高等数学-第七章-微分方程课件

单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,微分方程,第七章,积分问题,微分方程问题,推广,微分方程 第七章 积分问题 微分方程问题 推广,1,微分方程的基本概念,第一节,微分方程的基本概念,引例,几何问题,物理问题,第七章,微分方程的基本概念 第一节微分方程的基本概念引例 几何问题物,2,引例1.,一曲线通过点,(1,2),在该曲线上任意点处的,解,:,设所求曲线方程为,y,=,y,(,x,),则有如下关系式,:,(,C,为任意常数,),由,得,C,=1,因此所求曲线方程为,由,得,切线斜率为,2,x,求该曲线的方程,.,引例1.一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的解:,3,引例2.,列车在平直路上以,的速度行驶,获得加速度,求制动后列车的运动规律,.,解,:,设列车在制动后,t,秒行驶了,s,米,已知,由前一式两次积分,可得,利用后两式可得,因此所求运动规律为,说明,:,利用这一规律可求出制动后多少时间列车才,能停住,以及制动后行驶了多少路程,.,即求,s,=s,(,t,).,制动时,引例2.列车在平直路上以的速度行驶,获得加速度求制动后列,4,常微分方程,偏微分方程,含未知函数及其导数的方程叫做,微分方程,.,方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程,(,本章内容,),(,n,阶,显式,微分方程,),微分方程的基本概念,一般地,n,阶常微分方程的形式是,的,阶,.,分类,或,常微分方程偏微分方程含未知函数及其导数的方程叫做微分方程.,5,使方程成为恒等式的函数,.,通解,解中所含独立的任意常数的个数与方程,确定通解中任意常数的条件,.,n,阶方程的,初始条件,(,或初值条件,),:,的阶数相同,.,特解,引例,2,引例,1,通解,:,特解,:,微分方程的,解,不含任意常数的解,定解条件,其图形称为,积分曲线,.,使方程成为恒等式的函数.通解 解中所含独立的任意常数的,6,例1.,验证函数,是微分方程,的通解,的特解,.,解,:,这说明,是方程的解,.,是两个独立的任意常数,利用初始条件易得,:,故所求特解为,故它是方程的通解,.,并求满足初始条件,例1.验证函数是微分方程的通解,的特解.解:这说明,7,求所满足的微分方程,.,例2.,已知曲线上点,P,(,x,y,)处的法线与,x,轴交点为,Q,解,:,如图所示,令,Y,=0,得,Q,点的横坐标,即,点,P,(,x,y,),处的法线方程为,且线段,PQ,被,y,轴平分,求所满足的微分方程.例2.已知曲线上点 P(x,y),8,转化,可分离变量微分方程,第二节,解分离变量方程,可分离变量方程,第七章,转化 可分离变量微分方程 第二节解分离变量方程 可分离变量方,9,分离变量方程的解法:,设,y,(,x,),是方程的解,两边积分,得,则有恒等式,方程,的解满足关系式,。,则有,设左右两端的原函数分别为,G,(,y,),F,(,x,),分离变量方程的解法:设 y(x)是方程的解,两,10,分离变量方程的解法:,反之，当,G,(,y,),与,F,(,x,),可微且,G,(,y,),g,(,y,),0,时,的隐函数,y,(,x,),是的解,.,称为方程的,隐式通解,或,通积分,.,同样,当,F,(,x,)=,f,(,x,)0,时，,由确定的隐函数,x,(,y,),也是的解,.,说明由确定,分离变量方程的解法:反之，当G(y)与F(x)可微且,11,例1.,求微分方程,的通解,.,解,:,分离变量得,两边积分,得,即,(,C,为任意常数,),或,说明,:,在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、,减解,.,(,此式含分离变量时丢失的解,y,=0,),例1.求微分方程的通解.解:分离变量得两边积分得即(,12,例2.,解初值问题,解,:,分离变量得,两边积分得,即,由初始条件得,C,=1,(,C,为任意常数,),故所求特解为,例2.解初值问题解:分离变量得两边积分得即由初始条件得,13,例3.,求下述微分方程的通解:,解,:,令,则,故有,即,解得,(,C,为任意常数,),所求通解,:,例3.求下述微分方程的通解:解:令 则故有即解得(,14,练习:,解法,1,分离变量,即,(,C,0,),解法,2,故有,积分,(,C,为任意常数,),所求通解,:,积分,练习:解法 1 分离变量即(C 0 )解法 2故有,15,例4.,子的含量,M,成正比,求在,衰变过程中铀含量,M,(,t,),随时间,t,的变化规律,.,解,:,根据题意,有,(,初始条件,),对方程分离变量,即,利用初始条件,得,故所求铀的变化规律为,然后积分,:,已知,t,=0,时铀的含量为,已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原,例4.子的含量 M 成正比,求在衰变过程中铀含量 M(t),16,例5.,成正比,求,解,:,根据牛顿第二定律列方程,初始条件为,对方程分离变量,然后积分,:,得,利用初始条件,得,代入上式后化简,得特解,并设降落伞离开跳伞塔时,(,t,=0),速度为,0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度,降落伞下落速度与时间的函数关系,.,t,足够大时,例5.成正比,求解:根据牛顿第二定律列方程初始条件为对方程,17,例6.,有高 1 m 的半球形容器,水从它的底部小孔流出,开始时容器内盛满了水,从小孔流出过程中,容器里水面的高度,h,随时间,t,的变,解,:,由水力学知,水从孔口流出的流量为,即,求水,小孔横截面积,化规律,.,流量系数,孔口截面面积,重力加速度,设在,内水面高度由,h,降到,例6.