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2 2一、选择题1已知点G是ABC的重心，AG =lAB +mAC (l,mR)，若A =120 ,AB AC =-2,则 AG 的最小值是（ ）A33B22C12D232若向量 a ， b 满足|a|= 10 ， b=（2，1）， ab=5，则 a 与 b 的夹角为（ ）A90 B60 C45 D303ABC中， AD =DC ，点 M 在 BD 上，且满足AM =37AB +t AC，则实数 t 的值为（ ）A67B47C27D594在ABC 中，M 是 BC 的中点若 AB a ， BC b ，则 AM ( )A12( a +b )B12( a -b )C12a +bDa +12b5已知ABC，若对任意 m R，BC -mBA CA恒成立，则ABC为（ ）A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D不确定6在空间直角坐标系中， A(3,3,0) ， B (0,0,1) ，点 P ( a ,1, c )在直线 AB 上，则 （ ）Aa =1, c =13Ba =1, c =23Ca =2, c =13Da =2, c =237在ABC中， D 是BC的中点， E 是 AD 的中点，那么下列各式中正确的是（ ）A DB =DCB AD =2 DEC AB +AC =2 AD D AB -AC =BC8已知 a ， b 为单位向量，a +b =2 a -b，则 a 在 a +b上的投影为（ ）A13B -2 63C63D2 239已知向量1 3 AB = , ， AC =5， AB BC =3 ，则BC =（ ）A3B 3 2C4 D 4 210在DABC中， D 为BC边上一点，且 AD BC ，向量 AB +AC 与向量 AD共线，若AC = 10 ， BC =2 ， GA +GB +GC =0 ，则ABCG=（ ）A3 B 5C2D1020,2 0,3 - ,03 11 ABC 中，点 D 在线段 BC 的延长线上，且 BC =3CD ，点O在线段CD上(与点C， D 不重合)，若AO =xAB +(1-x)AC，则 x 的取值范围是（ ）AC 1 1 - ,0 2 BD 1 1 p12在 ABC 中， BAC = ，2PA (PB+PC)的最小值为（ ）AB =AC =2 ， P 为 ABC 所在平面上任意一点，则A1 B-12C1 D-2二、填空题 13如图，已知四边形ABCD， AD CD ， AC BC ， E 是 AB 的中点， CE =1 ，若AD /CE，则 AC BD的最小值为_.14记集合 X = x | b =a +xc且 | a +b | +| a -b |=4中所有元素的绝对值之和为S ( a , c )，其中平面向量 a ， b ，c不共线，且| a |=|c |=1，则S ( a , c )的取值范围是_15圆 O 为 ABC 的外接圆，半径为 2，若 AB +AC =2 AO ，且 在向量 BC 方向上的投影为_.BAOA = AC，则向量16向量 a , b 满足 _a =(1, 3), b =2,( a +b ) (3a -b ) =12，则 a 在 b 方向上的投影为17已知向量 a =2 ， b =1 ， a -2b =2 3，则向量 a ， b 的夹角为_.18已知向量 a =(2,1)， b =( x, y -1)，且a b，若 x ， y 均为正数，则2 1+x y的最小值是_.19已知 O 为 ABC 内一点，且满足 OA +3OB +5OC =0 ，延长 AO 交 BC 于点 D .若BD =lDC，则l=_.20设向量 a ， b ， c ，满足a = b =1，a b=-12， a -c与 b -c的夹角为 60，则 cq b m n m 的最大值等于_ 三、解答题21已知向量AB =(3,-1),AC=(1,-2).（1）求向量 AB 与 AC 的夹角 ；（2）若 (AB+AC )(lAB-AC)，求实数l的值.22已知a =(3,0)， b =(1, 3) （）求 a b和 的值；（）当k ( k R )为何值时，向量 a 与 a +kb 互相垂直？