(北师大版)初中数学八年级下册 第一章综合测试

第一章综合测试一、选择题（本大题共 12 小题，共 36.0 分）1.如下图，已知 BD 是 ABC 的角平分线， ED 是 BC 的垂直平分线， BAC =90，AD =3 ，则 CE 的长 为（ ）A.6 B.5 C.4 D. 3 32.如下图，在 ABC 中，ACB =90 CE等于（ ），BE 平分 ABC，ED AB于 D .如果 A =30，AE =6 cm，那么A. 3 cmB.2 cmC.3 cmD.4 cm3. 如 下 图 ， 在 ABC 中 A =60，BM AC 于 点 M，CN AB 于 点 N，P 为 BC 边 的 中 点 ， 连 接PM，PN，则下列结论： PM =PN ； PMN 为等边三角形；下面判断正确是（ ）A.正确B.正确C.都正确D.都不正确4.如下图所示，已知 BD 是 ABC 的角平分线， ED 是BC的垂直平分线， BAC =90，AD =3，则CE的长为（ ）A.6 B.5 C.4 D. 3 35.在 ABC 中， AD 既是 A 的平分线，又是 BC 边上的中线，则 ABC 的形状是（ ）A.等腰三角形 C.等腰直角三角形B.三边互不相等的直角三角形 D.不能确定初中数学 八年级下册 1 / 15 6.已知一个等腰三角形的边长分别是 2 和 4，则该等腰三角形的周长是（ ） A.8 或 10 B.8 C.10 D.6 或 127.如下图所示， ABC 是等边三角形，且 BD =CE，1 =15，则 2 的度数为（ ）A. 15B. 30C. 45D. 608.如下图，在PAB中， PA =PB，M，N，K分别是 PA，PB，AB上的点，且 AM =BK，BN =AK，若MKN =44 ，则 P 的度数为（ ）A. 44B.66C.88D.929.下列说法：有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形；如果三角形的一个外角平分线平行三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形；三角形三边的垂直平分线的交点与三角形三个顶点的距离相等； 有两个角相等的等腰三角形是等边三角形.其中正确的个数有（ ）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个10.如下图，在平面直角坐标系 xoy 中， A (0，2)，B(0，6)，动点C在 y =x 上.若以 A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是（ ）A.2 B.3 C.4 D.511.如下图， ABC 中， BAC =90，B =30，AD BC 于D，CE是ACB的平分线，且交 AD 于 P点.如果 AB =9，则 AP 的长为（ ）A.3 B.3.5 C.4 D.4.5初中数学 八年级下册 2 / 15 12.如下图，BAC =30，AP 平分 BAC，GF 垂直平分 AP ，交 AC 于 F，Q 为射线 AB 上一动点，若 PQ的最小值为 3，则 AF 的长为（ ）A.3 B.6 C. 3 3D.9二、填空题（本大题共 4 小题，共 12.0 分）13.腰长为 12 cm ，底角为 15 的等腰三角形的面积为_.14.等腰三角形的一个内角是 70 ，则这个等腰三角形的底角是_.15.如下图，在 ABC 中， B =30，ED 垂直平分 BC，ED =3，则 CE的长为_.16.如下图，已知在 R ABC 中， C =90，AC =18 .分别以 A、B1为圆心，大于 AB 长为半径作弧，过2弧的交点作直线，分别交 AB、AC于点 D、E.若 EC =5，则 BEC 的面积为_.三、解答题（本大题共 6 小题，共 48.0 分）17.如下图，在 ABC 中， B =ACB =60 ，AB AD .（1）求证： ABC 为等边三角形；初中数学 八年级下册 3 / 15（2）若 BD =8 ，求 ABC 的边长.18.如下图，在 ABC 中， C =90，BC =3.CAB 的平分线交 BC于点 D，DE是 AB 的垂直平分线，垂足为 E .（1）求 B 度数.（2）求 DE 的长.19.在 ABC 中， C =90，BD 平分 ABC交 AC于点 D，DE垂直平分线段 AB .（1）求 ABD 度数；（2）求证：AD =2CD.初中数学 八年级下册 4 / 1520.