有高 1 m 的半球形容器,水从它的底部小孔流出,18,对应下降体积,因此得微分方程定解问题,:,将方程分离变量,:,对应下降体积因此得微分方程定解问题:将方程分离变量:,19,两端积分,得,利用初始条件,得,则得容,器内水面高度,h,与时间,t,的关系,:,可见水流完所需时间为,因此,两端积分,得利用初始条件,得则得容器内水面高度 h 与时,20,内容小结,1.,微分方程的概念,微分方程,;,定解条件,;,2.,可分离变量方程的求解方法,:,说明,:,通解不一定是方程的全部解,.,有解,后者是通解,但不包含前一个解,.,例如,方程,分离变量后积分,;,根据定解条件定常数,.,解,;,阶,;,通解,;,特解,y=x,及,y=C,内容小结1.微分方程的概念微分方程;定解条件;2.可分离,21,找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程,.,常用的方法,:,1),根据几何关系列方程,(,如,:P298,题,5(2),2),根据物理规律列方程,3),根据微量分析平衡关系列方程,(2),利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件,.,(3),求通解,并根据定解条件确定特解,.,3.,解微分方程应用题的方法和步骤,例,4,例,5,例,6,找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.常用的方法:1,22,思考与练习,求下列方程的通解,:,提示,:,(1),分离变量,(2),方程变形为,思考与练习 求下列方程的通解:提示:(1)分离变量,23,作业,P 298 5(1);6,P 304 1,(1),(10);,2,(3),(4);,4;6,作业P 298 5(1);6,24,齐次方程,第三节,一、齐次方程,*,二、可化为齐次方程的方程,第七章,齐次方程 第三节一、齐次方程*二、可化为齐次方程的方程 第七,25,一、齐次方程,形如,的方程叫做,齐次方程,.,令,代入原方程得,两边积分,得,积分后再用,代替,u,便得原方程的通解,.,解法,:,分离变量,:,一、齐次方程形如的方程叫做齐次方程.令代入原方程得两边积分,26,例1.,解微分方程,解,:,代入原方程得,分离变量,两边积分,得,故原方程的通解为,(,当,C,=0,时,y,=0,也是方程的解,),(,C,为任意常数,),此处,例1.解微分方程解:代入原方程得分离变量两边积分得故原方程,27,例2.,解微分方程,解,:,则有,分离变量,积分得,代回原变量得通解,即,说明,:,显然,x,=0,y,=0,y=x,也是原方程的解,但在,(,C,为任意常数,),求解过程中丢失了,.,例2.解微分方程解:则有分离变量积分得代回原变量得通解即,28,由光的反射定律,:,可得 ,OMA,=,OAM,=,例3.,探照灯的聚光镜面是一张旋转曲面,它的形状由,解,:,将光源所在点取作坐标原点,并设,入射角,=,反射角,能的要求,在其旋转轴,(,x,轴,),上一点,O,处发出的一切光线，,从而,AO,=,OM,xOy,坐标面上的一条曲线,L,绕,x,轴旋转而成,按聚光性,而,AO,于是得微分方程,:,经它反射后都与旋转轴平行,.,求曲线,L,的方程,.,由光的反射定律:可得 OMA=OAM,29,积分得,故有,得,(,抛物线,),故反射镜面为旋转抛物面,.,于是方程化为,(,齐次方程,),积分得故有得 (抛物线)故反射镜面为旋转抛物面.于是方程化,30,顶到底的距离为,h,说明:,则将,这时旋转曲面方程为,若已知反射镜面的底面直径为,d,代入通解表达式得,顶到底的距离为 h,说明:则将这时旋转曲面方程为若已知反射,31,一阶线性微分方程,第四节,一、一阶线性微分方程,*,二、伯努利方程,第七章,一阶线性微分方程 第四节一、一阶线性微分方程*二、伯努利方程,32,一、一阶线性微分方程,一阶线性微分方程标准形式,:,若,Q,(,x,),0,若,Q,(,x,),0,称为,非齐次方程,.,1.,解齐次方程,分离变量,两边积分得,故通解为,称为,齐次方程,;,一、一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:若 Q(x),33,对应齐次方程通解,齐次方程通解,非齐次方程特解,2.解非齐次方程,用,常数变易法,:,则,故原方程的通解,即,即,作变换,两端积分得,对应齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解2.解非齐次方程,34,例1.,解方程,解,:,先解,即,积分得,即,用,常数变易法,求特解,.,则,代入非齐次方程得,解得,故原方程通解为,令,例1.解方程 解:先解即积分得即用常数变易法求特解.则,35,在闭合回路中,所有支路上的电压降为,0,例2.,有一电路如图所示,电阻,R,和电,解,:,列方程,.,已知经过电阻,R,的电压降为,R i,经过,L,的电压降为,因此有,即,初始条件,:,由回路电压定律,:,其中电源,求电流,感,L,都是常量,在闭合回路中,所有支路上的电压降为 0例2.有一电路如图,36,解方程,:,由初始条件,:,得,利用一阶线性方程解的公式可得,解方程:由初始条件:得利用一阶线性方程解的公式可得,37,暂态电流,稳态电流,因此所求电流函数为,解的意义,:,暂态电流稳态电流因此所求电流函数为解的意义:,38,可降阶高阶微分方程,第五节,一、型的微分方程,二、型的微分方程,三、型的微分方程,第七章,可降阶高阶微分方程 第五节一、,39,一、,令,因此,即,同理可得,依次通过,n,次积分,可得含,n,个任意常数的通解,.,型的微分方程,一、令因此即同理可得依次通过 n 次积分,可得含 n 个任,40,例1.,解,:,例1.