23在 DABC 中，内角A, B, C所对的边分别为a , b, c，向量m =(sinB+sinC,sin A +sinB ),n=(sinB-sinC,sin A （1）求角 C 的大小；)，且 m n .（2）若 c =3 ，求2a +b的取值范围.24已知a =(3,-2)，b=(2,1)，O为坐标原点.（1）若 ma +b 与 a -2b 的夹角为钝角，求实数 的取值范围；（2）设 OA =a ， OB =b ，求 OAB的面积.25已知A (x,2)，B(2,3)，C(-2,5).（1）若 x =1 ，判断 ABC 的形状，并给出证明； （2）求实数 x 的值，使得 CA +CB 最小；（3）若存在实数 l，使得 CA =lCB ，求 x 、 l的值.26已知 AB =( -1,3), BC =(3, m ), CD =(1,n ), AD / / BC （1）求实数 的值；（2）若 AC BD ，求实数 的值【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、选择题1D解析：D【分析】先根据重心得到AG =13(AB+AC )，设AB =x 0, AC =y 0，利用数量积计算2 2 12 1 1 ( )( ) 2 2 xy =4，再利用重要不等式求解AG =19(AB+AC )2的最小值，即得结果.【详解】点 G 是 ABC 的重心，设 D 为 BC 边上的中点，则 AG =AD = (AB+AC )， 3 3因为 A =120 ,AB AC =-2,设AB =x 0, AC =y 0 ，则 xy cos120 =-2，即xy =4 ，故 AG =19(AB+AC )2=4 2x +y -4 2 xy -4 = ，即 AG ， 9 9 9 3当且仅当x =y =2时等号成立，故 AG 的最小值是23.故选：D.【点睛】 关键点点睛：本题的解题关键在于通过重心求得向量关系AG =13(AB+AC )，利用数量积得到定值，才能利用重要不等式求最值，突破难点，要注意取条件的成立. 2C解析：C【详解】由题意可得b =( -2)2 +12= 5,所以cos a , b =a b 5 2 = =a b 5 2 2,又因为0 ,180 ,所以 =45 ,选 C.3C解析：C【分析】由题意，可设 DM =k DB ，结合条件整理可得AM =1 1AC +DM = (1-k ) AC +k AB 2 2，得到关于k与 t 的方程组，解出 t 即可【详解】如图，因为 AD =DC ，所以AD =12AC则AM =AD +DM =12AC +DM，因为 M 在 BD上，不妨设DM =k DB =k ( AB -AD ) =k ( AB -12AC )，则AM =1 1 1 1AC +DM = AC +k ( AB - AC ) = (1-k ) AC +k AB 2 2 2 2，因为AM =37AB +t AC，3k =7 2 所以 ，解得 t = ，1 7 (1-k ) =t2故选：C【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应用，意在考查学生对 这些知识的理解掌握水平4D解析：D【分析】根据向量的加法的几何意义即可求得结果.【详解】在 DABC 中，M 是 BC 的中点，又 AB =a , BC =b ，所以AM =AB +BM =AB +1 1 BC =a + b2 2，故选 D.【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的加法运算，属于简单题目. 5C解析：C【分析】在直线 AB【详解】在直线 AB上取一点 D ，根据向量减法运算可得到 DC CA ，由垂线段最短可确定结论.上取一点 D ，使得 mBA =BD ，则 BC -mBA =BC -BD =DC ， DC CA.对于任意 m R ，都有不等式成立，由垂线段最短可知： AC AD ，即 AC AB ， ABC为直角三角形.故选：C.