量)()( )( )为 常矢量(0 P18 电磁场与电磁波 高等教育出版社 17 4. 散度定理 VS VFSF dd 体积的剖分 V S1 S2 en2 en1 S 从散度的定义出发，可 以得到矢量场在空间任意闭 合曲面的通量等于该闭合曲 面所包含体积中矢量场的散 度的体积分，即 散度定理是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换关系， 在电磁理论中有着广泛的应用。 电磁场与电磁波 高等教育出版社 18 如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为 无 旋场 ，又称为 保守场 。 C lzyxF d),( 环流的概念 矢量场对于闭合曲线 C 的环流定义为该矢量对闭合曲线 C 的线积分，即 如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为 有旋矢量场 ，能够激发有旋矢量场的源称为 旋涡源 。电流是 磁场的旋涡源。 电磁场与电磁波 高等教育出版社 19 y F x Fe x F z Fe z F y FeF xy z zx y yz x 旋度的计算公式 : z z FFF z eee F 1 FrrFF r erere r F r r s i n s i n s i n 1 2 直角坐标系 圆柱坐标系 球坐标系 zyx zyx FFF zyx eee 电磁场与电磁波 高等教育出版社 20 SC SFlF dd 3. 斯托克斯定理 斯托克斯 定理是闭合曲线 积分与曲面积分之间的一个变 换关系式，也在电磁理论中有 广泛的应用。 图 1. 5. 5 曲面的 划 分 C S n 曲面的 剖分 方向相反大小 相等结果抵消 从旋度的定义出发，可以得到矢量场沿任意闭合曲线的环 流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即 电磁场与电磁波 高等教育出版社 21 1. 矢量场的源 散度源 ： 是标量，产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量 等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和， 源在一给定点的（体）密度等于（或正比于）矢量 场在该点的散度； 旋度源 ： 是矢量，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过一曲面 的旋度源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭合回 路的环量，在给定点上，这种源的（面）密度等于 （或正比于）矢量场在该点的旋度。 1.6 无旋场与无散场 电磁场与电磁波 高等教育出版社 22 2. 矢量场按源的分类 （ 1）无旋场 0d C lF 性质 ： ，线积分与路径无关，是保守场。 仅有散度源而无旋度源的矢量场， 0 F 无旋场 可以用标量场的梯度表示为 例如：静电场 0E E uF ( ) 0Fu 电磁场与电磁波 高等教育出版社 23 （ 2）无散场 仅有旋度源而无散度源的矢量场 ，即 性质 ： 0d S SF 0 F 无散场可以表示为另一个矢量场的旋度 例如，恒定磁场 AB 0B AF 0)( AF 电磁场与电磁波 高等教育出版社 24 电磁场与电磁波 高等教育出版社 25 2.1.3 电荷守恒定律（电流连续性方程） 电荷守恒定律 :电荷既不能被创造，也不能被消灭，只能从物体 的一部分转移到另一部分，或者从一个物体转移 到另一个物体。 电流连续性方程 积分形式 微分形式 流出闭曲面 S 的电流 等于体积 V 内单位时 间所减少的电荷量 恒定电流的连续性方程 0t 恒定电流是无源场，电 流线是连续的闭合曲线， 既无起点也无终点 电荷守恒定律是电磁现象中的基本定律之一。 VS VttqSJ dddddd tJ 0d S SJ 、0 J 电磁场与电磁波 高等教育出版社 26 1. 库仑 （ Coulomb） 定律 (1785年 ) 真空中静止点电荷 q1 对 q2 的作用力 : y x z o 1r 1q 2r 12R 12F 2q ，满足牛顿第三定律。 2 1 1 2FF 大小与两电荷的电荷量成正比，与两电荷距离的平方成反比； 3 120 1221 2 120 21 12 44 R Rqq R qqeF R 2.2.1 库仑定律 电场强度 方向沿 q1 和 q2 连线方向，同性电荷相排斥，异性电荷相吸引； 说明： 电磁场与电磁波 高等教育出版社 27 电场力服从叠加定理 ()iiR r r 真空中的 N个点电荷 （分别位于 ） 对点电荷 （位于 ）的作用力为 12 Nq q q、 、 、 q 12 Nr r r、 、 、 r q q1 q2 q3 q4 q5 q6 q7 N i i ii N i qqq R RqqFF i 1 3 01 4 电磁场与电磁波 高等教育出版社 28 2. 电场强度 空间某点的电场强度定义为置于该点的单位点电荷（又称 试验电荷）受到的作用力，即 00 )(lim)( 0 q rFrE q 3 04 )( RRqrE 如果电荷是连续分布呢？ 