高二数学必修平面向量数量积的含义

例例3.设点设点P是线段是线段P1P2上的一点，上的一点，P1、P2的坐标分别是的坐标分别是 。（1）当点）当点P是线段是线段P1P2的中点时，求点的中点时，求点P的坐标；的坐标；（2）当点）当点P是线段是线段P1P2的一个三等分点时，求点的一个三等分点时，求点P的坐标。的坐标。1122(,),(,)x yxyxyOP1P2P(1)(1)M1212121()2(,)22 OPOPOPxxyy 解解：（：（1）所以，点所以，点P的坐标为的坐标为1212(,)22xxyyxyOP1P2P(2)(2)xyOP1P2P例例3.设点设点P是线段是线段P1P2上的一点，上的一点，P1、P2的坐标分别是的坐标分别是 。（1）当点）当点P是线段是线段P1P2的中点时，求点的中点时，求点P的坐标；的坐标；（2）当点）当点P是线段是线段P1P2的一个三等分点时，求点的一个三等分点时，求点P的坐标。的坐标。1122(,),(,)x yxyxyOP1P2PxyOP1P2PxyOP1P2P如果一个物体在力F作用下产生位移S，那么F所做的功为:表示力F的方向与位移S的方向的夹角。位移SOA问题情境FFSW=FW=FS SCOSCOS向量的夹角向量的夹角)1800(两个非零向量两个非零向量 和和 ，作，作 ，ab,OAa OBb 180 与与 反向反向abOABabOAa0 与与 同向同向abOABaba Bbb AOBab则则 叫做向量叫做向量 和和 的夹角的夹角记作记作ab90 与与 垂直，垂直，abOAB ab注意注意:在两向量的夹角在两向量的夹角定义中定义中,两向量必须是两向量必须是同起点的同起点的思考思考：指出下列图中两个向量指出下列图中两个向量OAOA与与OBOB的夹角的夹角OAB（1）OAB（2）BOA（3）AOB（4）ab例例1、如图，等边三角形中，求、如图，等边三角形中，求 （1）AB与与AC的夹角；的夹角；（2）AB与与BC的夹角。的夹角。ABC 通过平移通过平移变成共起点！变成共起点！12060C记作记作=已知两个非零向量已知两个非零向量 和和 ，它们的夹角为，它们的夹角为 ，我们把数量，我们把数量 abba即有即有cosbaab叫做叫做 与与 的数量积（或内积），的数量积（或内积），bacosba规定：零向量与任意向量的数量积为规定：零向量与任意向量的数量积为0，00a即即 表示数量而不表示向量,与、不同,它们表示向量；aababba在运用数量积公式解题时,一定要注意向量夹角的取值范围是0180（1）（2）（3）“”不能省略不写，也不能写为“”“”不能省略不写，也不能写为“”OA=，OB=，过点B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则OB1=|cos 。|cos 叫做向量在方向上的投影。aabbbbOA=，OB=，过点B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则OB1=|cos 。|cos 叫做向量在方向上的投影。aabbbbOBAB1OBAB1ab为锐角时,正值正值cosb为锐角时,正值正值cosb为钝角时,负值负值cosb为钝角时,负值负值cosbAOBOBAOBA当当 时时,0cosbb当当 时时,180cosbb 当当 时时,90cos0b我们得到的几何意义：数量积等于 的长度与 在的方向上的投影的乘积。aaba b a b acosb我们得到的几何意义：数量积等于 的长度与 在的方向上的投影的乘积。aaba b a b acosb,1:平行且方向相同与因为解BCAD.0的夹角为与BCAD91330cosBCADBCAD 且方向相反平行与,.2CDAB180的夹角是与CDAB16144180cosCDABCDAB,60.3的夹角是与ADAB120的夹角是与DAAB62134120cosDAABDAAB三、典型例题分析三、典型例题分析进行向量数量积计算时,既要考虑向量的模,又要根据两个向量方向确定其夹角。92ADBCAD或162ABCDAB或120例例1、BCADDABADABABCD.1:,60,3,4,求已知中在平行四边形如图 CDAB.2 DAAB.3BACD60例题选讲：例题选讲：例已知 ，当 ；与 夹角为600时,分别求 与 的数量积。3b,4aabaabbba例已知正ABC边长为，求 的值；求 的值；求 的值；求 的值；ABACABCA)ABCA(BCCA)ACAB(已知 ，则向量 在向量 上的投影为。已知ABC中，当 时，ABC是什么三角形？12ba3b,4aabbCA,aAB0ba 练习；练习；3.3.性质性质:设设a，b都是非零向量，都是非零向量，e是与是与b方向相同的单方向相同的单位向量，位向量，是是a与与e的夹角的夹角,则则 ab=/2cos=0(1)e a=a e=|a|cos.(4)cos=(a b)/(|a|b|).|a|b|cos=0 a b=0向量向量a与与b共线共线|a b|=|a|b|a b=|a|b|cos(2)ab a b=0.(5)|a b|a|b|.(3)当当a与与b同向时同向时,a b=|a|b|;当当a与与b反向时反向时,ab=-|a|b|.特别地特别地,a a(或写成或写成 a 2)=|a|2或或|a|=a a5、数量积的运算律：、数量积的运算律：交换律：交换律：abba数乘的结合律：数乘的结合律：)()()(bababa分配律：分配律：cbcacba)(注意：注意：数量积不满足结合律数量积不满足结合律)()(:cbacba即（3）()abca cb c 12ABOA1B1Cabc证明：在平面内取一点证明：在平面内取一点 ，作，作 ,，OOAa ABb OCcab（即（即 ）在）在 方向上的投影等于方向上的投影等于OBc,a b 在在 方向上的投影的和，方向上的投影的和，c即即12|cos|cos|cosabab12|cos|cos|cosc abc ac b()cabc ac b 即即()abca cb c 例1：判断正误，说明理由。、00 a00ababa若，则对任一非零向量有0a b0ba若，则对任一非零向量有0a b0ba0,00babaac若，则cbbab,0若，则cbbab,0 22222222223,()2,()(-)-.,1()2;2()(-)-;a bRabaabbabababa babaa bbababab 例、我 们 知 道，对 任 意,恒 有对 任 意 向 量.是 否 也 有 下 面 类 似 的 结 论？2221()()()2;a ba ba ba a a b b a b baa b b 解：222()(-)-;aba ba aa bb ab bab 454602oababkkabab例、已知，与 的夹角为，问当 为何值时，向量与垂直？解：解：）（）（babak2 02 ）（）（babak021222 bbakak）（即即0260cos1222 bbakako）（042214512252 ）（kk1514 k垂垂直直。与与时时，向向量量当当babakk21514 本节课我们主要学习了平面向量数量积性质的本节课我们主要学习了平面向量数量积性质的应用，常见的题型主要有：应用，常见的题型主要有：1、直接计算数量积（定义式以及夹角的定义）、直接计算数量积（定义式以及夹角的定义）2、由数量积求向量的模、由数量积求向量的模4、运用数量积的性质判定两向量是否垂直、运用数量积的性质判定两向量是否垂直3、由数量积确定两向量的夹角、由数量积确定两向量的夹角5、判断三角形的形状、判断三角形的形状