离散系统及其在生物与经济中的应用

离散系统及其在生物与经济中的应用 应用背景：工业炉控制系统 差分方程与Z变换 状态空间形式与z变换 )()()( )()()1( kDukCxky kHukGxkx DHGzICzG 1)()(传 递 函 数 为拉 普 拉 斯 变 换 ： z变 换 ：z与 s的 关 系 为 ：z变 换 的 性 质 ：在 零 初 值 情 况 下 dtetxsx st 0 )()( kk zkTxzx 0 )()( )1()1()0()()( 1 nzxxzxzzxznkx nnn )()1( zzxkx Tsez 能控性与能观性 能 控 性上 面 离 散 系 统 在 n个 采 样 时 刻 的 状 态 解 是 ：G n非 奇 异 ： 与 连 续 系 统 一 样 ， 能 控 性 矩 阵 秩 为 n；Gn奇 异 ： 对 于 使 Gn x(0) 0的 非 零 初 态 ， 与 能 控 性 矩 阵 的 秩 无 关 。 )()()( )()()1( kDukCxky kHukGxkx )1( )1( )0()0()( 1 nuuuHGHHGxGnx nn 能 观 性上 面 离 散 系 统 在 n个 采 样 周 期 内 的 量 测 值 与 初 值 x(0)的 关 系 是 ：与 连 续 系 统 一 样 ， 系 统 能 观 的 充 要 条 件 是 能 观 性 矩 阵 的 秩 为 n。)0()1( )1( )0( 1 xCGCGCny yy n 高次差分方程与状态方程选 择 状 态 变 量 )()()1()1()( 11 kbukyakyankyanky nn )1()( )1()( )()(21 nkykx kykx kykxn )( )( )(001)( )(00)( )( )(10 10)1( )1( )1( 21 211121 kx kx kxky kubkx kx kxaaakx kx kx n nnnn 则 可 得 状 态 方 程 连续系统离散化D/A 数 字计 算 机连 续 系 统保 持 器 A/D 采 样 器)(tu )(ty)(ku )(ky)(kx连 续 系 统 时 间 离 散 化 的 实 现)(tx 连续系统离散化 无 论 是 利 用 数 字 计 算 机 分 析 连 续 时 间 系 统 ， 还 是 利 用 计算 机 等 离 散 控 制 装 置 来 控 制 连 续 时 间 受 控 系 统 时 ， 都 会 遇 到把 连 续 时 间 系 统 化 为 等 价 的 离 散 时 间 系 统 的 问 题 。 连 续 线 性定 常 系 统 )()()( )()()1( kDukCxky kHukGxkx BdteHeG T ATAT 0, DuCxy BuAxx其 离 散 化 后 的 方 程 为其 中 ， T为 采 样 周 期 连续系统离散化 t tAAt tdBuexetx 0 )(0 0,)()( 采 样 周 期 T的 选 择 会 影 响 可 控 性 、 可 观 性 的 保 持 问 题 。 (由 系 统 的 解 出 发 进 行 离 散 化 )几 个 推 论 ：时 间 离 散 化 不 改 变 系 统 的 时 变 性 或 定 常 性 。 不 管 连 续 系 统 矩 阵 A是 否 为 非 奇 异 ， 但 离 散 化 系 统 的 矩 阵G一 定 是 非 奇 异 的 。 离散系统的稳定性 s平面与z平面的映射关系z变 换 中 的 复 变 量 z与 拉 普 拉 斯 变 换 的 复 变 量 s的 关 系 是其 中 是 采 样 周 期 ， 将 代 入 上 式 有所 以 即 s的 实 部 只 影 响 z的 模 ， s的 虚 部 只 影 响 z的 角 ； Tsez Tjs , js TjTjT eeez )(Tzez T arg,左 半 s平 面 ， 即 0 z平 面 单 位 圆 内 部 ， 即 |z| 0 z平 面 单 位 圆 ， 即 |z| = 1 z平 面 单 位 圆 外 部 ， 即 |z| 1 离散系统稳定的判据 离 散 系 统 稳 定 的 充 分 必 要 条 件 是 其 特 征 方 程 的 全 部 特征 根 都 位 于 z平 面 上 以 原 点 为 圆 心 的 单 位 圆 内 。 