【点睛】本题考查与平面向量结合的三角形形状的判断，关键是能够利用平面向量数乘运算和减法 运算的几何意义准确化简不等式.6B解析：B【解析】 点 P(a,1,c)在直线 AB 上， 存在实数 使得AB =lBP ，(0,0,1)-(3,3,0)=l(a,1,c-1)，化为(-3,-3,1)=(la,l,lc-l)，-3 =la -3 =l 1 =lc-ll =-3 a =1,解得 .2c =3本题选择 B 选项. 7C解析：C【解析】依题意ABC如图所示： D 是BC的中点DB =CD ，故 A 错误E是 AD的中点，故 B 错误AD =2 EDAB =AD +DB ， AC =AD +DCAB +AC =AD +DB +AD +DC =2 AD ，故C正确 AB -AC =AD +DB -( AD +DC ) =DB -DC =CB 故选 C8C解析：C【分析】，故 D 错误2 6AC =5( ) 2 2 2 2 2 2 2 2由题意结合平面向量数量积的运算可得a b=13，进而可得a (a+b)、a+b，代入投影表达式即可得解.【详解】因为 a ， b 为单位向量，所以a = b =1，又a +b =2 a -b，所以(a+b)2=2 (a-b)2所以 a2+2 a b+b2=2a2-4a b+2b2，即 1 +2 a b+1=2 -4 a b+2 ，所以a b=13，则 a +b =(a+b)2= ， a (a+b)=a32+a b=43，所以a在 a +b上的投影为a (a+ba +b)=432 6=63.3故选：C.【点睛】本题考查了平面向量数量积的应用，考查了一个向量在另一个向量上投影的求解，属于中 档题.9B解析：B【分析】首先设出点 A（0,0）、C（x，y）的坐标，由已知条件 ， AB BC =3 列出关于x、y 的方程组，然后根据向量的差的计算性质表示出向量 BC 的坐标形式，并表示出向量BC 的模，将以上列出的关于 x、y 的式子整体带入即可求得 【详解】C (x,y )设 A(0,0) ,BC =AC -AB1 3 = x, y - , 1 3 =x- , y - AB BC =31 3 1 3 , x-, y - =3 即 x + 3 y =8（1）BC.2 2 2 10y x , y又AC =5 x2+y2=25（2）1 3 BC = ( x - ) +y- 2 22= x2+y2-( x + 3 y ) +1将（1）（2）代入上式解得：BC = 25 -8 +1 =3 2故选 B【点睛】本题考查了向量的坐标运算以及向量模的计算，其中考查了整体代换的思想方法，属于中 档题目，计算中选择合适的解题方法，尽量要避免通过解方程求解点 C 的坐标然后再求解 向量 BC 的模，否则就会大大的增加计算量，甚至出现解题错误.10B解析：B【解析】取 BC 的中点 E，则 AB +AC =2 AE 与向量 AD共线，所以 A、D、E 三点共线，即DABC中 BC 边上的中线与高线重合，则AB = AC = 10.因为 GA +GB +GC =0 ，所以 G 为DABC的重心，则BCGA =2 GE = AC -( ) 2 =2.3 2所以CE =1, CG = 12 +12=AB2, = = 5. CG 2本题选择 B 选项. 11D解析：D【分析】设 CO =yBC ，则AO =AC +CO =AC +yBC =-yAB +(1+y)AC，根据BC =3CD 得出 的范围，再结合AO =xAB +(1-x)AC得到 的关系，从而得出x的取值范围. 【详解】 设 CO =yBC ，则AO =AC +CO =AC +yBC =AC +y (AC-AB )=-yAB+(1+y)AC,因为 BC =3CD ，点O在线段CD上(与点 C，D 不重合)， x , y1 1 ( )所以 1 y 0, 3 ，又因为AO =xAB +(1-x)AC，所以x =-y，所以 1 x - ,0 3 .