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第二节古典概型与几何概型总纲目录教材研读1.基本事件的特点考点突破2.古典概型3.几何概型考点二几何概型考点二几何概型考点一古典概型1.基本事件的特点基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥互斥的.(2)任何事件(除不可能事件外)都可以表示成基本事件基本事件的和.教材研读教材研读2.古典概型古典概型(1)具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称为古典概型.(i)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个只有有限个.(ii)每个基本事件出现的可能性相等相等.(2)古典概型的概率公式:P(A)=.A包含的基本事件的个数基本事件的总数3.几何概型几何概型(1)如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.(2)几何概型中,事件A的概率计算公式为P(A)=.()()A构成事件 的区域长度 面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度 面积或体积1.甲、乙、丙三名同学站成一排,甲站在中间的概率是()A.B.C.D.16121323答案答案C甲、乙、丙三名同学站成一排共有如下6种情况:甲乙丙,甲丙乙,乙甲丙,乙丙甲,丙甲乙,丙乙甲,而甲站在中间的共有乙甲丙,丙甲乙两种情况,因此,甲站在中间的概率为=.2613C2.从1,2,3,4,5中随机选取一个数为a,从1,2,3中随机选取一个数为b,则ba的概率是()A.B.C.D.45352515答案答案D令选取的a,b组成实数对(a,b),则共有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3)15种情况,其中ba有(1,2),(1,3),(2,3)3种情况,所以ba的概率为=.故选D.31515D3.(2016北京海淀期末)如图,在边长为3的正方形内有区域A(阴影部分所示),张明同学用随机模拟的方法求区域A的面积.若每次在正方形内随机产生10000个点,并记录落在区域A内的点的个数.经过多次试验,计算出落在区域A内点的个数的平均值为6600个,则区域A的面积约为()A.5B.6C.7D.8答案答案B设区域A的面积约为S,根据题意有=,所以S=5.94,所以区域A的面积约为6.6600100003 3SB4.(2016课标全国,5,5分)小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是M,I,N中的一个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是()A.B.C.D.81518115130答案答案C小敏输入密码的前两位所有可能情况如下:(M,1),(M,2),(M,3),(M,4),(M,5),(I,1),(I,2),(I,3),(I,4),(I,5),(N,1),(N,2),(N,3),(N,4),(N,5),共15种.而能开机的密码只有一种,所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率为.115C5.(2015北京西城一模)在区间-2,1上随机取一个实数x,则x使不等式|x-1|1成立的概率为.答案答案13解析解析|x-1|1-1x-110 x2,在区间-2,1上使不等式|x-1|1成立的x的范围为0,1,故所求概率P=.101(2)1313典例典例1(2017北京海淀一模)某地区以“绿色出行”为宗旨开展“共享单车”业务.该地区出现a,b两种“共享单车”(以下简称a型车,b型车).某学习小组7名同学调查了该地区共享单车的使用情况.(1)某日该学习小组进行一次市场体验,其中4人租到a型车,3人租到b型车.如果从组内随机抽取2人,求抽取的2人中至少有一人在市场体验过程中租到a型车的概率;(2)根据已公布的2016年全年市场调查报告,小组同学发现3月,4月的用户租车情况呈现下表使用规律.例如:3月租用a型车的人中,在4月有60%的人仍租用a型车.考点一古典概型考点一古典概型考点突破考点突破3月4月租用a型车租用b型车租用a型车60%50%租用b型车40%50%若认为2017年该地区租用单车情况与2016年大致相同.已知2017年3月该地区租用a,b两种车型的用户比例为1 1,根据表格提供的信息,计算2017年4月该地区租用两种车型的用户比.解析解析(1)记租到a型车的4人分别为A1,A2,A3,A4;租到b型车的3人分别为B1,B2,B3.记事件A为“从7人中抽取2人,至少有一人租到a型车”,则事件为“从7人中抽取2人,都租到b型车”.从7人中抽出2人有A1A2,A1A3,A1A4,A1B1,A1B2,A1B3,A2A3,A2A4,A2B1,A2B2,A2B3,A3A4,A3B1,A3B2,A3B3,A4B1,A4B2,A4B3,B1B2,B1B3,B2B3,共21种情况,事件发生有B1B2,B1B3,B2B3共3种情况,所以P(A)=1-P()=1-=.(2)依题意,4月份租用a型车的百分比为50%60%+50%50%=55%,租用b型车的百分比为50%40%+50%50%=45%,AAA32167所以2017年4月该地区租用a,b型车的用户比为=.55%45%119规律总结规律总结解决关于古典概型的概率问题的关键是正确求出基本事件总数和所求事件中包含的基本事件数.