如下图， AD 为 ABC 的角平分线， DE AB 于点 E，DF AC 于点 F ，连接 EF 交 AD 于点 O .（1）求证： AD 垂直平分 EF ；（2）若 BAC =60 ，请求出 DO与 AD 之间的数量关系.21.如下图，在 ABC 中， ACB =90 ，过 A 点沿直线 AE 折叠这个三角形，使点 C 落在 AB 边上的 D 点 处，连接 DC ，若 AE =BE ，求证： ADC 是等边三角形.22.如下图，已知在 ABC 中， ACB =90 ，CD 为高，且 CD，CE 三等分 ACB .（1）求 B 的度数；（2）求证： CE 是 AB 边上的中线，且 CE =12AB .初中数学 八年级下册 5 / 15第一章综合测试答案解析1.【答案】D【解析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质和勾股定理等知识，掌握线段垂直平分线 上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键.根 据 线 段 垂 直 平 分 线 的 性 质 得 到 DB =DC ， 根 据 角 平 分 线 的 定 义 、 三 角 形 内 角 和 定 理 求 出C =DBC =ABD =30，根据含 30的直角三角形的性质和勾股定理解答.解：ED 是 BC 的垂直平分线，DB =DC，DEC =90，C =DBC ，BD 是 ABC 的角平分线， ABD =DBC ， C =DBC =ABD =30 BD =2 AD =6 ，即 CD =BD =6，ED =12CD =3 ，CE = CD2-ED2=3 3 ，故选：D.2.【答案】C【解析】解：ED AB，A =30 ， AE =2 ED ，AE =6 cm ，ED =3 cm ，ACB =90，BE 平分 ABC ，ED =CE ，CE =3 cm ；故选：C.根据在直角三角形中，30 度所对的直角边等于斜边的一半得出 AE =2 ED ，求出 ED ，再根据角平分线到两 边的距离相等得出 ED =CE ，即可得出 CE 的值.此题考查了含 30角的直角三角形，用到的知识点是在直角三角形中，30 度所对的直角边等于斜边的一半和角平分线的基本性质，关键是求出 ED =CE .3.【答案】C【解析】解： BM AC 于点 M ，CN AB 于点 N，P 为 BC 边的中点，初中数学 八年级下册 6 / 151 1PM = BC，PN = BC ，2 2PM =PN ，正确；A =60，BM AC 于点 M，CN AB 于点 N ，ABM =ACN =30，在 ABC 中， BCN +CBM =180 -60 -30 2=60 ， 点 P 是 BC 的中点， BM AC，CN AB ， PM =PN =PB =PC ，BPN =2BCN，CPM =2CBM ，BPN +CPN =2(BCN +CBM)=2 60 =120 ，MPN =60 ，PMN 是等边三角形，正确；所以都正确.故选：C.根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断正确；根据直角三角形两锐角互余的性质求出ABM =ACN =30，再根据三角形的内角和定理求出BCN +CBM =60，然后根据三角形的一个外角等于与它 不相邻的两个内角的和求出 BPN +CPM =120 ，从而得到 MPN =60 ，又由 得PM =PN ，根据有一个角是 60 的等腰三角形是等边三角形可判断正确.本题主要考查了直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握性质是解题的关键.4.【答案】D【解析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质和勾股定理等知识，掌握线段垂直平分线 上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键.根 据 线 段 垂 直 平 分 线 的 性 质 得 到 DB =DC ， 根 据 角 平 分 线 的 定 义 、 三 角 形 内 角 和 定 理 求 出C =DBC =ABD =30，根据含 30的直角三角形的性质和勾股定理解答.解：ED 是 BC 的垂直平分线， DB =DC，DEC =90 ， C =DBC ，BD 是 ABC 的角平分线， ABD =DBC ，C =DBC =ABD =30 ， BD =2 AD =6 ，1即 CD =BD =6，ED = CD =3 ，2CE = CD2-ED2=3 3 ，初中数学 八年级下册 7 / 15故选：D.5.