故选：D【点睛】本题考查平面向量基本定理及向量的线性运算，考查利用向量关系式求参数的取值范围问 题，难度一般.12C解析：C【分析】以AB , AC为 建立平面直角坐标系，设P ( x , y )，把向量的数量积用坐标表示后可得最小值【详解】如图，以 AB , AC 为 x, y 建立平面直角坐标系，则A(0,0), B (2,0), C (0,2) ，设 P ( x, y )，PA =( -x, -y) ， PB =(2 -x , -y ) ， PC =( -x, 2 -y ) ， PB +PC =(2 -2 x , 2 -2 y ) ( ) PA PB +PC =-x(2 -2 x ) -y (2 -2 y ) =2 x 2 -2 x +2 y 2 -2 y，1 1 =2( x - ) 2 +2( y - )2 22-1， 当 x = , y = 时， PA PB +PC 取得最小值 -1 2 2故选：C【点睛】本题考查向量的数量积，解题方法是建立平面直角坐标系，把向量的数量积转化为坐标表 示二、填空题13【分析】令结合题中已知条件得出通过根据数量积的概念以及二次函数的 2 q 性质可得结果【详解】令因为所以又因为是的中点所以故可得所以当时取得最 小值故答案为：【点睛】关键点点睛：将表示成根据几何关系将所需量用表 解析： -1【分析】p p令 ACD =q，结合题中已知条件得出 CAD = -q，CAB = -q，2 2AC =2sin q， AD =2sin 2 q，通过 AC BD =AC (BA+AD)，根据数量积的概念以 及二次函数的性质可得结果.【详解】令 ACD =q，因为 AD CD ， AC BC ， AD /CE，所以 BCE =q，ACE =CAD =p2-q，又因为 E 是 AB 的中点， CE =1 ，所以 AB =2 ， CE =1 ，CBA =q，CAB =p2-q，故可得 AC =2sin q， AD =2sin 2 q，所以 AC BD =AC (BA+AD)=ACBA+ACAD=2sinq2cos p p p- +q +2sin q2sin 2 qcos -q =4sin 2 2 2q-4sin2q=4 sin2q1 - -1，2 当sin2 q=12时， AC BD 取得最小值 -1，故答案为： -1. 【点睛】关键点点睛：将 BD表示成 BA +AD ，根据几何关系将所需量用 表示，将最后结果表示为关于q的函数.14【分析】由条件有两边平方可得当时当时可得答案【详解】解：因为所以 所以两边平方得化简得设向量的夹角为则当时当时所以集合中所有元素的绝对 值之和为因为所以所以所以所以的取值范围为【点睛】关键点点睛：此题考解析：3,4)【分析】由条件有 | 2 a +xc | +| xc |=|2 a +xc | +| x |=4，两边平方可得xa c=3 - x，当x 0时，x =32 +cosq，当3x 0 时， x = ，可得答案cos q -2【详解】解：因为 | a +b | +| a -b |=4 ， b =a +xc ， 所以 | 2a +xc | +| xc |=|2 a +xc | +| x |=4 ，| a |=|c |=1所以 | 2 a +xc |=4 -| x |，两边平方得，4 +4 xa c+x2 =16 -8 x +x 2，化简得，xa c=3 - x，设向量 a , c的夹角为q，q(0, p)，则x cosq =3 -2 x，当 x 0时，x =32 +cosq，当x 0时，x =cos3q-2，所以集合 X 中所有元素的绝对值之和为3 3 12+ =2 +cos q 2 -cos q 4 -cos 2 q，因为q(0,p)，所以 0 cos2 q1 ，所以 3 4 -cos2 q4 ，所以3 124 -cos2q4，所以S ( a , c )的取值范围为3,4)【点睛】关键点点睛：此题考查向量数量积的性质的运用，解题的关键是由已知条件得到xa c=3 - x，然后设出向量 a , c的夹角为 q，则当 x 0 时， x =32 +cosq，当x 0时，x =cos3q-2，从而可得集合 X 中所有元素的绝对值之和为3 3 12+ =2 +cos q 2 -cos q 4 -cos2q，再利用三角函数的有界性可求得结果，考查数学转化思想153【分析】根据向量关系即可确定的形状再根据向量投影的计算公式即可求 得结果【详解】因为圆 O 为 ABC 的外接圆半径为 2 若故可得是以角为直角的 直角三角形又因为且外接圆半径是故可得则故向量在向量方向上的投影 解析：3【分析】根据向量关系，即可确定ABC的形状，再根据向量投影的计算公式，即可求得结果.