解:,41,例2.,质量为,m,的质点受力,F,的作用沿,Ox,轴作直线,运动,在开始时刻,随着时间的增大,此力,F,均匀地减,直到,t,=,T,时,F,(,T,)=0.,如果开始时质点在原点,解,:,据题意有,t,=0,时,设力,F,仅是时间,t,的函数,:,F,=,F,(,t,).,小,求质点的运动规律,.,初速度为,0,且,对方程两边积分,得,例2.质量为 m 的质点受力F 的作用沿 Ox 轴作直线,42,利用初始条件,于是,两边再积分得,再利用,故所求质点运动规律为,利用初始条件于是两边再积分得再利用故所求质点运动规律为,43,型的微分方程,设,原方程化为一阶方程,设其通解为,则得,再一次积分,得原方程的通解,二、,型的微分方程 设原方程化为一阶方程设其通解为则得再一次积分,44,例3.,求解,解,:,代入方程得,分离变量,积分得,利用,于是有,两端再积分得,利用,因此所求特解为,例3.求解解:代入方程得分离变量积分得利用于是有两端再积,45,例4.,绳索仅受,重力作用而下垂,解,:,取坐标系如图,.,考察最低点,A,到,(,:,密度,s,:,弧长,),弧段重力大小,按静力平衡条件,有,故有,设有一均匀,柔软的绳索,两端固定,问该绳索的平衡状态是怎样的曲线,?,任意点,M,(,x,y,),弧段的受力情况:,A,点受水平张力,H,M,点受切向张力,T,两式相除得,例4.绳索仅受重力作用而下垂,解:取坐标系如图.考察最低,46,则得定解问题,:,原方程化为,两端积分得,则有,两端积分得,故所求绳索的形状为,悬 链 线,则得定解问题:原方程化为两端积分得则有两端积分得故所求绳索,47,三、,型的微分方程,令,故方程化为,设其通解为,即得,分离变量后积分,得原方程的通解,三、型的微分方程 令故方程化为设其通解为即得分离变量后积分,48,例5.,求解,代入方程得,两端积分得,(,一阶线性齐次方程,),故所求通解为,解,:,例5.求解代入方程得两端积分得(一阶线性齐次方程)故所求通,49,M,:,地球质量,m,:,物体质量,例6.,静止开始落向地面,(,不计空气阻力,).,解,:,如图所示选取坐标系,.,则有定解问题,:,代入方程得,积分得,一个离地面很高的物体,受地球引力的作用由,求它落到地面时的速度和所需时间,M:地球质量例6.静止开始落向地面,(不计空气阻力),50,两端积分得,因此有,注意“”号,两端积分得因此有注意“”号,51,由于,y=R,时,由原方程可得,因此落到地面,(,y,=,R,),时的速度和所需时间分别为,由于 y=R 时由原方程可得因此落到地面(y=R,52,内容小结,1.,一阶线性方程,方法,1,先解齐次方程,再用常数变易法,.,方法,2,用通解公式,内容小结1.一阶线性方程方法1 先解齐次方程,再用,53,内容小结,可降阶微分方程的解法,降阶法,逐次积分,令,令,内容小结可降阶微分方程的解法 降阶法逐次积分令令,54,思考与练习,1.,方程,如何代换求解,?,答,:,令,或,一般说,用前者方便些,.,均可,.,有时用后者方便,.,例如,2.,解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题,?,答,:,(1),一般情况,边解边定常数计算简便,.,(2),遇到开平方时,要根据题意确定正负号,.,例,6,例,7,思考与练习1.方程如何代换求解?答:令或一般说,用,55,作业,P309 2,(2),;,P315 1(3),(6);2(5);,P323 1(5),(7),;,2(3);,4,作业,56,(,雅各布第一,伯努利,),书中给出的伯努利数在很多地方有用,伯努利,(1654 1705),瑞士数学家,位数学家,.,标和极坐标下的曲率半径公式,1695,年,版了他的巨著,猜度术,上的一件大事,而伯努利定理则是大数定律的最早形式,.,年提出了著名的伯努利方程,他家祖孙三代出过十多,1694,年他首次给出了直角坐,1713,年出,这是组合数学与概率论史,此外,他对,双纽线,悬链线和对数螺线都有深入的研究,.,(雅各布第一 伯努利)书中给出的伯努利数在很多地方,57,高阶线性微分方程,第六节,二、线性齐次方程解的结构,三、线性非齐次方程解的结构,*,四、常数变易法,一、二阶线性微分方程举例,第七章,高阶线性微分方程 第六节二、线性齐次方程解的结构 三、线性非,58,一、二阶线性微分方程举例,当重力与弹性力抵消时,物体处于 平衡状态,例,1.,质量为,m,的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,解,:,阻力的大小与运动速度,下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向,物体在弹性力与阻,取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图,.,设时刻,t,物位移为,x,(,t,).,(1),自由振动情况,.,弹性恢复力,物体所受的力有,:,(,虎克定律,),成正比,方向相反,.,建立位移满足的微分方程,.,一、二阶线性微分方程举例 当重力与弹性力抵消时,物体处于,59,据牛顿第二定律得,则得有阻尼,自由振动方程,:,阻力,(2),强迫振动情况,.,若物体在运动过程中还受铅直外力,则得,强迫振动方程,:,据牛顿第二定律得则得有阻尼自由振动方程:阻力(2)强迫振动,60,求电容器两两极板间电压,例2.,联组成的电路,其中,R,L,C,为常数,所满足的微分方程,.,解,:,设电路中电流为,i,(,t,),的电量为,q,(,t,),自感电动势为,由电学知,根据回路电压定律,:,设有一个电阻,R,自感,L,电容,C,和电源,E,串,极板上,在闭合回路中,所有支路上的电压降为,0,求电容器两两极板间电压 例2.