根据上述定义，真空中静止点 电荷 q 激发的电场为 ()R r r 描述电场分布的基本物理量 电场强度矢量 E 0q 试验正电荷 y x z o r q r R E M 电磁场与电磁波 高等教育出版社 29 小体积元中的电荷产生的电场 ()r V y x z o r iV r M )(rS 面密度为 的面分布 电荷的电场强度 )(rl 线密度为 的线分布 电荷的电场强度 体密度为 的体分布电荷产生的电场强度 )(r i i iii R RVrrE 3 04 )()( V VR Rr d)(4 1 3 0 S S SR RrrE d)(4 1)( 3 0 C l lR RrrE d)(4 1)( 3 0 电磁场与电磁波 高等教育出版社 30 3. 几种典型电荷分布的电场强度 02 lE 2 2 3 2 0 ( 0 , 0 , ) 2 ( )lz azEz az + （无限长） （有限长） l y x z o M a 均匀带电圆环 l 1 z M 2 均匀带电直线段 均匀带电直线段的电场强度 ： 均匀带电圆环轴线上的电场强度： 12 0 21 0 ( c o s c o s ) 4 ( sin sin ) 4 l l z E E r r r - - 电磁场与电磁波 高等教育出版社 31 5 3 3 00 1 3 ( )( ) 2 c o s s i n 4 4 r p r r p PE r e e r r r p ql 电偶极矩 Er +q 电偶极子 z o l q 电偶极子的场图 等位线 电场线 电偶极子是由相距很近、带等值异号的两个点电荷组成的 电荷系统，其远区电场强度为 电偶极子的电场强度： 电磁场与电磁波 高等教育出版社 32 例 2.2.1 计算均匀带电的环形薄圆盘轴线上任意点的电场强 度。 解 ： 如图所示，环形薄圆盘的内半径为 a 、外半径为 b，电荷 面密度为 。 在环形薄圆盘上取面积元 ， 其位置矢量为 ， 它所带的电量为 。 而薄圆盘轴线上的场点 的位置 矢量为 ，因此有 S d d d S re d d d d SSqS (0, 0, )Pz zr e z 2 2 2 3 / 20 0 ( ) d d4 ( )b zS a e z eEr z P(0,0,z) b r R y z x 均匀带电的环形薄圆盘 dS a dE 2 2 00 d c o s s i n )d 0 xy e ( e e 故 2 2 3 / 2 2 2 1 / 2 2 2 1 / 2 00 d 1 1() 2 ( ) 2 ( ) ( ) bSS zz a zz z z a z b E r e e 由于 电磁场与电磁波 高等教育出版社 33 2.2.2 静电场的散度与旋度 VS VrSrE )d(1d)( 0 高斯定理表明 ： 静电场是有源场，电力线起始于正电荷，终止 于负电荷。 静电场的散度 （微分形式） 1. 静电场散度与高斯定理 静电场的高斯定理 （积分形式） ( ) 0Er 环路定理表明 ： 静电场是无旋场，是保守场，电场力做功与路径 无关。 静电场的旋度 （微分形式） 2. 静电场旋度与环路定理 静电场的环路定理 （积分形式） 0d)( C lrE 0 )()( rrE 电磁场与电磁波 高等教育出版社 34 在电场分布具有一定对称性的情况下，可以利用高斯定理计 算电场强度。 3. 利用高斯定理计算电场强度 具有以下几种对称性的场可用高斯定理求解： 球对称分布 ：包括均匀带电的球面，球体和多层同心球壳等。 带电球壳 多层同心球壳 均匀带电球体 a O 0 电磁场与电磁波 高等教育出版社 35 无限大平面电荷 ：如无限大的均匀带电平面、平板等。 轴对称分布 ：如无限长均匀带电的直线，圆柱面，圆柱壳等。 电磁场与电磁波 高等教育出版社 36 1. 安培力定律 y x z o 1r 11dIl 2r 12R 1C 2C 22dIl 安培对电流的磁效应进行了大量 的实验研究，在 1821 1825年之间， 设计并完成了电流相互作用的精巧实 验，得到了电流相互作用力公式，称 为安培力定律。 实验表明 ， 真空中的载流回路 C1 对载流回路 C2 的作用力 载流回路 C2 对载流回路 C1 的作用力 2 1 1 2FF 安培力定律 2.3.1 安培力定律 磁感应强度 满足牛顿 第三定律 2 1 3 12 1211220 12 )d(d 4 C C R RlIlIF 电磁场与电磁波 高等教育出版社 37 2. 磁感应强度 B 电流在其周围空间中产生磁场 ， 描述磁场分布的基本物理 量是磁感应强度 ， 单位为 T（ 特斯拉 ） 。 B 磁场的重要特征是对场中的电流磁场力作用 ， 载流回路 C1 对载流回路 C2 的作用力是回路 C1中的电流 I1 产生的磁场对回 路 C2中的电流 I2 的作用力 。 