【答案】A6.【答案】C【解析】解：2 是腰长时，三角形的三边分别为 2、2、4，2 +2 =4 ， 不能组成三角形，2 是底边时，三角形的三边分别为 2、4、4，能组成三角形，周长 =2 +4 +4 =10 ，综上所述，它的周长是 10.故选：C.分 2 是腰长与底边长两种情况讨论求解.本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系进行判定. 7.【答案】D【解析】本题考查了全等三角形的证明，全等三角形对应角相等的性质，等边三角形内角为60的性质，本题中求证 ABDBCE 是解题的关键.易证 ABDBCE ，可得 1 =CBE ，根据 2 =1+ABE 可以求得 2 的度数，即可解题. 解：在 ABD 和 BCE 中，AB =BCABC =ACB ，BD =CEABDBCE ，1 =CBE ，2 =1+ABE ，2 =CBE +ABE =ABC =60 . 故选 D.8.【答案】D【解析】解：PA =PB ，A =B ，在 AMK 和 BKN 中，AM =BKA=B ，AK =BN AMK BKN (SAS)，初中数学 八年级下册 8 / 15AMK =BKN ，MKB =MKN +NKB =A +AMK ，A =MKN =44，P =180 -A -B =92 ，故选：D.解题思路首先根据等腰三角形的性质得到 A =B ，接下来证明 AMKBKN ，得到 AMK =BKN ， 然后根据三角形的外角定理求出 A =MKN =44 ，最后用三角形内角和定理获得答案.本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质，掌握等边对等角、全等 三角形的判定定理和性质定理、三角形的外角的性质是解题的关键.9.【答案】C【解析】本题主要考查的是等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，等边三角 形的判定的有关知识，由题意对给出的各个选项进行逐一分析即可.解：有一个角是 60 的等腰三角形是等边三角形，正确；如果三角形的一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形；正确；三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等；正确；有三个角相等的等腰三角形是等边三角形，故错误.故选 C.10.【答案】B【解析】本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形性质，线段垂直平分线的性质，作出图形，利用数形结 合的思想求解更形象直观.根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得 AB 的垂直平分线与直 线 y =x 的交点为点 C ，再求出 AB 的长，以点 A 为圆心，以 AB 的长为半径画弧，与直线 y =x 的交点为点 C ，求出点 B 到直线 y =x 的距离可知以点 B 为圆心，以 AB 的长为半径画弧，与直线没有交点，据此求解 即可.解：如下图， AB 的垂直平分线与直线 y =x 相交于点 C ，1A (0，2)，B(0，6)，AB =6 -2 =4 ，以点 A 为圆心，以 AB 的长为半径画弧，与直线 y =x 的交点为 C ，C ，2 3初中数学 八年级下册 9 / 15OB =6 ， 点 B 到直线 y =x 的距离为 6 22=3 2 ，3 24 ， 以点 B 为圆心，以 AB 的长为半径画弧，与直线 y =x 没有交点，所以，点 C 的个数是1 +2 =3 .故选 B.11.【答案】A【解析】本题考查了含 30 度角的直角三角形的性质、角平分线的性质以及等边三角形的判定与性质.利用三角形外角定理得到 AEC =60是解题的关键，根据角的关系可得到 BE =CE ，再通过计算得 AEP 的等边三角形，则 AE =AP ，在直角 AEC 中，利用含 30 度角的直角三角形的性质来得到 AE 与 CE 的关系， 可得所求.解：ABC 中， BAC =90，B =30，ACB =60.又CE 是 ACB 的平分线，ECB =B =30，BE =CE ，AEC =B +ECB =60 ，B =ECBAEP =60 ，BE =EC .