联组成的电路,其中R,61,串联电路的振荡方程,:,化为关于,的方程,:,故有,如果电容器充电后撤去电源,(,E,=0),则得,串联电路的振荡方程:化为关于的方程:故有 如果电容器,62,n,阶线性微分方程,的一般形式为,方程的,共性,(,二阶线性微分方程,),例,1,例,2,可归结为,同一形式,:,时,称为非齐次方程,;,时,称为齐次方程,.,复习,:,一阶线性方程,通解,:,非齐次方程特解,齐次方程通解,Y,n 阶线性微分方程的一般形式为方程的共性(二阶线性微分方程,63,证毕,二、线性齐次方程解的结构,是二阶线性齐次方程,的两个解,也是该方程的解,.,证,:,代入方程左边,得,(,叠加原理,),定理,1.,证毕二、线性齐次方程解的结构是二阶线性齐次方程的两个解,也是,64,说明:,不一定,是所给二阶方程的通解,.,例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解,并不是通解,但是,则,为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与,线性无关概念,.,说明:不一定是所给二阶方程的通解.例如,是某二阶齐次方程的解,65,定义:,是定义在区间,I,上的,n,个函数,使得,则称这,n,个函数在,I,上,线性相关,否则称为,线性无关,.,例如，,在,(,),上都有,故它们在任何区间,I,上都线性相关,;,又如，,若在某区间,I,上,则根据二次多项式至多只有两个零点,必需全为,0,可见,在任何区间,I,上都 线性无关,.,若存在,不全为,0,的常数,定义:是定义在区间 I 上的 n 个函数,使得则称这 n个函,66,两个函数在区间,I,上线性相关与线性无关的,充要条件:,线性相关,存在不全为,0,的,使,(,无妨设,线性无关,常数,思考,:,中有一个恒为,0,则,必线性,相关,(,证明略,),线性无关,两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件:线性相关,67,定理 2.,是二阶线性齐次方程的两个线,性无关特解,数,),是该方程的通解,.,例如,方程,有特解,且,常数,故方程的通解为,(,自证,),推论,.,是,n,阶齐次方程,的,n,个线性无关解,则方程的通解为,则,定理 2.是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解,数)是该,68,三、线性非齐次方程解的结构,是二阶非齐次方程,的一个特解,Y,(,x,),是相应齐次方程的通解,定理,3.,则,是非齐次方程的通解,.,证,:,将,代入方程左端,得,三、线性非齐次方程解的结构 是二阶非齐次方程的一个特解,Y,69,是非齐次方程的解,又,Y,中含有,两个独立任意常数,例如,方程,有特解,对应齐次方程,有通解,因此该方程的通解为,证毕,因而 也是通解,.,是非齐次方程的解,又Y 中含有两个独立任意常数,例如,方,70,定理 4.,分别是方程,的特解,是方程,的特解,.,(,非齐次方程之解的叠加原理,),定理,3,定理,4,均可推广到,n,阶线性非齐次方程,.,定理 4.分别是方程的特解,是方程的特解.(非齐次方程之解,71,定理 5.,是对应齐次方程的,n,个线性,无关特解,给定,n,阶非齐次线性方程,是非齐次方程的特解,则非齐次方程,的通解为,齐次方程通解,非齐次方程特解,定理 5.是对应齐次方程的 n 个线性无关特解,给定 n,72,常数,则该方程的通解是,().,设线性无关函数,都是二阶非齐次线,性方程,的解,是任意,例3.,提示,:,都是对应齐次方程的解,二者线性无关,.,(,反证法可证,),常数,则该方程的通解是().设线性无关,73,例4.,已知微分方程,个解,求此方程满足初始条件,的特解,.,解,:,是对应齐次方程的解,且,常数,因而线性无关,故原方程通解为,代入初始条件,故所求特解为,有三,例4.已知微分方程个解求此方程满足初始条件的特解.解:是,74,作业,P 331,2，,3，4(1),作业,75,常系数,第七节,齐次线性微分方程,基本思路,:,求解常系数线性齐次微分方程,求特征方程,(,代数方程,),之根,转化,第七章,常系数 第七节齐次线性微分方程 基本思路:求解常系数线性齐,76,二阶常系数齐次线性微分方程:,和它的导数只差常数因子,代入得,称为微分方程的,特征方程,1.,当,时,有两个相异实根,方程有两个线性无关的特解,:,因此方程的通解为,(,r,为待定常数,),所以令的解为,则微分,其根称为,特征根,.,二阶常系数齐次线性微分方程:和它的导数只差常数因子,代入得,77,特征方程,2.当,时,特征方程有两个相等实根,则微分方程有一个特解,设另一特解,(,u,(,x,),待定),代入方程得,:,是特征方程的重根,取,u=x,则得,因此原方程的通解为,特征方程2.当时,特征方程有两个相等实根则微分方程有一个,78,特征方程,3.当,时,特征方程有一对共轭复根,这时原方程有两个复数解,:,利用解的叠加原理,得原方程的线性无关特解,:,因此原方程的通解为,特征方程3.当时,特征方程有一对共轭复根这时原方程有两个,79,小结:,特征方程,:,实根,特 征 根,通 解,以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程,.,小结:特征方程:实根 特 征 根通,80,若特征方程含,k,重复根,若特征方程含,k,重实根,r,则其通解中必含对应项,则其通解中必含,对应项,特征方程,:,推广,:,若特征方程含 k 重复根若特征方程含 k 重实根 r,则,81,例1.,的通解,.,解,:,特征方程,特征根,:,因此原方程的通解为,例,2.,求解初值问题,解,:,特征方程,有重根,因此原方程的通解为,利用初始条件得,于是所求初值问题的解为,例1.的通解,82,例3.,解,:,质量为,m,的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,在无外力作用下做自由运动,初始,求物体的运动规律,立坐标系如图,设,t,=0,时物体的位置为,取其平衡位置为原点建,因此定解问题为,由第六节例,1,(P323),知,位移满足,例3.