2020北京北师大实验高二(下)期中数学

n n 11 0n n 1 01 21 22 10 0 学习是一件很有意思的事2020 北师大实验高二（下）期中数学一、选择题（8 道小题，每题 4 分，共 32 分）1（4 分）若等式（x1）na xn+a xn1+a x+a 对任意 xR 成立，则 a +a +a 的值为（ ） A0B1 C2nD（2）n2（4 分）复数，则在复平面内，z 对应的点的坐标是（ ）A（1，0）B（0，1）CD3（4 分）下列函数中，既是偶函数，又在（0，+）上单调递增的是（ ）Ayx4ByCycosx Dyex4（4 分）对于任意的 x ，x R，x x ，下列不等式中一定成立的是（ ）AC5（4 分）函数AC6（4 分）已知函数BD1cos（x x ）1的导数为（ ）BD在点 xx 处的切线的倾斜角是 ，则 x 的值为（ ）ABCD17（4 分）已知函数 f（x）满足 f（1）1，f（1）2，则函数 yf（x）ex 在 x1 处的瞬时变化率为（ ）A1 B2 Ce D2e8（4 分）从 20 名同学中选派 3 人分别参加数学、物理学科竞赛，要求每科竞赛都有人参加，而且每人只能参加 一科竞赛记不同的选派方式有 n 种，则 n 的计算式可以是（ ）1 / 131 21 21 21 21 12 2学习是一件很有意思的事ABCD二、填空题（8 道小题，每题 4 分，共 32 分）9（4 分）已知 f（x）是 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）xx2，则 f（2）的值为 10（4 分）函数 ylg的定义域是 11（4 分）若复数 z 的共轭复数 2z+1+i，则 z 12（4 分）若 ，则正整数 n 13（4 分）在二次项式（x ）6的展开式中，常数项的值是 （用具体数字作答）14（4 分）除函数 yx，x2，1外，再写出一个定义域和值域均为2，1的函数： 15（4 分）设有编号为 1，2，3，4，5 的五把锁和对应的五把钥匙现给这 5 把钥匙也分别贴上编为 1，2，3，4，5 的五个标签，则有种不同的姑标签的方法；若想使这 5 把钥匙中至少有 2 把能打开贴有相同标签的锁，则有种不同的贴标签的方法（用数字作答）16（4 分）如果直线 yt（t0）与函数的图象有两个不同的交点，其横坐标分别为 x ，x ，则以下结论：t2；lnx +lnx 0；x +x 2；|x x |的取值范围是（0，+），其中正确的是 （填入所有正 确结论的序号）三、解答题（4 道小题，共 36 分）17（9 分）已知函数 （1）求 f（x）在 x1 处的切线方程；（2）求不等式 f（x）2 的解集18（10 分）已知：直线 ykx+1 与抛物线 yax2（a 为常数）交于两点 A（x ，y ），B（x ，y ），且抛物线在 点 A，B 处的切线互相垂直（1）求 a 的值；（2）求两条切线交点的横坐标（用 k 表示）2 / 13n i n n n n n n 1 m K 19（12 分）已知椭圆学习是一件很有意思的事离心率为 ，点 G（0，2）与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形点 C 是椭圆的下顶点，经过椭圆中心 O 的一条直线与椭圆交于 A，B 两个点（不与点 C 重合），直线 CA，CB 分别与 x 轴交于点 D，E（1）求椭圆的标准方程；（2）判断DGE 的大小是否为定值，并证明你的结论20（5 分）已知，无穷数列a 中，a 0，1（i1，2，3）记a 前 n 项的和为 S 构造数列b ：所有 n N*，都定义 b （n2）（1）若b 为单调递减数列，直接写出数列a 的通项公式：（2）若 a 0，且存在 mN*使得 b 0.8，求证：存在 KN*，使得 b 0.83 / 13n n 1 1 0n n 1 01 21 21 21 21 2 学习是一件很有意思的事2020 北师大实验高二（下）期中数学参考答案一、选择题（8 道小题，每题 4 分，共 32 分）1【分析】直接令 x1 即可求得结论【解答】解：等式（x1）na xn+a xn 1+a