根据安培力定律 ， 有 其中 电流 I1在电流元 处产生的磁感应强度 22dIl 22 1 )(d)d4(d 21223 12 12110 2212 CC C rBlIR RlIlIF 1 3 12 12110 21 d 4)( C R RlIrB 电磁场与电磁波 高等教育出版社 38 任意电流回路 C 产生的磁感应强度 电流元 产生的磁感应强度 dIl 体电流产生的磁感应强度 面电流产生的磁感应强度 y x z o r dIl r R C M CC R RlIrr rrlIrB 3030 d4)(d4)( 3 0 )(d 4)(d rr rrlIrB VR RrJrB V d)(4)( 30 SR RrJrB S S d)(4)( 30 电磁场与电磁波 高等教育出版社 39 3. 几种典型电流分布的磁感应强度 2 0 2 2 3 2( 0 , 0 , ) 2 ( )z IaB z e az 载流直线段的磁感应强度 ： 载流圆环轴线上的磁感应强度： 0 12( c o s c o s )4 IBe （有限长） （无限长） 0 2 IBe I 1 z P 2 载流直线段 I y x z o P a 载流圆环 电磁场与电磁波 高等教育出版社 40 2.3.2 恒定磁场的散度和旋度 )()( 0 rJrB ISrJlrB SC 00 d)(d)( 1. 恒定磁场的散度与磁通连续性原理 磁通连续性原理 表明 ： 恒定磁场是无源场，磁感应线是无起点和 终点的闭合曲线。 恒定场的散度 （微分形式） 磁通连续性原理 （积分形式） 安培环路定理表明 ： 恒定磁场是有旋场，是非保守场、电流是磁 场的旋涡源。 恒定磁场的旋度 （微分形式） 2. 恒定磁场的旋度与安培环路定理 P48 安培环路定理 （积分形式） 0d)( S SrB 0)( rB 电磁场与电磁波 高等教育出版社 41 2.4.1 电介质的极化 电位移矢量 1. 电介质的极化现象 电介质的分子分为无极分 子和有极分子。 无极分子 有极分子 无外加电场 无极分子 有极分子 有外加电场 E 在 电场作用下，介质中无 极分子的束缚电荷发生位移， 有极分子的固有电偶极矩的取 向趋于电场方向，这种现象称 为电介质的极化。 无极分子的极化称为位移 极化，有极分子的极化称为取 向极化。 电磁场与电磁波 高等教育出版社 42 由于极化，正、负电荷发生位移，在电介质内部可能出现净 余的极化电荷分布，同时在电介质的表面上有面分布的极化电荷。 3. 极化电荷 ( 1 ) 极化电荷体密度 在电介质内任意作一闭合面 S， 只 有电偶极矩穿过 S 的分子对 S 内的极化 电荷有贡献。由于负电荷位于斜柱体内 的电偶极矩才穿过小面元 dS ，因此 dS 对极化电荷的贡献为 Pd d c o s d c o s dq q n l S P S P S S 所围的体积内的极化电荷 为 Pq VSP VPSPq dd P P E S P Sd V 电磁场与电磁波 高等教育出版社 43 ( 2 ) 极化电荷面密度 pnS Pe 紧贴电介质表面取如图所示的闭合曲面，则穿过面积元 的极化电荷为 dS Pd d c o s d c o s dq q n l S P S P S 故得到电介质表面的极化电荷面密度为 ne dS S P 电磁场与电磁波 高等教育出版社 44 EP e0 EEED 0re0 )1( 在这种情况下 0re0 )1( er 1 其中 称为介质的介电常数， 称为介 质的相对介电常数（无量纲）。 P53 * 介质有多种不同的分类方法，如： 均匀和非均匀介质 各向同性和各向异性介质 时变和时不变介质 线性和非线性介质 确定性和随机介质 5. 电介质的本构关系 E 极化强度 与电场强度 之间的关系由介质的性质决定。 对于线性各向同性介质， 和 有简单的线性关系 P EP 电磁场与电磁波 高等教育出版社 45 2.4.2 磁介质的磁化 磁场强度 1. 磁介质的磁化 介质中分子或原子内的电子运动形 成分子电流，形成分子磁矩 无外加磁场 外加磁场 B 在外磁场作用下，分子磁矩定向 排列，宏观上显示出磁性，这种现象 称为磁介质的 磁化 。 mp i S 无外磁场作用时，分子磁矩不规 则排列，宏观上不显磁性。 mp i S 电磁场与电磁波 高等教育出版社 46 MJM MM dSI J S 由 ，即得到磁化电流体密度 M t td d d dI M l M e l M l 在紧贴磁介质表面取一长度元 dl，与此交链的磁化电流为 （ 2） 磁化电流面密度 MSJ MtSJM 则 即 MnSJ M e 的切向分量 M MSJ ne M ld 电磁场与电磁波 高等教育出版社 47 )()( rJrH SC SrJlrH d)(d)( 0)( rB 0d)( S SrB 则得到介质中的安培环路定理为： 磁通连续性定理为 小结 ：恒定磁场是有 旋无 源场，磁介质中的基本方程为 （积分形式） （微分形式） 0)( )()( rB rJrH 0d)( d)(d)( S SC SrB SrJlrH 电磁场与电磁波 高等教育出版社 48 2.4.3 媒质的传导特性 对于线性和各向同性导电媒质，媒质内任一点的电流密度矢 量 J 和电场强度 E 成正比，表示为 EJ 这就是欧姆定律的微分形式。式中的比例系数 称为媒质的电 导率，单位是 S/m（西 /米）。 晶格 带电粒子 存在可以自由移动带电粒子的介质称为 导电媒质 。在外场作 用下，导电媒质中将形成定向移动电流。 