解:质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,在无外力,83,方程,:,特征方程,:,特征根,:,利用初始条件得,:,故所求特解,:,方程通解,:,1)无阻尼自由振动情况 (,n,=0,),方程:特征方程:特征根:利用初始条件得:故所求特解:方程通解,84,解的特征:,简谐振动,A,:,振幅,:,初相,周期,:,固有频率,(,仅由系统特性确定,),解的特征:简谐振动 A:振幅,:初相,周期:固有,85,方程,:,特征方程,:,特征根,:,小阻尼,:,n,k,临界阻尼,:,n,=,k,解的特征,解的特征,解的特征,方程:特征方程:特征根:小阻尼:n,k,),1),无振荡现象,;,此图参数,:,2),对任何初始条件,即随时间,t,的增大物体总趋于平衡位置,.,大阻尼解的特征:(n k)1)无振荡现象;此,88,临界阻尼解的特征:,(,n,=,k,),任意常数由初始条件定,最多只与,t,轴交于一点,;,即随时间,t,的增大物体总趋于平衡位置,.,2),无振荡现象,;,此图参数,:,临界阻尼解的特征:(n=k)任意常数由初始条件定,89,例4.,的通解,.,解,:,特征方程,特征根,:,因此原方程通解为,例,5.,解,:,特征方程,:,特征根,:,原方程通解,:,(,不难看出,原方程有特解,例4.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程通解为例5,90,例6.,解,:,特征方程,:,即,其根为,方程通解,:,例6.解:特征方程:即其根为方程通解:,91,例7.,解,:,特征方程,:,特征根为,则方程通解,:,例7.解:特征方程:特征根为则方程通解:,92,内容小结,特征根,:,(1),当,时,通解为,(2),当,时,通解为,(3),当,时,通解为,可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解,.,内容小结特征根:(1)当时,通解为(2)当时,通,93,思考与练习,求方程,的通解,.,答案,:,通解为,通解为,通解为,作业,P340 1,(3),(6),(10),;,2,(2),(3),(6);,3,思考与练习 求方程的通解.答案:通解为通解为通解为作,94,常系数非齐次线性微分方程,第八节,一、,二、,第七章,常系数非齐次线性微分方程 第八节一、二、第七章,95,二阶常系数线性非齐次微分方程,:,根据解的结构定理,其通解为,非齐次方程特解,齐次方程通解,求特解的方法,根据,f,(,x,),的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数,.,待定系数法,二阶常系数线性非齐次微分方程:根据解的结构定理,其通解,96,一、,为实数,设特解为,其中 为待定多项式,代入原方程,得,为,m,次多项式,.,(1),若,不是特征方程的根,则取,从而得到特解,形式为,Q,(,x,),为,m,次待定系数多项式,一、为实数,设特解为其中 为待定多,97,(2),若,是特征方程的,单根,为,m,次多项式,故特解形式为,(3),若,是特征方程的,重根,是,m,次多项式,故特解形式为,小结,对方程,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程,.,即,即,当,是特征方程的,k,重根,时,可设,特解,(2)若 是特征方程的单根,为m 次多项式,故特解,98,例1.,的一个特解,.,解,:,本题,而特征方程为,不是特征方程的根,.,设所求特解为,代入方程,:,比较系数,得,于是所求特解为,例1.的一个特解.解:本题而特征方程为不是特征方程的根.,99,例2.,的通解,.,解,:,本题,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,设非齐次方程特解为,比较系数,得,因此特解为,代入方程得,所求通解为,例2.的通解.解:本题特征方程为其根为对应齐次方程的通,100,二、,第二步,求出如下两个方程的特解,分析思路,:,第一步,将,f,(,x,),转化为,第三步,利用叠加原理求出原方程的特解,第四步,分析原方程特解的特点,二、第二步 求出如下两个方程的特解分析思路:第一步将 f(,101,第一步,利用欧拉公式将,f,(,x,),变形,第一步利用欧拉公式将 f(x)变形,102,第二步,求如下两方程的特解,是特征方程的,k,重根(,k,=0,1),故,等式两边取共轭,:,为方程,的特解,.,设,则,有,特解:,第二步 求如下两方程的特解 是特征方程的 k 重根(k,103,第三步,求原方程的特解,利用第二步的结果,根据叠加原理,原方程有特解,:,原方程,均为,m,次多项式,.,第三步 求原方程的特解 利用第二步的结果,根据叠加原理,104,第四步,分析,因,均为,m,次实,多项式,.,本质上为实函数,第四步 分析因均为 m 次实多项式.本质上为实函数,105,小 结:,对非齐次方程,则可设特解,:,其中,为特征方程的,k,重根(,k,=0,1),上述结论也可推广到高阶方程的情形,.,小 结:对非齐次方程则可设特解:其中 为特征方程的 k 重根,106,例4.,的一个特解,.,解,:,本题,特征方程,故设特解为,不是特征方程的根,代入方程得,比较系数,得,于是求得一个特解,例4.的一个特解.解:本题 特征方程故设特解为不是特征,107,例5.,的通解,.,解,:,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,比较系数,得,因此特解为,代入方程,:,所求通解为,为特征方程的单根,因此设非齐次方程特解为,例5.的通解.解:特征方程为其根为对应齐次方程的通解为,108,例6.,解,:,(1),特征方程,有二重根,所以设非齐次方程特解为,(2),特征方程,有根,利用叠加原理,可设非齐次方程特解为,设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式,:,例6.