是 否 存 在 类 似 于 连 续 系 统 的 Routh-H urwitz判 据 ？ 如 果 能 找 到 一 种 变 换 ： ， 将 左 半 平 面 变 成 单 位圆 内 部 ， 那 么 以 z为 变 量 的 特 征 方 程 就 可 以 变 换 成 以 s为 变量 的 方 程 ， 从 而 可 以 借 助 于 连 续 系 统 的 Routh-H urwitz判 据来 判 断 离 散 系 统 的 稳 定 性 。 引 入 变 换sz 11 ssz 1|z| 0Re 1|z| 0Re 1|z| 0Re 对 应对 应对 应sss 例子 已 知 离 散 系 统 的 开 环 传 递 函 数 为系 统 的 特 征 方 程 为 ， 即直 接 求 解 可 得 闭 环 特 征 根 为如 果 做 代 数 变 换 ， 令 ， 代 入 特 征 方 程 得利 用 H urwitz判 据 同 样 可 判 定 系 统 是 稳 定 的 。)368.0)(1( 264.0368.0)( zz zzG 0)(1 zG 0632.02 zz 1795.0 ,62.05.0 2,12,1 zjz 11 ssz 0632.2736.0632.0 2 ss Lyapunov方法 连 续 系 统 ： 系 统 稳 定 当 且 仅 当 存 在 正 定 矩 阵 P使 得离 散 系 统 ： 系 统 稳 定 当 且 仅 当 存 在 正 定 矩 阵 P使 得0 PAPA T 0PPAA T 离散系统的应用 菲波纳奇级数与兔口模型兔 子 的 繁 殖 规 律定 义 x3(t)第 t年 新 生 兔 数 量 （ 0 1岁 ）x2(t)第 t年 1岁 兔 数 量 （ 1 2岁 ）x1(t)第 t年 2岁 兔 数 量 （ 2 3岁 ）3岁 以 上 兔 子 不 予 考 虑 。不 考 虑 兔 子 死 亡 率 x2(t 1) x3(t)x 1(t 1) x2(t)x3(t) x2(t) x1(t)(设 第 t年 每 对 1岁 与 2岁 兔 各 生 2只 小 兔 )兔 口 模 型 再 设 第 0年 1岁 兔 为 x2(0) 1万 只 ， 2岁 兔 为 x1(0) 1万 只 。用 迭 代 法 求 解 上 式 可 以 得 到 xi(t)， i=1,2的 序 列 ：xi(t)的 每 一 项 （ t 2） 都 是 前 两 项 之 和 。 这 个 序 列 被 称 为 菲波 纳 奇 序 列 。 下 面 用 z变 换 求 菲 波 纳 奇 级 数 的 通 项 公 式 : )()()1( )()1( 212 21 txtxtx txtx ,5)3(,3)2(,2)1(,1)0( ,3)3(,2)2(,1)1(,1)0( 2222 1111 xxxx xxxx 菲波纳奇级数的通项公式将 上 式 第 一 式 代 入 第 二 式 得 到 求 出 x2(z)为 ： 查 表 求 反 变 换 得 )()()0()( )()0()()()()1( )()1( 2122 211212 21 zxzxzxzzx zxzxzzxztxtxtx txtx 变 换 )()()0()()()0()( 221212222 zzxzxzxzzxzzxxzzxz 2 5152 532 5152 53)2 51)(2 51(1)( 22 22 z zz zzz zzzz zzzx tttx 2 5152 352 5152 35)(2 考 虑 兔 口 增 长 率 问 题 ： 设 第 t年 兔 子 总 数 为 y (t)， 显 然 有又 将 通 项 带 入 上 式 便 求 出 第 t年 兔 子 总 数 量 。 