电磁场与电磁波 高等教育出版社 49 2.5 电磁感应定律和位移电流 本节内容 2.5.1 电磁感应定律 2.5.2 位移电流 电磁感应定律 揭示时变磁场产生电场。 位移电流 揭示时变电场产生磁场。 重要结论 ： 在时变情况下，电场与磁场相互激励，形成统一 的电磁场。 电磁场与电磁波 高等教育出版社 50 2.5.1 电磁感应定律 1881年 法拉第发现 ， 当穿过导体回路的磁通量发生变化时 ， 回路中就会出现感应电流和电动势 ， 且感应电动势与磁通量的变 化有密切关系 ， 由此总结出了著名的法拉 第 电磁感应定律 。 负号表示感应电流产生的磁场总是阻止磁通量的变化。 in d d t 1. 法拉第电磁感应定律的表述 in,i 当通过导体回路所围面积的磁通量 发生变化时 ， 回路中产生的感应电动势 的大小等于磁通量的时间变化率的负值 ， 方向是要阻止回路中磁通量的改变 ， 即 in 电磁场与电磁波 高等教育出版社 51 相应的微分形式为 (1) 回路不变，磁场随时间变化 d dd d SS BB S S tt 2. 引起回路中磁通变化的几种情况 磁通量的变化由磁场随时间变化引起，因此有 BE t SC StBlE dd ( 2 ) 导体回路在恒定磁场中运动 ( 3 ) 回路在时变磁场中运动 CC lBvlE d)(din C SC StBlBvlE dd)(din 动生电动势 电磁场与电磁波 高等教育出版社 52 全电流定律： t DJH 微分形式 StDJlHC s d)(d 积分形式 全电流定律揭示不仅传导电流激发磁场，变化的电场也可 以激发磁场。它与变化的磁场激发电场形成自然界的一个对偶 关系。 电磁场与电磁波 高等教育出版社 53 d t DJ 2. 位移电流密度 电位移矢量随时间的变化率，能像电 流一样产生磁场，故称“位移电流”。 注 ： 在绝缘介质中，无传导电流，但有位移电流。 在理想导体中，无位移电流，但有传导电流。 在一般介质中，既有传导电流，又有位移电流。 位移电流只表示电场的变化率，与传 导电流不同，它不产生热效应。 位移电流的引入是建立麦克斯韦方程组的至关重要的一步，它 揭示了时变电场产生磁场这一重要的物理概念。 dJ 电磁场与电磁波 高等教育出版社 54 2.6.1 麦克斯韦方程组的积分形式 VS VSJ dd S V S C S C S dVSD SB S t B lE S t D JlH d 0d dd d)(d 电磁场与电磁波 高等教育出版社 55 D B t B E t D JH 0 2.6.2 麦克斯韦方程组的微分形式 麦克斯韦第一方程，表明传导电 流和变化的电场都能产生磁场 麦克斯韦第二方程，表 明变化的磁场产生电场 麦克斯韦第三方程表明磁场是 无源场，磁感线总是闭合曲线 麦克斯韦第四方程， 表明电荷产生电场 电磁场与电磁波 高等教育出版社 56 2.6.3 媒质的本构关系 ED HB EJ )( 0)( )( )( E H H t E E t EH 代入麦克斯韦方程组中，有 0 / E HE t H E t H E 限定形式的麦克斯韦方程 （均匀媒质） 各向同性线性媒质的本构关系为 电磁场与电磁波 高等教育出版社 57 时变电场的激发源除了电荷以外，还有变化的磁场；而时变 磁场的激发源除了传导电流以外，还有变化的电场。电场和 磁场互为激发源，相互激发 。 时变电磁场的电场和磁场不 再相互独立，而是相互关联， 构成一个整体 电磁场。 电场和磁场分别是电磁场的 两个分量。 在离开辐射源（如天线）的无源空间中，电荷密度和电流密 度矢量为零，电场和磁场仍然可以相互激发，从而在空间形 成电磁振荡并传播，这就是电磁波。 电磁场与电磁波 高等教育出版社 58 在无源空间中，两个旋度方程分别为 t DH t BE , 可以看到两个方程的右边相差一个负号，而正是这个负号 使得电场和磁场构成一个相互激励又相互制约的关系。当磁场 减小时，电场的旋涡源为正，电场将增大；而当电场增大时， 使磁场增大，磁场增大反过来又使电场减小。 电磁场与电磁波 高等教育出版社 59 S V S C S C S dVSD SB S t B lE S t D JlH d 0d dd d)(d 2.7.1 边界条件一般表达式 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 () ( ) 0 ( ) 0 () S S e H H J e E E e B B e D D ne 媒质 1 媒质 2 分界面上的电荷面密度 分界面上的电流面密度 电磁场与电磁波 高等教育出版社 60 1.两种理想介质分界 面上的边界条件 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 e e e e DD BB EE HH 2.7.2 两种常见的情况 在两种理想介质 分界面上，通常没有 电荷和电流分布，即 JS 0、 S 0，故 的法向分量连续 D 的法向分量连续 B 的切向分量连续 E 的切向分量连续 H ne 媒质 1 媒质 2 、 的法向分量连续 D B ne 媒质 1 媒质 2 、 的切向分量连续 E H 电磁场与电磁波 高等教育出版社 61 2. 