解:(1)特征方程有二重根所以设非齐次方程特解为,109,内容小结,为特征方程的,k,(,0,1,2),重根,则设特解为,为特征方程的,k,(,0,1),重根,则设特解为,3.,上述结论也可推广到高阶方程的情形,.,内容小结 为特征方程的 k(0,1,2)重根,则,110,思考与练习,时可设特解为,时可设特解为,提示,:,1.,(,填空,),设,思考与练习时可设特解为 时可设特解为 提示:1.(填空),111,作业,P347 1(1),(6),(10);,2(2);,3,作业P347 1(1),(6),(10),112,一阶微分方程的,习题课,(,一,),一、一阶微分方程求解,二、解微分方程应用问题,解法及应用,第七章,一阶微分方程的 习题课(一)一、一阶微分方程求解二、解微分,113,一、一阶微分方程求解,1.,一阶标准类型方程求解,关键,:,辨别方程类型,掌握求解步骤,2.,一阶非标准类型方程求解,变量代换法,代换,因变量,代换,某组合式,三个标准类型,可分离变量方程,齐次方程,线性方程,代换,自变量,一、一阶微分方程求解 1.一阶标准类型方程求解 关键:,114,例1.,求下列方程的通解,提示,:,(1),故为分离变量方程,:,通解,(2),这是一个齐次方程，,令,y=u x,化为分离变量方程,:,例1.求下列方程的通解提示:(1)故为分离变量方程:通解,115,方程两边同除以,x,即为齐次方程,令,y=u x,化为分,离变量方程,.,调换自变量与因变量的地位,用线性方程通解公式求解,.,化为,方程两边同除以 x 即为齐次方程,令 y=u x,116,例2.,求下列方程的通解:,提示,:,(1),令,u=x y,得,(2),将方程改写为,(,伯努利方程,),(,分离变量方程,),原方程化为,例2.求下列方程的通解:提示:(1)令 u=x y,117,令,y=u t,(,齐次方程,),令,t=x,1,则,可分离变量方程求解,化方程为,令 y=u t(齐次方程)令 t=x 1,则,118,例3.,设,F,(,x,),f,(,x,),g,(,x,),其中函数,f,(,x,),g,(,x,),在,(,+),内满足以下条件,:,(1),求,F,(,x,),所满足的一阶微分方程,;,(2003,考研,),(2),求出,F,(,x,),的表达式,.,解,:(1),所以,F,(,x,),满足的一阶线性非齐次微分方程,:,例3.设F(x)f(x)g(x),其中函数 f(x,119,(2),由一阶线性微分方程解的公式得,于是,(2)由一阶线性微分方程解的公式得于是,120,练习题:,(,题,3,只考虑方法及步骤,),P353,题,2,求以,为通解的微分方程,.,提示,:,消去,C,得,P353,题,3,求下列微分方程的通解,:,提示,:,令,u=x y,化成可分离变量方程,:,提示,:,这是一阶线性方程,其中,P353,题,1,，,2,，,3,(1),(2),(3),(4),(6),(9),(10),练习题:(题3只考虑方法及步骤)P353 题2 求以为通解,121,提示,:,可化为,关于,x,的一阶线性方程,提示,:,为伯努利方程,令,提示,:,可化为伯努利方程,令,公式,提示,:,为可降阶方程,令,提示:可化为关于 x 的一阶线性方程提示:为伯努利方程,122,原方程化为,即,则,故原方程通解,提示,:,令,原方程化为,即则故原方程通解提示:令,123,例,4.,设河边点,O,的正对岸为点,A,河宽,OA,=,h,一鸭子从点,A,游向点,二、解微分方程应用问题,利用共性建立微分方程,利用个性确定定解条件,.,为平行直线,且鸭子游动方向始终朝着点,O,提示,:,如图所示建立坐标系,.,设时刻,t,鸭子位于点,P,(,x,y,),设鸭子,(,在静水中,),的游速大小为,b,求鸭子游动的轨迹方程,.,O,水流速度大小为,a,两岸,则,关键问题是正确建立数学模型,要点,:,则鸭子游速,b,为,例4.设河边点 O 的正对岸为点 A,河宽 OA=,124,定解条件,由此得微分方程,即,鸭子的实际运动速度为,(,自己求解,),(,齐次方程,),定解条件由此得微分方程即鸭子的实际运动速度为(自己求解),125,思考,:,能否根据草图列方程,?,练习题,:,P354,题,5 ,6,P354,题,5.,已知某曲线经过点,(1,1),轴上的截距等于切点的横坐标,求它的方程,.,提示,:,设曲线上的动点为,M,(,x,y,),令,X,=0,得截距,由题意知微分方程为,即,定解条件为,此点处切线方程为,它的切线在纵,思考:能否根据草图列方程?练习题:P354 题 5,126,P354 题6.,已知某车间的容积为,的新鲜空气,问每分钟应输入多少才能在,30,分钟后使车间空,的含量不超过,0.06%?,提示,:,设每分钟应输入,t,时刻车间空气中含,则在,内车间内,两端除以,并令,与原有空气很快混合均匀后,以相同的流量排出,),得微分方程,(,假定输入的新鲜空气,输入,的改变量为,P354 题6.已知某车间的容积为的新鲜空气问每分钟应,127,t,=30,时,解定解问题,因此每分钟应至少输入,250,新鲜空气,.,初始条件,得,k,=?,t=30 时解定解问题因此每分钟应至少输入 250 新鲜,128,作业,P304 3,7;,P310 *4,(2);,P315 7,(2),(4),第六节,作业第六节,129,二阶微分方程的,习题课,(,二,),二、微分方程的应用,解法及应用,一、两类二阶微分方程的解法,第七章,二阶微分方程的 习题课(二)二、微分方程的应用 解法及应用,130,一、两类二阶微分方程的解法,1.,可降阶微分方程的解法,降阶法,令,令,逐次积分求解,一、两类二阶微分方程的解法 1.可降阶微分方程的解法,131,2.二阶线性微分方程的解法,常系数情形,齐次,非齐次,代数法,欧拉方程,练习题,:,P353,题,2,(2),;,3,(6),(7);,4,(2),；,2.