兔 子 增 长 率 定 义为 ：从 通 项 可 知 ， 当 时 间 足 够 长 的 之 后 ， 增 长 率 趋 于 一 个 常 数 ： 当 t 0时 ， 兔 子 数 y(t) 4万 只 ， 那 么 30年 以 后 兔 子 数 为 ：y(30)=4 1.618034 30=7441993.5万 只 。 )()()()( 321 txtxtxty )()()1(),()()( 212213 txtxtxtxtxtx )1(2)( 2 txty )( )1( tyty 618034.12 51)( )1(limlim tytytt 商品市场价格变化的蛛网模型蛛 网 模 型 研 究 生 产 周 期 较 长 的 商 品 （ 如 农 产 品 ） 的 产量 和 价 格 在 偏 离 均 衡 状 态 以 后 的 实 际 波 动 过 程 及 其 结 果 。 某 种 产 品 第 t年 需 求 量 D(t)是 当 年 价 格 p(t)的 线 性 函 数 ： 该 种 产 品 供 应 量 S(t)则 与 去 年 价 格 p(t 1)有 关 ， 因 为 在 第 t 1年 时 价 格 为 p(t 1)， 农 民 则 认 为 第 t年 还 是 这 个 价 格 ，从 而 去 安 排 生 产 。 而 生 产 的 投 入 到 产 出 之 间 有 时 间 延 迟 。现 供 给 函 数 为 ：两 式 中 的 a， b， e， f皆 为 大 于 0的 常 数 。 (1) )()( tbpatD (2) )()1( tfpetS 设 某 地 区 西 瓜 供 求 函 数 如 式 (1),(2)所 示 。 具 体 参 数 为 ： 设 1998年 西 瓜 价 格 为 p(0)=0.3元 /公 斤 ， 1999年 农 民 愿 意 种 西瓜 量 为 S(1)= 0.5 8 0.3 1.9亿 公 斤 ， 在 1999年 上 市 西 瓜1.9亿 公 斤 ， 如 果 西 瓜 还 卖 0.3元 /公 斤 ， 吃 瓜 的 需 求 量 为 D(1) 7 12 0.3 2.2亿 公 斤 1.9亿 公 斤 ， 这 意 味 着 西 瓜 供 不应 求 ， 因 此 西 瓜 将 会 涨 价 ， 直 至 供 求 平 衡 ， 供 求 平 衡 价 格由 下 式 决 定 ： D(1) S(1)， 可 得 p(1) 0.425元 /公 斤 。 在 2000年 如 果 还 卖 0.425元 /公 斤 ， 大 众 的 吃 瓜 量 为 1.9亿 公 斤 2.9亿公 斤 ， 西 瓜 将 供 过 于 求 ， 要 将 2.9亿 公 斤 瓜 全 卖 出 去 ， 其 价格 为 ： D(2) S(2)， p(2) 0.34166元 /公 斤 ， 类 似 地 一 年 一年 分 析 下 去 ， 可 得 西 瓜 价 格 波 动 地 图 解 分 析 。 )(),(85.0)1( )(127)( 单 位 为 亿 公 斤tptS tptD 蛛网模型 理 论 分 析 ： 求 解 价 格 的 变 化 ， 令 D (t)=S (t)， 得做 z变 换求 出 反 变 换 为 ： )()1( tfpetbpa )(1)0()(1 zfpz ezbzpzbzpz za )0()/(1 )/()/( )/( )0()/(1)/(1)( pbfz zzz bfbbfz bfbb ea pbfz zz zbfzb eazp )0()()( pbfbf eabfbf eatp tt 1bf 0lim tt bf bf eatp t )(lim 从 上 式 看 出 当 即 特 征 方 程 bz f 0的 根 的 模 小 于 1时 ， 成 立 ： 即 系 统 是 渐 近 稳 定 的 。 