x+a 对任意 xR 成立，令 x1，0a +a +a ；故选：A【点评】本题主要考查二项式定理的应用以及赋值法的应用，属于基础题目2【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简即可得 z 对应的点的坐标，则答案可求【解答】解：由 i；则在复平面内，z 对应的点的坐标是：（0，1）故选：B【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题 3【分析】结合偶函数的定义及函数单调性的定义逐项检验即可判断【解答】解：yx4为偶函数，且在（0，+）上单调递增，符合题意；y为偶函数，且在（0，+）上单调递减，不符合题意；ycosx 为偶函数且在（0，+）上不单调，不符合题意；yex 为非奇非偶函数，不符合题意故选：A【点评】本题主要考查了函数奇偶性及单调性的判断，属于基础试题4【分析】根据任意的 x ，x R，x x ，取特殊值可排除 ABD【解答】解：根据任意的 x ，x R，x x ，取 x 1，x 1，则可排除 AB，取，可排除 D故选：C【点评】本题考查了不等式的基本性质，属基础题 5【分析】直接运用商的导数的求导法则求解4 / 130 0 203 22020学习是一件很有意思的事【解答】解： 故选：D【点评】本题考查了导数的运算，考查了商的导数的求导法则， ，此题是基础题6【分析】根据切线的倾斜角求出斜率，然后令导数等于斜率，即可解出 x 的值【解答】解：易知 ，因为在 xx 处，切线倾斜角为 ，故 ，解得故选：A【点评】本题考查导数的几何意义和切线方程的求法，属于基础题7【分析】先对函数 y 求导得 yf（x）+f（x）ex，再将 x1 代入进行计算即可得解【解答】解：yf（x）ex，yf（x）ex+f（x）exf（x）+f（x）ex，当 x1 时，yf（1）+f（1）e1（21）ee故选：C【点评】本题考查导数的概念和导数的乘法运算法则，考查学生的运算能力，属于基础题8【分析】根据题意，分 2 步进行分析：先从 20 名同学中选出 3 人，再将选出的 3 人安排参加两科竞赛，由分步 计数原理计算可得答案【解答】解：根据题意，分 2 步进行分析：先从 20 名同学中选出 3 人，有 C 3种选法，再将选出的 3 人安排参加两科竞赛，需要先将三人分成 2 组，参加 2 科竞赛，有 C 2A 26 种情况，则有 6C 3种不同的选法；故 n6C 3，故选：B【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题5 / 13学习是一件很有意思的事二、填空题（8 道小题，每题 4 分，共 32 分）9【分析】要求 f（2）的值，先求出 f（2）值，根据函数是一个奇函数，得到两个函数值之间的互为相反数的 关系，即可得到结果【解答】解：f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）xx2，f（2）2222，f（2）f（2）2故答案为：2【点评】本题考查函数的奇偶性的应用，解题的过程中，一定要抓住函数的性质，利用函数奇偶性的对称性求 解，关键是奇偶性的运用10【分析】可看出，要使得原函数有意义，需满足 ，解出 x 的范围即可【解答】解：要使原函数有意义，则 ，解得 x0 或 x1，原函数的定义域为（，0）（1，+）故答案为：（，0）（1，+）【点评】本题考查了函数定义域的定义及求法，对数函数的定义域，分式不等式的解法，考查了计算能力，属 于基础题11【分析】设 za+bi（a，bR），代入 2z+1+i，整理后利用复数相等的条件列式求得 a，b 的值，则答案 可求【解答】解：设 za+bi（a，bR），由 2z+1+i，得 abi2（a+bi）+1+i（2a+1）+（2b+1）i， ，即 a1，b z 故答案为：1 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数相等的条件，是基础题 12【分析】由题意利用排列数、组合数公式，求出 n 的值【解答】解：若 ，则 6n（n1）（n2），求得 n5，6 / 