【详解】因为圆 O ABC 的外接圆，半径为 2，若 AB +AC =2 AO ，故可得ABC是以角 A为直角的直角三角形.又因为 OA = AC ，且外接圆半径是 2，故可得BC =2OA =2 AC =4，cos aa cos q2 2则 AB = BC 2 -AC 2 =2 3， cos ABC =AB 3= ，BC 2故向量 BA 在向量 BC 方向上的投影为 AB cosABC=2 3 32=3 .故答案为： 3 .【点睛】本题考查向量数量积的几何意义，属中档题.16【解析】分析：先通过已知条件求出的值再求在方向上的投影详解：因为 所以所以在方向上的投影为故答案为 1 点睛：（1）本题主要考查向量的运算和 数量积考查向量的投影意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本运 解析：【解析】分析：先通过已知条件求出 的值，再求a在 b 方向上的投影.详解：因为(a+b)(3a-b)=12，所以3a2 -b 2+2 a b=12,12 -4 +2 2 2 cosa =12, cosa =12.所以a在 b 方向上的投影为1a cos a =2 ( ) =12，故答案为 1.点睛：（1）本题主要考查向量的运算和数量积，考查向量的投影，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本运算能力.(2)a cosq叫做向量 a 在 b 上的“投影”， 向量 a 在向量b 上的投影 ，它表示向量 a 在向量 b 上的投影对应的有向线段的数量它是一个 实数，可以是正数，可以是负数，也可以是零17【分析】已知式平方后求得再由数量积的定义可得夹角【详解】由得 故答案为：【点睛】本题考查求向量的夹角解题关键是掌握向量的模与 数量积的关系由模求得数量积后可得解析：2p3【分析】已知式a -2b =2 3平方后求得 a b，再由数量积的定义可得夹角【详解】由a -2b =2 3得 ( a -2b)2=a -4a b+4b =4 -4a b+4 =12 ， a b =-1，a b cos =2cos =-1， cos =-12，=2p3故答案为：【点睛】2p3( x y( ) l , k本题考查求向量的夹角，解题关键是掌握向量的模与数量积的关系，由模求得数量积后可 得189【分析】根据可得然后根据利用基本不等式可求出最小值【详解】解：向 量且又均为正数当且仅当即时取等号的最小值为故答案为：【点睛】本题考查 了向量垂直和利用基本不等式求最值考查了方程思想和转化思想属于中档题 解析：9【分析】根据 a b ，可得2 x +y =1，然后根据2 1 2 1 + = + 2 x +y x y x y)利用基本不等式可求出最小值【详解】解：向量 a =(2,1)， b =( x, y -1)，且a ba b =2 x +1( y -1) =0 ， 2 x +y =1，又 ， 均为正数，2 1 2 1 2 y 2 x 2 y 2 x + = + 2 x +y =5 + + 5 +2 =9x y x y x y x y，当且仅当2 y 2 x=x y，即x =y =13时取等号，2 1 +x y的最小值为9故答案为： 9 【点睛】本题考查了向量垂直和利用基本不等式求最值，考查了方程思想和转化思想，属于中档 题19【分析】将已知条件转化为结合得到设列出关于的方程组由此求得【详 解】由于所以所以即因为即化简得设所以解得故答案为：【点睛】本小题主要 考查平面向量的基本定理考查平面向量的线性运算考查化归与转化的数学思想解析：53【分析】将已知条件转化为AO =1 5AB + AC3 9，结合 BD =lDC，得到AD =1 lAB + AC 1 +l 1 +l，设 AO =k AD ，列出关于 的方程组，由此求得l.