理想导体表面上的边界条件 n n n n 0 0 S S eD eB eE e H J 理想导体表面上的边界条件 设媒质 2为理想导体，则 E2、 D2、 H2、 B2均为零，故 理想导体 ：电导率为无限大的导电媒质 特征 ：电磁场不可能进入理想导体内 理想导体 D SJH 理想导体表面上的电荷密度等于 的法向分量 D 理想导体表面上 的法向分量为 0 B 理想导体表面上 的切向分量为 0 E 理想导体表面上的电流密度等于 的切向分量 H 电磁场与电磁波 高等教育出版社 62 电磁场与电磁波 高等教育出版社 63 2. 边界条件 0E D 微分形式： ED 本构关系： 1. 基本方程 0)( )( 21n 21n EE DD e e S 0d d lE SD C S q积分形式： 0)( 0)( 21n 21n EE DD e e 02t1t n2n1 EE DD S或 2t1t n2n1 EE DD或 3.1.1 静电场的基本方程和边界条件 若分界面上不存在面电荷，即 ，则 0 S 电磁场与电磁波 高等教育出版社 64 介质 2 介质 1 2 1 2 1 2E 1E ne 2 1 2n2 1n1 2n2t 1n1t 2 1 / / / / t a n t a n D D EE EE 在静电平衡的情况下，导体内部的电场为 0，则导体表面的 边界条件为 0n n E D e e S 0t n E D S或 场矢量的折射关系 导体表面的边界条件 电磁场与电磁波 高等教育出版社 65 2. 电位的表达式 对于连续的体分布电荷 ， 由 同理得 ， 面电荷的电位： 1 ( )( ) d 4 V rr V C R 故得 点电荷的电位： () 4 qrCR ()1( ) d 4 l C rr l C R d) 1 )( 4 1 d) 1 ()( 4 1 d )( 4 1 )( 3 V R r V R rV R Rr rE V VV 3) 1( R R R 线电荷的电位： rrR CSR rr S S d)(4 1)( 3 p13 电磁场与电磁波 高等教育出版社 66 3. 电位差 两端点乘 ，则有 ld E 将 d)ddd(dd yyyyxxllE 上式两边从点 P到点 Q沿任意路径进行积分 ， 得 关于电位差的说明 P、 Q 两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从 P点移至 Q 点 所做的功 ， 电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处 。 电位差也称为电压 ， 可用 U 表示 。 电位差有确定值 ， 只与首尾两点位置有关 ， 与积分路径无关 。 )()(dd QPlE QPQP P、 Q 两点间的电位差 电场力做 的功 电磁场与电磁波 高等教育出版社 67 静电位不惟一，可以相差一个常数，即 )( CC 选参考点 令参考点电位为零 电位确定值 (电位差 ) 两点间电位差有定值 选择电位参考点的原则 应使电位表达式有意义 。 应使电位表达式最简单 。 若电荷分布在有限区域 ， 通常取无 限远作电位参考点 。 同一个问题只能有一个参考点 。 4. 电位参考点 为使空间各点电位具有确定值 ， 可以选定空间某一点作为参考 点 ， 且令参考点的电位为零 ， 由于空间各点与参考点的电位差为确 定值 ， 所以该点的电位也就具有确定值 ， 即 电磁场与电磁波 高等教育出版社 68 在均匀介质中，有 5. 电位的微分方程 在无源区域， 0 E ED 2 02 标量泊松方程 拉普拉斯方程 电磁场与电磁波 高等教育出版社 69 6. 静电位的边界条件 设 P1和 P2是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点 ， 其电位分 别为 1和 2。 当两点间距离 l 0时 导体表面上电位的边界条件： 0dlim 2 10 21 P Pl E l Se )( 21n DD D由 和 1 2媒质 2 媒质 1 2 1 l 2P 1P 若介质分界面上无自由电荷，即 0 S nn 1 1 2 2 常数， Sn Snn 1 1 2 2 21 电磁场与电磁波 高等教育出版社 70 电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统 储存电荷 能力的物理量。 孤立导体的电容定义为所带电量 q与其电位 的比值，即 qC 1. 电容 孤立导体的电容 两个带等量异号电荷（ q） 的 导体组成的电容器，其电容为 12 qqC U 电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介质 的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。 E 02 U1 q q 电磁场与电磁波 高等教育出版社 71 (1) 假定两导体上分别带电荷 +q 和 q ； 计算电容的方法一 ： UqC (4) 求比值 ，即得出所求电容。 