(1)基本事件总数较少时,可用列举法把所有基本事件一一列出,但要做到不重复、不遗漏.(2)当所求事件含有“至少”“至多”或分类情况较多时,通常考虑用对立事件的概率公式P(A)=1-P()求解.A1-1(2018北京东城高三期末)“砥砺奋进的五年”,首都经济社会发展取得新成就.2012年以来,北京城乡居民收入稳步增长.随着扩大内需,促进消费等政策的出台,居民消费支出全面增长,消费结构持续优化升级,城乡居民人均可支配收入实际增速趋势图如图所示.(例如2012年北京城镇居民收入实际增速为7.3%,农村居民收入实际增速为8.2%)(1)从2012-2016五年中任选一年,求城镇居民收入实际增速大于7%的概率;(2)从2012-2016五年中任选两年,求至少有一年农村和城镇居民收入实际增速均超过7%的概率;(3)由图判断,从哪年开始连续三年农村居民收入实际增速方差最大?(不需证明)解析解析(1)设城镇居民收入实际增速大于7%为事件A,由题图可知,这五年中2012,2013,2014这三年城镇居民收入实际增速大于7%,所以P(A)=.(2)设至少有一年农村和城镇居民收入实际增速均超过7%为事件B,这五年中任选两年,有(2012,2013),(2012,2014),(2012,2015),(2012,2016),(2013,2014),(2013,2015),(2013,2016),(2014,2015),(2014,2016),(2015,2016)共10种情况,其中至少有一年农村和城镇居民收入实际增速均超过7%的为前9种情况,所以P(B)=.(3)从2014开始连续三年农村居民收入实际增速方差最大.35910典例典例2(1)某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是()A.B.C.D.(2)在等腰直角三角形ABC中,过直角顶点C在ACB内部任作一条射线CM,与AB交于点M,则AMAC的概率为.13122334考点二几何概型考点二几何概型命题角度一与长度、角度有关的几何概型命题角度一与长度、角度有关的几何概型解析解析(1)7:30的班车小明显然是坐不到的.当小明在7:50之后8:00之前到达,或者8:20之后8:30之前到达时,他等车的时间将不超过10分钟,故所求概率为=.故选B.(2)如图,过点C作CN交AB于点N,使AN=AC.显然当射线CM处于ACN内部时,AMAC.又A=45,所以ACN=67.5,故所求概率P=.10 10401267.59034答案答案(1)B(2)34典例典例3(2017课标全国,4,5分)如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是()A.B.C.D.148124命题角度二与面积有关的几何概型命题角度二与面积有关的几何概型B答案答案B解析解析本题考查几何概型.设正方形的边长为2,则正方形的内切圆的半径为1,其中黑色部分和白色部分关于正方形的中心对称,则黑色部分的面积为,所以在正方形内随机取一点,此点取自黑色部分的概率P=,故选B.222 28命题角度三与体积有关的几何概型命题角度三与体积有关的几何概型典例典例4在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点O为底面ABCD的中心,在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机取一点P,则点P到点O的距离大于1的概率为()A.B.1-C.D.1-121266解析解析点P到点O的距离大于1的点位于以O为球心,以1为半径的半球的外部.记点P到点O的距离大于1为事件A,则P(A)=1-.333142123212答案答案BB方法技巧方法技巧(1)设线段l是线段L的一部分,在线段L上任取一点,该点在线段l上的概率P=.(2)当涉及射线的转动时,应以角的大小作为区域度量来计算概率,而不能用线段的长度代替,这是两种不同的度量手段.(3)对于与面积有关的几何概型,解题的关键是对所求的事件A对应的平面区域形状的判断及面积的计算,基本方法是数形结合.(4)对于与体积有关的几何概型,解题的关键是计算相关空间几何体的体积,从而利用几何概型的概率计算公式求概率.lL的长度的长度2-1在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,点P为矩形ABCD内一点,则使得1的概率为()A.B.C.D.APAC18143478D答案答案D建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),C(2,1),则=(2,1),设P(x,y),则=(x,y),故=2x+y,故由题设可得2x+y1,则符合条件的点P所在区域是四边形EBCD及其内部.四边形EBCD的面积S=2-=,S矩形ABCD=2,故所求概率P=.故选D.ACAPAPAC1474742782-2如图,在半径为2R,弧长为R的扇形OAB中,以OA为直径作一个半圆.若在扇形OAB内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是()A.B.C.D.4338583478B答案答案B阴影部分的面积为S1=2R-R2=R2,扇形OAB的面积为S2=R2,所以在扇形OAB内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率P=.故选B.1243R12564312SS225643RR58
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