又 AD BC ，BAD =EAP =60 ，则 AEP =EAP =60 ，AEP 的等边三角形，则 AE =AP ，在直角 AEC 中， ACE =30 ，则 EC =2 AE ，AB =AE +BE =AE +CE =3 AE =3 AP ，AP =3 .故选 A.12.【答案】B【解析】本题考查的是角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相 等.初中数学 八年级下册 10 / 15作 PH AC 于 H ，连接 PF ，根据角平分线的性质求出 PH ，根据线段垂直平分线的性质得到 FA =FP ， 根据三角形的外角的性质求出 PFH ，根据直角三角形的性质解答即可.解：作 PH AC 于 H ，连接 PF ， 当 PQ AB 时， PQ 的最小，AP 平分 BAC ， PQ AB，PH AC ，PH =PQ =3，PAB =PAC =15 GF 垂直平分 AP ，FA =FP ，FPA =PAC =15 ，PFH =30 ，PF =2 PH =6 ，AF =6 ，故选 B.，13.【答案】 36 cm2【解析】本题考查了等腰三角形的性质；解答本题的关键，是构建出含30 角的直角三角形，从而通过解直 角三角形求出三角形的高，进而求出其面积.要求等腰三角形的面积，已知腰长为12 cm ，只要求出腰上的 高即可，所以要通过构建直角三角形来解答本题.解：如下图：ABC 是等腰三角形，且 BAC =B =15 过 A 作 DA BC 的延长线于 D ，AC =BC =12 cm ；ADC 中， DCA =30，AC =12 cm ，DA =12AC =6 cm ；ABC=12BC DA =36 cm 2 .初中数学 八年级下册 11 / 15故答案为 36 cm 2 .14.【答案】 55或 70【解析】解：当这个角是顶角时，底角 =(180-70 )2=55；当这个角是底角时，另一个底角为 70，顶角为 40；故答案为： 55 或 70 .题中未指明已知的角是顶角还是底角，故应该分情况进行分析，从而求解.此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用.15.【答案】6【解析】此题考查了线段垂直平分线的性质与直角三角形的性质.解题的关键是数形结合思想的应用.由 ED垂直平分 BC ，即可得 BE =CE，EDB =90 可求得 BE 的长，则问题得解.解：ED 垂直平分 BC ，BE =CE，EDB =90B =30，ED =3 ，又由直角三角形中30角所对的直角边是其斜边的一半，即BE =2 DE =6 ，CE =6 .故答案为 6.16.【答案】30【解析】本题考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质，垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相 等.根据垂直平分线的性质即可得到 AE =BE =13 ，再根据勾股定理求得 BC 的长，即可得到 BEC 的面积. 解：由作图可知， MN 垂直平分 AB ，AE =BE ，又AC =18，EC =5 ，AE =BE =13 ，又C =90， BCE 中， BC = BE2-CE2=12 ，BCE=1 1BC CE = 12 5 =30 ， 2 2故答案为：30.17.【答案】（1）证明：B =ACB =60，BAC =60，ABC 为等边三角形； （2）解：AB AD ，BAD =90.初中数学 八年级下册 12 / 15B =60 ，D =30，AB =1 1BD = 8 =4 ， 2 2ABC 的边长为 4.【解析】本题考查等边三角形的判定，以及含 30角的直角三角形的性质，掌握判定方法和性质是解题关键.（1）根据三角形的内角和求出 BAC 的度数，即可得解； （2）先求出 D 的度数，再根据直角三角形的性质求解即可. 18.【答案】解：（1）DE 是 AB 的垂直平分线，DA =DB ，B =DAB .AD 平分 CAB ，CAD =DAB .C =90 ，3CAD =90，CAD =30，B =30 ；（2）AD 平分 CAB，DE AB，CD AC ，CD =DE =12BD ，BC =3 ，CD =DE =1 .【解析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，熟悉掌握是关键.（1）由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得 B =CAD =DAB =30 （2）根据角平分线的性质即可得到结论.19.