【详解】由于 OA +3OB +5OC =0 ，所以 OA +3 (AB-AO )+5(AC-AO)=0， 1 5所以 9 AO =3 AB +5 AC ，即 AO = AB + AC3 9因为 BD =lDC ，即 AD -AB =l(AC-AD ),.化简得AD =1 lAB + AC 1 +l 1 +l，设AO =k AD =k k lAB + AC 1 +l 1 +l， k 1=1+l 3 5 所以 ，解得 l = .k l 5 3=1+l9故答案为：53【点睛】本小题主要考查平面向量的基本定理，考查平面向量的线性运算，考查化归与转化的数学 思想方法，属于中档题.20【分析】作向量根据已知条件可得出与的夹角为四点共圆再结合正余弦定 理可得出结果【详解】解：如下图作向量与的夹角为即又与的夹角为即与夹角 为四点共圆当为直径时最大在中由余弦定理得：的外接圆的直径为四点共圆 解析： 2【分析】作向量 OA =a ， OB =b ， OC =c ，根据已知条件可得出 a 与 b 的夹角为120， A，O ， B ， C 四点共圆，再结合正余弦定理可得出结果. 【详解】解：如下图，作向量 OA =a ， OB =b ， OC =c ，2 2 2CA =a -c ， CB =b -c ，a = b =1，a b=a b cos a, b =-12，a 与 b 的夹角为 120，即 AOB =120. AOB =120.又a -c与 b -c的夹角为60，即 CA 与 CB 夹角为60， A ， O ， B ， C 四点共圆.当OC为直径时c最大，在 AOB中，由余弦定理得：AB = OA +OB -2 OA OB cos120 =3， AB = 3. AOBAB的外接圆的直径为 =2 .sin120 A ， O ， B ， C 四点共圆的圆的直径为 2 . c的最大值为 2 .故答案为： 2 .【点睛】本题主要考查向量在几何图形中的应用，考查正余弦定理，考查数形结合的能力，分析问 题能力，属于中档题.三、解答题21（1）p 2 ；（2） 4 3【分析】（1）由向量的夹角公式计算可得答案； （2）由向量垂直的坐标表示可得答案. 【详解】b （1）因为向量AB =(3,-1),AC=(1,-2)，所以cos q =3 1+ (-1)(-2) 32 +(-1)212+(-2)2=22，又0 qp，所以q=p4.所以向量 AB与 AC 的夹角p4；（2）因为向量AB =(3,-1),AC=(1,-2)，所以AB +AC =(4，-3)，lAB-AC=(3l-1，-l+2)，又(AB+AC )(lAB -AC )，则4(3l-1)+(-3)(-l+2)=0，解得l=23，所以实数 l 的值为【点睛】23.方法点睛：设 a=( x , y ) , = ( x , y ) 1 1 2 2，则 a /b x y -x y =01 2 2 1，a b x x +y y =01 2 1 2.22（） a b=3 ， b 2；（） k =-3 【分析】（）根据数量积与模的坐标表示计算； （）由向量垂直的坐标表示求解 【详解】（）由题意 a b=3 1+0 3 =3 ；b = 12+( 3)2=2，（） a +kb =(3 +k , 3k )因为向量 a 与 a +kb 互相垂直， 所以 a (a +kb ) =3(3 +k ) =0 ，解得k =-3【点睛】本题考查向量数量积与模的坐标表示，考查向量垂直的坐标表示，属于基础题23（1）C =2p3；（2）(3，2 3).【分析】（1）根据向量m n得到sin 2 B -sin 2 C +(sin A +sin B )sin B =0，再由正弦定理将边化为角的表达式，结合余弦定理求得角 C 的值 （2）利用正弦定理求 ABC 的外接圆半径，将2a +b表示成 A 与 B 的三角函数式，利用辅助角公式化为角 A 的函数表达式；再由角 A 的取值范围求得 【详解】2a +b的范围 p p 0,3 ,6 6 2 - , （1） m nm n=0 sin 2 B -sin 2 C +(sin A +sin B )sin B =0c 2 =a 2 +b 2 +abcos C =-12又C (0,p).C =2p3.