21 d lE U (3) 由 ，求出两导体间的电位差； (2) 计算两导体间的电场强度 E； 计算电容的方法二 ： (1) 假定两电极间的电位差为 U ； (4) 由 得到 ; nES S (2) 计算两电极间的电位分布 ； E (3) 由 得到 E ; S S Sq d (5) 由 ，求出导体的电荷 q ； UqC (6) 求比值 ，即得出所求电容。 电磁场与电磁波 高等教育出版社 72 如果充电过程进行得足够缓慢，就不会有能量辐射，充电过 程中外加电源所做的总功将全部转换成电场能量，或者说电场能 量就等于外加电源在此电场建立过程中所做的总功。 静电场能量来源于建立电荷系统的过程中外源提供的能量。 静电场最基本的特征是对电荷有作用力，这表明静电场具有 能量 。 任何形式的带电系统，都要经过从没有电荷分布到某个最终 电荷分布的建立 (或充电 )过程。在此过程中，外加电源必须克服 电荷之间的相互作用力而做功。 3.1.4 静电场的能量 电磁场与电磁波 高等教育出版社 73 1. 静电场的能量 设系统从零开始充电，最终带电量为 q 、电位为 。 充电过程中某一时刻的电荷量为 q 、电位为 。 (01) 当 增加为 (+ d)时，外电源做功为 : (q d)。 对 从 0 到 1 积分，即得到外电源所做的总功为 1 0 1d 2qq 根据能量守恒定律，此功也就是电量为 q 的带电体具有的电 场能量 We ，即 对于电荷体密度为 的体分布电荷，体积元 dV中的电荷 dV具 有的电场能量为 qW 21e VW d21d e 电磁场与电磁波 高等教育出版社 74 故体分布电荷的电场能量为 对于面分布电荷， 电场能量为 对于多导体组成的带电系统，则有 iq 第 i 个导体所带的电荷 i 第 i 个导体的电位 式中： i ii i S Si i S iS qSSW i ii i 21d21d21e V VW d21e S S SW d21e 电磁场与电磁波 高等教育出版社 75 2. 电场能量密度 从场的观点来看，静电场的能量分布于电场所在的整个空间。 EDw 21e 电场能量密度： e 1 d 2 VW D E V 电场的总能量： 积分区域为电场 所在的整个空间 2 e 1 1 1d d d 2 2 2V V VW D E V E E V E V 对于线性 、 各向同性介质 ， 则有 2 e 1 1 1 2 2 2w D E E E E 电磁场与电磁波 高等教育出版社 76 由 J E 可知，导体中若存在恒定电流，则必有维持该电流 的电场，虽然导体中产生电场的电荷作定向运动，但导体中的电 荷分布是一种不随时间变化的恒定分布，这种恒定分布电荷产生 的电场称为恒定电场。 恒定电场与静电场的重要区别： （ 1）恒定电场可以存在于导体内部。 （ 2）恒定电场中有电场能量的损耗 ,要维持导体中的恒定电 流，就必须有外加电源来不断补充被损耗的电场能量。 恒定电场和静电场都是有源无旋场，具有相同的性质。 3.2.1 恒定电场的基本方程和边界条件 电磁场与电磁波 高等教育出版社 77 EJ 0d 0d lE SJ C S 0 0 E J 1. 基本方程 恒定电场的基本方程为 微分形式： 积分形式： )(rJ 恒定电场的基本场矢量是电流密度 和电场强度 )(rE 线性各向同性导电媒质的本构关系 0)( EEJ 恒定电场的电位函数 0 E 0 E E 0 J 由 0)( 02 若媒质是均匀的，则 均匀导电媒质中 没有体分布电荷 电磁场与电磁波 高等教育出版社 78 2. 恒定电场的边界条件 0d lE C 0d SJ S 媒质 2 媒质 1 2 1 2 1 2E 1E ne 0)( 21n JJ e 0)( 21n EE e 场矢量的边界条件 2nn1 JJ 即 2t1t EE 即 导电媒质分界面上的电荷面密度 n 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 n21n )()()( JeeS JJDD 场矢量的折射关系 2 1 2n2 1n1 2n2t 1n1t 2 1 / / / / t a n t a n J J EE EE 电磁场与电磁波 高等教育出版社 79 电位的边界条件 nn 2 2 1 121 , 恒定电场同时存在于导体内部和外部 ， 在导体表面上的电场 既有法向分量又有切向分量 ， 电场并不垂直于导体表面 ， 因 而导体表面不是等位面； 说明 ： b11、 a 电磁场与电磁波 高等教育出版社 80 工程上，常在电容器两极板之间、同轴电缆的芯线与外壳之 间，填充不导电的材料作电绝缘。这些绝缘材料的电导率远远小 于金属材料的电导率，但毕竟不为零，因而当在电极间加上电压 U 时，必定会有微小的漏电流 J 存在。 漏电流与电压之比为漏电导，即 U IG 其倒数称为绝缘电阻，即 I U GR 1 3.2.3 漏电导 电磁场与电磁波 高等教育出版社 81 (1) 假定两电极间的电流为 I ； (2) 计算两电极间的电流密度 矢量 J ； (3) 由 J = E 得到 E ; (4) 由 ，求出两导 体间的电位差； (5) 求比值 ，即得出 所求电导。 