135 5 5 学习是一件很有意思的事故答案为：5【点评】本题主要考查排列数、组合数公式的应用，属于基础题13【分析】写出二项展开式的通项，由 x 的指数为 0 求得 r 值，则常数项可求【解答】解：由令 62r0，得 r3， ，二项项式（x ）6的展开式中的常数项的值为故答案为：160【点评】本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题14【分析】写出一个定义域和值域均为2，1的函数即可【解答】解：定义域和值域均为2，1的函数为：y3x，x2，1故答案为：y3x，x2，1【点评】本题考查了函数的定义域和值域的定义，考查了计算能力，属于基础题15【分析】对于第一空：由排列数公式计算可得答案，对于第二空：分 3 种情况讨论：5 把都可以打开贴有相同标签的锁，即 5 个标签全部贴对，5 把钥匙中有 3 把可以打开贴有相同标签的锁，即有 3 个标签贴对，5 把钥匙中有 2 把可以打开贴有相同标签的锁，即有 2 个标签贴对，由加法原理计算可得答案【解答】解：根据题意，现给这 5 把钥匙也贴上编号为 1，2，3，4，5 的五个标签，则有 A 5 标签的方法：若这 5 把钥匙中至少有 2 把能打开贴有相同标签的锁，分 3 种情况讨论：5 把都可以打开贴有相同标签的锁，即 5 个标签全部贴对，有 1 种贴标签的方法；120 种不同的贴5 把钥匙中有 3 把可以打开贴有相同标签的锁，即有 3 个标签贴对，有 C 310 种贴标签的方法；5 把钥匙中有 2 把可以打开贴有相同标签的锁，即有 2 个标签贴对，有 2C 220 种贴标签的方法； 则一共有 1+10+2031 种贴标签的方法；故答案为：120，31【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题16【分析】根据对勾函数的图象与性质，即可判断各命题的真假【解答】解：作出函数 yx+ 的图象，如图所示：7 / 131 21 21 21 21 21 1 1 1 2学习是一件很有意思的事当 x0 时，x+ 2，因为直线 yt（t0）与函数 所以 t2，正确；的图象有两个不同的交点，不妨设 x x ，lnx +lnx 0，错误；，化简可得 x x 1，x +x 2|x x |x 0x 1，2，正确；|，x 0，即|x x |的取值范围是（0，+），正确故答案为：【点评】本题主要考查函数的性质应用，基本不等式的应用，两函数图象的交点横坐标与方程的根之间的关系 应用，属于中档题三、解答题（4 道小题，共 36 分）17【分析】（1）求出 f（x）的导数，然后求出斜率，最后利用点斜式求出切线方程；（2）直接求导数，然后解一个一元二次不等式即可8 / 131 12 21 1 2 2学习是一件很有意思的事【解答】解：（1） （定义域（0，+）f（1）2，f（1）1，所以切线方程为 y12（x1），即 y2x1（2）不等式为 ，所以 2x23x+10（x0）解此不等式得 x1 或 ，且 x0所以 f（x）2 的解集为 【点评】本题考查利用导数求切线的基本思路，一元二次不等式的解法，同时考查学生的运算能力属于中档 题18【分析】（1）先联立直线、抛物线方程，消去 y 得到关于 x 的一元二次方程，利用韦达定理结合 A、B 两点 处的导数积为1，即可求出 a 的值；（2）先表示出 A、B 两点处的切线方程，然后解出交点的横坐标即可【解答】解：（1）由 ，消去 y 得：ax2kx10，显然 a0又直线与抛物线交于两点 A（x ，y ），B（x ，y ），所以对 yax2求导得 y2ax，所以两条切线的斜率分别为 k 2ax ，k 2ax 因为两条切线互相垂直，所以，所以 （2）由题意知切点分别为： ， ，所以两条切线的方程分别为；和联立解方程组得：交点的横坐标为： 【点评】本题考查导数的几何意义，切线方程的求法，以及利用方程思想解决问题的能力属于中档题 19【分析】（1）利用已知条件求出 a；结合离心率求出 c，然后求解 b，即可得到椭圆方程9 / 130 00 00 00 0K n n 1 2 （2）学习是一件很有意思的事是定值设 A（x ，y ），B（x ，y ），求出直线 CA 的方程求出 D，E 坐标，利用向量的数量积转化求解即可【解答】解：（1）椭圆离心率为 ，点 G（0，2）与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形，所以 a2；离心率为 ，所以 cea1； 椭圆方程为 （2）是定值设 A（x ，y ），B（x ，y ），则直线 CA 的方程为 将 y0 代入，解得 ，即 同理，解得 ，将代入上式，得 所以 GDGE，即证【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是难题20【分析】（1）直接利用数列的关系式的变换求出列为单调递减数列，最后归纳出数列的通项公式（2）利用（1）归纳出的通项公式和存在性问题的应用求出存在 KN*，使得 b 0.8【解答】解：（1）由于：数列b ：所有 nN*，都定义 b （n2），进一步确定数所以所以 a 1，a 0，10 / 13n +1 1 2 n1 m K +1K +1K K学习是一件很有意思的事，所以 na a +a + a ，归纳可知 所以 （2）证明：因为 b 00.8 且 b 0.8，所以存在 K 使得即 ，即两式相减得 5a 4，所以 a 1再代入上式，得 ，即 5S 4K1因为，所以 5S 4K所以 【点评】别提考查：数列的单调性，数列的通项公式的求法，存在性问题的应用，主要考查学生的运算能力和 转换能力及思维能力，属于中档题型11 / 13学习是一件很有意思的事坚持希望一天，一个瞎子和一个瘸子结伴去寻找那种仙果，他们一直走呀走，途中他们翻山越岭。历经千辛 万苦，头发开始斑白。有一天，那瘸子对瞎子说：“天哪！这样下去哪有尽头？我不干了，受不了了。 “老兄，我相信不远了，会找到的，只要心中存有希望，会找到的。”瞎子却说。可瘸子执意要留在途 中的山寨中，瞎子便一个人上路了。由于瞎子看不见，不知道该走向何处，他碰到人便问，人们也好心地指引他，他身上捉襟见肘，遍 体鳞伤，可他心中的希望未曾改变。终于有一天，他到达了那座山，他全力以赴向上爬，快到山顶的时候，他感觉自己浑身充满了力 量，像年轻了几十岁，他向身旁摸索，便摸到了果子一样的东西，放在嘴里咬一口，天哪！他复明了， 什么都看见了，绿绿的树木，花儿鲜艳，小溪清澈。果子长满了山坡，他朝溪水俯身看去，自己竞变成 了一个英俊年轻的小伙子！准备离去的时候，他没有忘记替同行而来的瘸子带上两个仙果，到山寨的时候，他看到瘸子拄着 拐棍，变成了一个头发花白的老头，瘸子认不出他了，因为他已是一个年轻的小伙子。可当他们相认 后，瘸子吃下那果子，却丝毫未起任何变化，他们终于知道，只有自己的行动，才能换来成功和幸 福。所谓成功，我们要心存希望，要勇往直前，要坚持，要有毅力，那么，成功早晚属于你。12 / 13学习是一件很有意思的事一饭千金帮助汉高祖打平天下的大将韩信，在未得志时，境况很是困苦。那时候，他时常往城下钓鱼，希望碰着好运 气，便可以解决生活。但是，这究竟不是可靠的办法，因此，时常要饿着肚子。幸而在他时常钓鱼的地方，有很 多漂母（清洗丝棉絮或旧衣布的老婆婆）在河边作工的，其中有一个漂母，很同情韩信的遭遇，便不断的救济 他，给他饭吃。韩信在艰难困苦中，得到那位以勤劳克苦仅能以双手勉强糊口的漂母的恩惠，很是感激她，便对 她说，将来必定要重重的报答她。那漂母听了韩信的话，很是不高兴，表示并不希望韩信将来报答她的。后来， 韩信替汉王立了不少功劳，被封为楚王，他想起从前曾受过漂母的恩惠，便命从人送酒菜给她吃，更送给她黄金 一千两来答谢她。这句成语就是出于这个故事的。它的意思是说：受人的恩惠，切莫忘记，虽然所受的恩惠很是微小，但在困 难时，即使一点点帮助也是很可贵的；到我们有能力时，应该重重地报答施惠的人才是合理。【感恩小结】感恩，是结草衔环，是滴水之恩涌泉相报。感恩，是一种美德，是一种境界。感恩，是值得你用一生去等待的一次宝贵机遇。感恩，是值得你用一生去完成的一次世纪壮举。感恩，是值得你用一生去珍视的一次爱的教育。感恩，不是为求得心理平衡的喧闹的片刻答谢，而是发自内心的无言的永恒回报。感恩，让生活充满阳光，让世界充满温馨13 / 13