二阶线性微分方程的解法 常系数情形齐次非齐次代数法,132,解答提示,P353,题,2,(2),求以,为通解的微分方程,.,提示,:,由通解式可知特征方程的根为,故特征方程为,因此微分方程为,P353,题,3,求下列微分方程的通解,提示,:,(6),令,则方程变为,解答提示P353 题2(2)求以为通解的微分方程.提示,133,特征根:,齐次方程通解,:,令非齐次方程特解为,代入方程可得,思 考,若,(7),中非齐次项改为,提示,:,原方程通解为,特解设法有何变化,?,特征根:齐次方程通解:令非齐次方程特解为代入方程可得思 考若,134,P354 题4(2),求解,提示,:,令,则方程变为,积分得,利用,再解,并利用,定常数,思考,若问题改为求解,则求解过程中得,问开方时,正负号如何确定,?,P354 题4(2)求解提示:令则方程变为积分得利用再,135,特征根,:,例1,.求微分方程,提示,:,故通解为,满足条件,解满足,处连续且可微的解,.,设特解,:,代入方程定,A,B,得,得,特征根:例1.求微分方程提示:故通解为满足条件解满足处连,136,处的衔接条件可知,解满足,故所求解为,其通解,:,定解问题的解,:,处的衔接条件可知,解满足故所求解为其通解:定解问题的解:,137,例2.,且满足方程,提示,:,则,问题化为解初值问题,:,最后求得,例2.且满足方程提示:则问题化为解初值问题:最后求得,138,思考,:,设,提示,:,对积分换元,则有,解初值问题,:,答案,:,思考:设提示:对积分换元,则有解初值问题:答案:,139,的解,.,例3.,设函数,内具有连续二阶导,(1),试将,x,x,(,y,),所满足的微分方程,变换为,y,y,(,x,),所满足的微分方程,;,(2),求变换后的微分方程满足初始条件,数,且,解,:,上式两端对,x,求导,得,(1),由反函数的导数公式知,(2003,考研,),的解.例3.设函数内具有连续二阶导(1)试将 xx(,140,代入原微分方程得,(2),方程的对应齐次方程的通解为,设的特解为,代入得,A,0,从而得的通解,:,代入原微分方程得 (2)方程的对应齐次方程的通解为,141,由初始条件,得,故所求初值问题的解为,由初始条件 得故所求初值问题的解为,142,二、微分方程的应用,1.,建立数学模型,列微分方程问题,建立微分方程,(,共性,),利用物理规律,利用几何关系,确定定解条件,(,个性,),初始条件,边界条件,可能还有衔接条件,2.,解微分方程问题,3.,分析解所包含的实际意义,二、微分方程的应用 1.建立数学模型 列微分方程问题,143,例4.,解,:,欲向宇宙发射一颗人造卫星,为使其摆脱地球,引力,初始速度应不小于第二宇宙速度,试计算此速度,.,设人造地球卫星质量为,m,地球质量为,M,卫星,的质心到地心的距离为,h,由牛顿第二定律得,:,(,G,为引力系数,),则有初值问题,:,又设卫星的初速度,例4.解:欲向宇宙发射一颗人造卫星,为使其摆脱地球 引力,144,代入原方程,得,两边积分得,利用初始条件,得,因此,注意到,代入原方程,得两边积分得利用初始条件,得因此注意,145,为使,因为当,h,=,R,(,在地面上,),时,引力,=,重力,即,代入,即得,这说明第二宇宙速度为,为使因为当h=R(在地面上)时,引力=重力,146,求质点的运动规律,例5.,上的力,F,所作的功与经过的时间,t,成正比,(,比例系数,提示,:,两边对,s,求导得,:,牛顿第二定律,为,k,),开方如何定,+?,已知一质量为,m,的质点作直线运动,作用在质点,求质点的运动规律例5.上的力 F 所作的功与经过的时间 t,147,例6.,一链条挂在一钉子上,启动时一端离钉子 8 m,另一端离钉子,12 m,力,求链条滑下来所需的时间,.,解,:,建立坐标系如图,.,设在时刻,t,链条较长一段,下垂,x,m,又设链条线密度为常数,此时链条受力,由牛顿第二定律,得,如不计钉子对链条所产生的摩擦,例6.一链条挂在一钉子上,启动时一端离钉子 8 m,148,由初始条件得,故定解问题的解为,解得,(s),微分方程通解,:,当,x,=20 m,时,思考,:,若摩擦力为链条,1 m,长的质量,定解问题的,数学模型是什么,?,由初始条件得故定解问题的解为解得(s)微分方程通解:当 x,149,摩擦力为链条 1 m 长的质量 时的数学模型为,不考虑摩擦力时的数学模型为,此时链条滑下来,所需时间为,摩擦力为链条 1 m 长的质量 时的数学模型为不考虑摩擦力时,150,练习题,从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测,要求,需确定仪器的下沉深度,y,与下沉速度,v,之间的函,数关系,.,设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力作用,设仪器质量为,m,体积为,B,海水比重为,仪器所受阻力与下沉速度成正,比,比例系数为,k,(,k,0),试建立,y,与,v,所满足的微分,方程,并求出函数关系式,y=y,(,v,).,(1995,考研,),提示,:,建立坐标系如图,.,质量,m,体积,B,由牛顿第二定律,重力,浮力,阻力,注意,:,练习题从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪,151,初始条件为,用分离变量法解上述初值问题得,作业,P348 4 ,6 ;,P353 3,(8),;4,(2),(4),；,7;*11,(1),得,质量,m,体积,B,第十一节,初始条件为用分离变量法解上述初值问题得 作业 P,152,备用题,有特,而对应齐次方程有解,微分方程的通解,.,解,:,故所给二阶非齐次方程为,方程化为,1.,设二阶非齐次方程,一阶线性非齐次方程,备用题 有特而对应齐次方程有解微分方程的通解.