这 时 候 价 格 趋 于 供 应 平 衡 价 格 ：)0()()( pbfbf eabfbf eatp tt 封闭型蛛网P Q0 SDP1P2 Q1 Q2 发散型蛛网P QSD0P1PeP2 Q3 Q1 Q2 蛛 网 模 型 解 释 了 某 些 生 产 周 期 较 长 的 商 品 的 产 量 和 价格 的 波 动 的 情 况 ， 是 一 个 有 意 义 的 动 态 分 析 模 型 。 但 是 ，这 个 模 型 是 一 个 很 简 单 和 有 缺 陷 的 模 型 。 这 是 因 为 ， 根 据该 模 型 ， 造 成 产 量 和 价 格 波 动 的 主 要 原 因 是 ： 生 产 者 总 是根 据 上 一 期 的 价 格 来 决 定 下 一 期 的 产 量 ， 这 样 ， 上 一 期 的价 格 同 时 也 就 是 生 产 者 对 下 一 期 的 预 期 价 格 。 而 事 实 上 ，在 每 一 期 ， 生 产 者 只 能 按 照 本 期 的 市 场 价 格 来 出 售 由 预 期价 格 （ 即 上 一 期 的 价 格 ） 所 决 定 的 产 量 。 这 种 实 际 价 格 和预 期 价 格 的 不 吻 合 ， 造 成 了 产 量 和 价 格 的 波 动 。 但 是 ， 这种 解 释 是 不 全 面 的 。 因 为 生 产 者 从 自 己 的 经 验 中 会 逐 步 修正 自 己 的 预 期 价 格 ， 使 预 期 价 格 接 近 实 际 价 格 ， 从 而 使 实际 产 量 接 近 市 场 的 实 际 需 求 量 。 蛛网模型的缺点 选课的数学模型 某 大 学 经 济 管 理 学 院 一 年 级 硕 士 生 共 有 三 门 选 修 课 ， 经济 控 制 论 ， 市 场 营 销 学 ， 国 际 金 融 。 除 必 修 课 外 ， 必 须 从 这三 门 课 中 任 选 两 门 学 习 。 x1(t)第 t年 选 1,2门 课 学 生 占 全 体 研 究 生 的 百 分 比 ；x2(t)第 t年 选 1,3门 课 学 生 占 全 体 研 究 生 的 百 分 比 ；x3(t)第 t年 选 2,3门 课 学 生 占 全 体 研 究 生 的 百 分 比 ；显 然 ： 1)()()( 321 txtxtx )()()()1( 3132121111 txptxptxptx )()()()1( 3232221212 txptxptxptx )()()()1( 3332321313 txptxptxptx )( )( )()1( )1( )1( 321323231 232221 131211321 tx tx txppp ppp ppptx tx tx 选 择 1,2门 课 的 学 生 在 一 学 期 的 学 习 之 后 有 100 p11的 学 生 认 为 选 这 两 门 课 是 合 适 的 ， 有 100 p21 的 学 生 认 为应 当 选 1,3门 课 ， 100 p31 的 学 生 认 为 应 当 选 2,3门 课 。 设新 一 学 年 学 生 选 课 情 况 与 上 一 学 年 学 生 听 完 课 后 选 课 想 法一 致 。 则 新 学 年 选 第 1,2门 课 的 学 生 人 数 百 分 比 为类 似 地 有将 以 上 三 个 方 程 写 成 矩 阵 形 式 ， 便 可 得 到 如 下 选 课 模 型 32.0:46.0:22.0: 321 xxx 111332313 322212 312111 ppp ppp ppp 其 中 现 设 5.03.01.0 3.06.04.0 2.01.05.0323231 232221 131211 ppp ppp pppP 可 以 验 证 ， P的 特 征 值 都 在 单 位 圆 内 ， 因 此 当 时 间 t足够 大 之 后 ， 选 课 会 趋 于 稳 定 。 求 系 统 平 衡 解 ， 可 得实 际 中 ， 如 果 调 查 出 P阵 参 数 ， 可 预 测 选 课 人 数 最 终 变 化 趋 势 。