【答案】解：（1）DE 垂直平分线段 AB ，AD =BD ，A =ABD ，BD 平分 ABC 交 AC 于点 D ，DBC =ABD ，ABC =2A ，C =90 ，A +ABC =90 ，；A =30，ABD =A =30 ；（2）CBD =ABD =30 ，C =90 ，初中数学 八年级下册 13 / 15BD =2CD ，AD =BD ，AD =2CD .【解析】此题考查了线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质.此题难度不大，注意掌握转化思想与数形 结合思想的应用.（1）据线段垂直平分线的性质得到 AD =BD ，根据等腰三角形的性质得到A =ABD ，根据角平分线的 定义得到 DBC =ABD ，求得 ABC =2A ，根据三角形的内角和即可得到结论；（2）根据含 30 角的直角三角形的性质得到 BD =2CD ，等量代换即可得到结论.20.【答案】（1）证明：AD 平分 BAC ， DE AB，DF AC ，DE =DF，DEA =DFA =90 ，DEF =DFE ，DEA -DEF =DFA -DFE ，即 AEF =AFE，AE =AF ，DE =DF，AE =AF ， 点 D 、点 A 在 EF 的垂直平分线上，AD 垂直平分 EF ；（2）解： DO =14AD .理由：BAC =60 EAD =30 ， AD 平分 BAC ，AD =2 DE，EDA =60，由（1）知 AD EF，EOD =90，DEO =30 ，DE =2 DO ，AD =4 DO ，1即 DO = AD .4【解析】本题主要考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的判定，含30角的直角三 角形的性质等知识点，解此题的关键是证明 AE =AF 和 DE =DF ，证明 AD =2 DE 和 DE =2 DO .题目比较 典型，综合性强，属于中档题.（1）由 AD 为 ABC 的角平分线，得到 DE =DF ，推出 AEF 和 AFE 相等，得到 AE =AF ，即可推出 结论；（2）由已知推出 EAD =30 ，得到 AD =2 DE ，在 DEO 中，由 DEO =30 推出 DE =2 DO ，即可推 出结论.21.【答案】证明：根据折叠的性质： ACEADE，AC =AD，ADE =ACB =90 ，AE =BE ，初中数学 八年级下册 14 / 15AD =BD ， AB =2 AD =2 AC ，B =30，CAB =60 ，ADC 是等边三角形.【解析】本题考查了图形的翻折变换以及等边三角形的判定，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属 于 轴 对 称 ， 根 据 轴 对 称 的 性 质 ， 折 叠 前 后 图 形 的 形 状 和 大 小 不 变 . 根 据 折 叠 的 性 质 ： ACEADE，AC =AD，ADE =ACB =90 ，根据等腰三角形三线合一得出点 D 恰为 AB 的中点，从而得出 AB =2 AD =2 AC ，又 C =90，故 B =30，所以 CAB =60，根据有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形即可证得.22.【答案】（1）解：在 ABC 中， ACB =90 ，CD，CE 三等分 ACB ，ACD =DCE =BCE =30，则 BCD =60，又CD 为高，B =90 -60 =30 ；（2）证明：由（1）知， B =BCE =30 ，则 CE =BE，AC = ACB =90 ，B =30 ，A =60，又由（1）知， ACD =DCE =30ACE =A =60 ，ACE 是等边三角形，1AC =AE =EC = AB ，2AE =BE ，即点 E 是 AB 的中点.12AB .CE 是 AB 边上的中线，且 CE =12AB .【解析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线.本题解题过程中利用了“等角对 等边”以及等边三角形的判定与性质证得（2）的结论的.（1）利用直角 BCD 的两个锐角互余的性质进行解答；（2）利用已知条件和（1）中的结论可以得到 ACE 是等边三角形和 BCE 为等腰三角形，利用等腰三角 形的性质证得结论.初中数学 八年级下册 15 / 15