（2）C =2p3， c = 3 ABC 外接圆直径 2R=22 a +b =4sin A +2sin B=4sin A +2sin -A3 =4sin A + 3 cos A -sin A =3sin A + 3 cos A=2 3 sin A + 6 A p A +p pp p 1 sin A + ,1 6 2 2a +b 的取值范围是(3, 2 3).【点睛】本题考查了向量垂直的坐标表示，正弦定理、余弦定理的综合应用，辅助角公式化简三角 函数表达式，知识点多，较为综合，属于中档题24（1） -,-1 1 6 2 2 5 7 ；（2） S = .2【分析】（1）由题意，求得 ma +b , a -2b的坐标，令(ma+b)(a-2b)0，解得m 65，再由当m =-12时，得到 a -2b 与 ma +b 方向相反，求得m -12，即可求解；（2）设AOB =q，OAB面积为 S ，则S =12a b sinq，结合向量的夹角公式和向量的坐标运算，即可求解. 【详解】p m - , 2 2（1）由题意，向量 a =(3,-2)，b=(2,1)，可得ma +b =(3m+2,-2m +1)，a -2b =(-1,-4)，令(ma+b)(a-2b)0，即-3m -2 +8m -4 0 ，解得 m 65，当m =-12时，1 ma +b =- a +b2，此时 a -2b与ma +b方向相反，夹角为 ，不合题意，m -12，综上可得，实数 的取值范围为 -,-1 1 6 2 2 5 .（2）设 AOB =q， OAB面积为 S ，则S =12a b sinq，因为sin 2 q=1-cos 2 q=1-a ba b2，又由 a =(3,-2)，b=(2,1)，可得4S2= a b sin2q= a 2 b 2 -(ab)2=65 -16 =49 ，解得 S =72，即 OAB的面积为S=OAB72.【点睛】本题主要考查了向量的角公式，向量的数量积的坐标运算的综合应用，其中解答中熟记向 量的基本概念，以及向量的数量积和夹角公式的坐标运算是解答的关键，着重考查推理与 运算能力.25（1）DABC为直角三角形；（2）5；（3）x =4, l =32.【分析】（1）根据已知点的坐标求出向量的坐标，然后利用向量数量积为 0，即可证明；（2）根据题意可得CA +CB =(x+6,-5)，再利用向量的模的运算以及二次函数求得最值；（3）利用向量共线可得方程组，解得即可. 【详解】（1）当 x =1 时， DABC 为直角三角形.证明如下：当 x =1 时，由A (1,2)，B(2,3)，C(-2,5)，则AC =(-3,3)，AB=(1,1)，此时 AC AB =-31+31=0 ，即 AC AB ，即 DABC所以，为直角三角形.A =p2， n nm （2）由题意，CA =(x+2,-3)，CB=(4,-2)，则CA+CB =(x+6,-5)，所以， CA +CB =(x+6)2+255，当且仅当 x =-6时取等号.故当 x =-6时，CA +CB取得最小值为5.（3）由题意，CA =(x+2,-3)，CB =(4,-2)，因 CA =lCB ，所以 x =4x +2 =4l ，解得 3 . -3 =-2l l = 2【点睛】本题考查平面向量的坐标运算及数量积运算，考查了向量共线，训练了利用配方法求函数 的最值，属于基础题.26（1）n =-3；（2）m =1.【解析】试题分析：（1）利用向量 AD / / BC ，建立关于 的方程，即可求解 的值；（2）写出 向量 AC , BD 的坐标，利用 AC BD 得出关于 的方程，即可求解实数 的值. 试题（1）AB =( -1,3), BC =(3, m ), CD =(1,n), AD =AB +BC +CD =(3,3 +m +n ),AD / / BC 3(3 +m +n ) -3m =0 n =-3（2）由（1）得CD =(1,-3), AC =AB +BC =(2,3 +m ), BD =BC +CD =(4, m -3)AC BD 所以8 +(3 +m )(3 -m ) =0, m =1考点：向量的坐标运算.
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