解:故所给,153,故,再积分得通解,复习,:,一阶线性微分方程,通解公式,:,故再积分得通解复习:一阶线性微分方程 通解公式:,154,2.,设函数,在,r,0,内满足,拉普拉斯方程,二阶可导,试将方程化为以,r,为自变量的常微分,方程,并求,f,(,r,).,提示,:,利用对称性,即,(,欧拉方程,),原方程可化为,且,2.设函数在 r 0内满足拉普拉斯方程二阶可导,试,155,解初值问题:,则原方程化为,通解,:,利用初始条件得特解,:,解初值问题:则原方程化为 通解:利用初始条件得特解:,156,微分方程,习题课,第七章,微分方程 习题课 第七章,157,一、一阶微分方程求解,1.一阶标准类型方程求解,关键,:辨别方程类型,掌握求解步骤,2.一阶非标准类型方程求解,三个标准类型,可分离变量方程,齐次方程,线性方程,一、一阶微分方程求解 1.一阶标准类型方程求解 关键:,158,齐次方程,形如,的方程叫做,齐次方程,.,令,代入原方程得,两边积分,得,积分后再用,代替,u,便得原方程的通解.,解法:,分离变量:,齐次方程形如的方程叫做齐次方程.令代入原方程得两边积分,159,一阶线性方程,方法1 先解齐次方程,再用常数变易法.,方法2 用通解公式,一阶线性方程方法1 先解齐次方程,再用常数变易法.方,160,可降阶微分方程的解法,降阶法,逐次积分,令,令,可降阶微分方程的解法 降阶法逐次积分令令,161,高阶线性微分方程,线性齐次方程解的结构,线性非齐次方程解的结构,高阶线性微分方程 线性齐次方程解的结构 线性非齐次方程解的结,162,线性齐次方程解的结构,是二阶线性齐次方程,的两个解,也是该方程的解.,(叠加原理),定理1.,线性齐次方程解的结构是二阶线性齐次方程的两个解,也是该方程的,163,定理 2.,是二阶线性齐次方程的两个线,性无关特解,数)是该方程的通解.,则,定理 2.是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解,数)是该,164,线性非齐次方程解的结构,是二阶非齐次方程,的一个特解,Y,(,x,),是相应齐次方程的通解,定理 3.,则,是非齐次方程的通解.,线性非齐次方程解的结构 是二阶非齐次方程的一个特解,Y(,165,定理 4.,分别是方程,的特解,是方程,的特解.,(非齐次方程之解的叠加原理),定理3,定理4 均可推广到,n,阶线性非齐次方程.,定理 4.分别是方程的特解,是方程的特解.(非齐次方程之解,166,定理 5.,是对应齐次方程的,n,个线性,无关特解,给定,n,阶非齐次线性方程,是非齐次方程的特解,则非齐次方程,的通解为,齐次方程通解,非齐次方程特解,定理 5.是对应齐次方程的 n 个线性无关特解,给定 n,167,常系数,齐次线性微分方程,基本思路:,求解常系数线性齐次微分方程,求特征方程(代数方程)之根,转化,常系数 齐次线性微分方程 基本思路:求解常系数线性齐次微分,168,小结:,特征方程:,实根,特 征 根,通 解,以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.,小结:特征方程:实根 特 征 根通,169,若特征方程含,k,重复根,若特征方程含,k,重实根,r,则其通解中必含对应项,则其通解中必含,对应项,特征方程:,推广,:,若特征方程含 k 重复根若特征方程含 k 重实根 r,则,170,二阶常系数线性非齐次微分方程:,根据解的结构定理,其通解为,非齐次方程特解,齐次方程通解,求特解的方法,根据,f,(,x,)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.,待定系数法,二阶常系数线性非齐次微分方程:根据解的结构定理,其通解,171,为特征方程的,k,(,=,0,1,2)重根,则设特解为,为特征方程的,k,(,=,0,1)重,根,则设特解为,3.,上述结论也可推广到高阶方程的情形.,为特征方程的 k(=0,1,2)重根,则设特解为,172,例1.,求下列方程的通解,提示:,(1),故为分离变量方程:,通解,(2),这是一个齐次方程，,令,y=u x,化为分离变量方程:,例1.求下列方程的通解提示:(1)故为分离变量方程:通解,173,例3.,设,F,(,x,),f,(,x,),g,(,x,),其中函数,f,(,x,),g,(,x,)在(,+),内满足以下条件:,(1)求,F,(,x,)所满足的一阶微分方程;,(2003考研),(2)求出,F,(,x,)的表达式.,解:(1),所以,F,(,x,)满足的一阶线性非齐次微分方程:,例3.设F(x)f(x)g(x),其中函数 f(x,174,(2),由一阶线性微分方程解的公式得,于是,(2)由一阶线性微分方程解的公式得于是,175,思考:,能否根据草图列方程?,练习题:,P354 题5.,已知某曲线经过点(1,1),轴上的截距等于切点的横坐标,求它的方程.,提示:,设曲线上的动点为,M,(,x,y,),令,X,=0,得截距,由题意知微分方程为,即,定解条件为,此点处切线方程为,它的切线在纵,思考:能否根据草图列方程?练习题:P354 题5.已知,176,例2.,的通解,.,解:,本题,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,设非齐次方程特解为,比较系数,得,因此特解为,代入方程得,所求通解为,例2.的通解.解:本题特征方程为其根为对应齐次方程的通,177,例5.,的通解,.,解:,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,比较系数,得,因此特解为,代入方程:,所求通解为,为特征方程的单根,因此设非齐次方程特解为,例5.的通解.解:特征方程为其根为对应齐次方程的通解为,178,例4.,的一个特解,.,解:,本题,特征方程,故设特解为,不是特征方程的根,代入方程得,比较系数,得,于是求得一个特解,例4.的一个特解.解:本题 特征方程故设特解为不是特征,179,作业,p353 总习题七,1,3(1)(7)(8),4(4),作业p353 总习题七,180,