21 d lE U UIG / 计算电导的方法一 ： 计算电导的方法二 ： (1) 假定两电极间的电位差为 U； (2) 计算两电极间的电位分布 ； (3) 由 得到 E ; (4) 由 J = E 得到 J ; (5) 由 ，求出两导体间 电流； (6) 求比值 ，即得出所 求电导。 E SI SJ d UIG / 计算电导的方法三 ： 静电比拟法： C G CG 电磁场与电磁波 高等教育出版社 82 0 HJ B 微分形式 : 0d dd S SC SB SJlH 1. 基本方程 BH 2. 边界条件 本构关系： SJHHe BBe )( 0)( 21n 21n SJHH BB t2t1 2n1n 0或 若分界面上不存在面电流，即 JS 0，则 积分形式 : 0)( 0)( 21n 21n HHe BBe 或 0 0 2tt1 n2n1 HH BB 3.3.1 恒定磁场的基本方程和边界条件 电磁场与电磁波 高等教育出版社 83 设回路 C 中的电流为 I ，所产生的磁场与回路 C 交链的磁链 为 ，则磁链 与回路 C 中的电流 I 有正比关系，其比值 IL 称为回路 C 的自感系数，简称自感。 外自感 IL i i IL o o 2. 自感 内自感； 粗导体回路的自感： L = Li + Lo 自感只与回路的几何形状、尺寸以及周围的磁介质有关，与 电流无关。 自感的特点 ： 电磁场与电磁波 高等教育出版社 84 对两个彼此邻近的闭合回路 C1 和回路 C2 ，当回路 C1 中通过 电流 I1 时，不仅与回路 C1 交链的 磁链与 I1 成正比，而且与回路 C2 交链的磁链 12 也与 I1 成正比，其 比例系数 1 21 21 IM 称为回路 C1 对回路 C2 的互感系数，简称互感。 2 12 12 IM 3. 互感 同理，回路 C2 对回路 C1 的互感为 C1 C2 I 1 I2 R o 1dl 2dl 2r 1r 电磁场与电磁波 高等教育出版社 85 互感只与回路的几何形状 、 尺寸 、 两回路的相对位置以及周围 磁介质有关 ， 而与电流无关 。 满足互易关系 ， 即 M12 = M21 当与回路交链的互感磁通与自感磁通具有相同的符号时 ， 互 感系数 M 为正值；反之 ， 则互感系数 M 为负值 。 互感的特点： 电磁场与电磁波 高等教育出版社 86 4. 纽曼公式 如图所示的两个 回路 C1 和回路 C2 ， 回路 C1中的电流 I1 在回路 C2 上的任一 点产生的矢量磁位 1 11021 d4)( C RlIrA 回路 C1中的电流 I1 产生的磁场与回路 C2 交链的磁链为 C1 C2 I 1 I2 R o 1dl 2dl 2r 1r 纽曼公式 2 12 1210121 dd4d C CC R llIlA 同理 2 1 12021 dd4 C C R llM 故得 1 2 21012 dd4 C C R llM 1 2 2101221 dd4 C C R llMMM 电磁场与电磁波 高等教育出版社 87 3.3.4 恒定磁场的能量 1. 磁场能量 在恒定磁场建立过程中，电源克服感应电动势做功所供给的 能量，就全部转化成磁场能量。 电流回路在恒定磁场中受到磁场力的作用而运动 ， 表明恒定 磁场具有能量 。 磁场能量是在建立电流的过程中 ， 由电源供给的 。 当电流从 零开始增加时 ， 回路中的感应电动势要阻止电流的增加 ， 因 而必须有外加电压克服回路中的感应电动势 。 假定建立并维持恒定电流时 ， 没有热损耗 。 假定在恒定电流建立过程中 ， 电流的变化足够缓慢 ， 没有辐 射损耗 。 电磁场与电磁波 高等教育出版社 88 2. 磁场能量密度 从场的观点来看，磁场能量分布于磁场所在的整个空间。 磁场能量密度： 磁场的总能量： 积分区域为磁场 所在的整个空间 对于线性 、 各向同性介质 ， 则有 m 1 2w B H m 1 d 2 VW B H V 2 m 1 1 1 2 2 2w B H H H H 2 m 1 1 1d d d 2 2 2V V VW B H V H H V H V 电磁场与电磁波 高等教育出版社 89 在场域 V 的边界面 S上给定 或 的 值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域 V 具 有惟一值。 n 3.4.2 惟一性定理 S V 惟一性定理的重要意义 给出了静态场边值问题具有惟一解的条件 为静态场边值问题的各种求解方法提供了理论依据 为求解结果的正确性提供了判据 惟一性定理的表述 电磁场与电磁波 高等教育出版社 90 2. 镜像法的原理 用位于场域边界外虚设的较简单的镜像电荷分布来等效替代 该边界上未知的较为复杂的电荷分布，从而将原含该边界的非均 匀媒质空间变换成无限大单一均匀媒质的空间，使分析计算过程 得以明显简化的一种间接求解法。 在导体形状、几何尺寸、带电状况和媒质几何结构、特性不 变的前提条件下，根据惟一性定理，只要找出的解答满足在同一 泛定方程下问题所给定的边界条件，那就是该问题的解答，并且 是惟一的解答。镜像法正是巧妙地应用了这一基本原理、面向多 种典型结构的工程电磁场问题所构成的一种有效的解析求解法。 3. 镜像法的理论基础 解的 惟一性定理 电磁场与电磁波 高等教育出版社 91 像电荷的个数、位置及其电量大小 “三要素 ” 。 4. 镜像法应用的关键点 5. 确定镜像电荷的两条原则 等效求解的 “ 有效场域 ” 。 镜像电荷的确定 像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中 。 像电荷的个数 、 位置及电荷量的大小以满足所求解的场 区域 的边界条件来确定 。 电磁场与电磁波 高等教育出版社 92 图 2 两平行圆柱导体的电轴 l b l h h b aa 通常将带电细线所在的位置称为圆柱导体的电轴，因而这 种方法又称为电轴法。 2a d d 由 2( ) ( )h b h b a 22b h a 利用线电荷与接地导体圆柱面 的镜像确定 b 。 思考 ：能否用电轴法求解半径不同的两平行圆柱导体问题？ 电磁场与电磁波 高等教育出版社 93 电磁场与电磁波 高等教育出版社 94 本章内容 4.1 波动方程 4.2 电磁场的位函数 4.3 电磁能量守恒定律 4.4 惟一性定理 4.5 时谐电磁场 电磁场与电磁波 高等教育出版社 95 4.1 波动方程 在无源空间中，设媒质是线性、各向同性且无损耗的均匀媒 质，则有 无源区的波动方程 波动方程 二 阶矢量微分方程 ， 揭示电磁场的波动性 。 麦克斯韦方程 一阶矢量微分方程组 ， 描述电场与磁场 间的相互作用关系 。 麦克斯韦方程组 波动方程 。 问题的提出 02 2 2 t HH 0 2 2 2 t EE 电磁波动方程 电磁场与电磁波 高等教育出版社 96 02 2 2 t HH 02 2 2 t EE 2 2 )( tHHH 2 )( tEH 0 0 H t H t H 同理可得 推证 问题 若为有源空间 ， 结果如何 ？ 若为导电媒质 ， 结果如何 ？ 电磁场与电磁波 高等教育出版社 97 4.2 电磁场的位函数 讨论内容 位函数的性质 位函数的定义 位函数的规范条件 位函数的微分方程 电磁场与电磁波 高等教育出版社 98 引入位函数来描述时变电磁场，使一些问题的分析得到简化。 引入位函数的意义 位函数的定义 0)( tA 0 B AB t B t AE 电磁场与电磁波 高等教育出版社 99 位函数的不确定性 () ( ) ( ) A A A AA A t t t t ）、（ A 满足下列变换关系的两组位函数 和 能描述同 一个电磁场问题 。 ）、（ A AA t 即 也就是说 ， 对一给定的电磁场可用不同的位函数来描述 。 不同位函数之间的上述变换称为规范变换 。 A 原因 ：未规定 的散度 。 为任意可微函数 电磁场与电磁波 高等教育出版社 100 除了利用洛仑兹条件外，另一种常用的是库仑条件，即 在电磁理论中，通常采用洛仑兹条件，即 位函数的规范条件 0 A 0 tA 造成位函数的不确定性的原因就是没有规定 的散度。利用 位函数的不确定性，可通过规定 的散度使位函数满足的方程得 以简化。 A A 电磁场与电磁波 高等教育出版社 101 t DJH )( tAtJA )(2 2 2 tAJt AA t EJB Jt AA 2 2 2 位函数的微分方程 BHED tAEAB AAA 2)( 0 tA 电磁场与电磁波 高等教育出版社 102 D )( tA 2 2 2 t 同样 tAEED 、 0 tA 电磁场与电磁波 高等教育出版社 103 2 2 2 t 说明 Jt AA 2 2 2 若应用库仑条件， 位函数满足什么样的方程 ? 具有什么特点 ? 问题 应用洛仑兹条件的特点： 位函数满足的方程在形式上是对称 的 ， 且比较简单 ， 易求解； 解的物理意义非常清楚 ， 明确地 反映出电磁场具有有限的传递速度； 矢量位只决定于 J， 标 量位只决定于 ， 这对求解方程特别有利 。 只需解出 A， 无需 解出 就可得到待求的电场和磁场 。 电磁位函数只是简化时变电磁场分析求解的一种辅助函数 ， 应 用不同的规范条件 ， 矢量位 A和标量位 的解也不相同 ， 但最终 得到的电磁场矢量是相同的 。 电磁场与电磁波 高等教育出版社 104 4.3 电磁能量守恒定律 讨论内容 坡印廷定理 电磁能量及守恒关系 坡印廷矢量 电磁场与电磁波 高等教育出版社 105 进入体积 V的能量体积 V内增加的能量体积 V内损耗的能量 电场能量密度 ： e 1 2w ED 磁场能量密度 ： m 1 2w HB 电磁能量密度 ： em 11 22w w w E D HB 空间区域 V中的电磁能量 ： 11 d ( ) d22VVW w V E D H B V 特点 ：当场随时间变化时 ， 空间各点的电磁场能量密度也要随 时间改变 ， 从而引起电磁能量流动 。 电磁能量守恒关系： 电磁能量及守恒关系 d d W t V S 电磁场与电磁波 高等教育出版社 106 其中 ： 单位时间内体积 V 中所增加 的电磁能量。 单位时间内电场对体积 V中的电流所做的功； 在导电媒质中，即为体积 V内总的损耗功率。 通过曲面 S 进入体积 V 的电磁功率。 表征电磁能量守恒关系的定理 积分形式 ： VVS VJEVBHDEtSHE dd)2121(ddd)( V VJE d V VBHDEt d)2121(dd S S