山东省潍坊市青州市2020届高三数学第三次模拟考试试卷 理（含解析）

山东省潍坊市青州市2020届高三数学第三次模拟考试试卷 理（含解析）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，若全集，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：根据对数函数的性质，求解，即，再根据集合补集的运算，即可求解.详解：由集合，即，又因为，所以，故选B.点睛：本题主要考查了集合的运算，其中正确求解集合，得到集合，再根据集合的补集运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.2.设是虚数单位，若复数（）是纯虚数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】解： ，由纯虚数的定义可得： .本题选择D选项.3.若，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：根据三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式，得，进而求得，即可求解答案.详解：由诱导公式得，平方得，则，所以，又因为，所以，所以，故选C.点睛：本题主要考查了三角函数的化简求值，其中解答中涉及到三角的诱导公式和三角函数的基本关系的灵活应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.4.设平面向量，则下列说法正确的是（ ）A. 是的充分不必要条件 B. 与的夹角为C. D. 与的夹角为【答案】D【解析】分析：由平面向量，且，解得，此时，进而可判断选项，得到答案.详解：由题意，平面向量，且，所以，解得，此时所以是垂直的充要条件，所以选项A不正确；，所以C不正确；由，则，所以向量与的夹角为，则，所以，故选D.点睛：本题主要考查了向量的坐标运算、向量垂直的条件，以及向量的模和向量的夹角公式等知识点，其中熟记向量的基本概念和基本的运算公式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.5.已知双曲线的离心率为，且经过点，则双曲线的实轴长为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：由题意双曲线的离心率为，得，把点，代入双曲线的方程，解得，即可得到答案.详解：由题意双曲线的离心率为，即，又由，即，所以双曲线的方程为，又因为双曲线过点，代入双曲线的方程，得，解得，所以双曲线的实轴长为，故选C.点睛：本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质，其中熟记双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.6.若，则二项式的展开式中的常数项为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：由题意，得到二项式的展开式的通项，即可求解展开式的常数项.详解：由题意，即二项式为，则展开式的通项为，当时，得到常数项为，故选A.点睛：本题主要考查了二项式定理的应用，其中数据二项展开式的通项公式是解答此类试题的关键，着重考查了推理与运算能力.7.如图所示程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的分别为，则输出的（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的的值.详解：由程序框图可知：输入，第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，； ，退出循环输出，输出因此输出的为，故选D.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：由给定的三视图得该几何体表示左侧是一个以边长为的正方形为底面，高为的四棱锥，右侧为一个值三棱柱，其底面如俯视图所示，高为的直三棱柱，即可求解其体积详解：由给定的三视图可知，该几何体表示左侧是一个以边长为的正方形为底面，高为的四棱锥，其体积为；右侧为一个值三棱柱，其底面如俯视图所示，高为的直三棱柱，其体积为，所以该几何体的体积为，故选B点睛：在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解9.已知，当时，均有则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：由题意知在上恒成立，令，结合图形，列出不等式组，即可求解实数的取值范围.详解：由题意，若当时，都有，即在上恒成立，令，由图象可知，若时，即，此时；若时，即，此时，所以，综上所述，实数的取值范围是，故选C.点睛：本题主要考查了指数函数的图象与性质的应用，其中将不等式转化为函数的图象之间的关系是解答的关键，着重考查了数形结合和转化与化归思想方法，.10.某旅行社租用两种型号的客车安排名客人旅行，两种车辆的载客量分别为人和人，租金分别为元/辆和元/辆，旅行社要求租车总数不超过辆，且型车不多于型车辆，则租金最少为（ ）A. 元 B. 元 C. 元 D. 元【答案】C【解析】设租A型车x辆，B型车y辆时租金为z元则z1600x2400yx、y满足画出可行域观察可知，直线过点A(5,12)时纵截距最小，zmin51 6002 4001236800，故租金最少为36800元选C.视频11.已知函数的图象经过点，在区间上为单调函数，且的图象向左平移个单位后与原来的图象重合，当，且时，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：由题意，求得的值，写出函数的解析式，求函数的对称轴，得到的值，再求解的值即可.详解：由函数的图象过点，所以，解得，所以，即，由的图象向左平移个单位后得，由两函数的图象完全重合，知，所以，又，所以，所以，所以，则其图象的对称轴为，当，其对称轴为，所以，所以，故选B.点睛：本题主要考查了三角函数的图象变换以及三角函数的图象与性质的应用问题，其中解答中根据题设条件得到函数的解析式，以及根据三角函数的对称性，求得的值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.12.已知点是曲线上任意一点，记直线（为坐标原点）的斜率为，则（ ）A. 存在点使得 B. 对于任意点都有C. 对于任意点都有 D. 至少存在两个点使得【答案】B【解析】分析：任取正实数，则直线的斜率为，利用的性质，逐一判定，即可求解.详解：任取正实数，则直线的斜率为，因为，又由成立，因为和中两个个等号成立条件不一样，所以恒成立，即恒成立，排除A；当时，则，排除C；对于D选项，至少存在两个点使得，即至少存在两解，即至少有两解，又因为恒成立，所以至多有一个解，排除D，综上所述，选项B是正确的，故选B.点睛：本题主要考查了函数性质的综合应用，以及直线的斜率公式，导数在函数中的应用，其中解答中根据题意构造函数，利用函数的单调性和最值求解是解答的关键，着重考查了转化思想和推理、论证能力.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知平面向量，则事件“”的概率为_【答案】【解析】分析：由题意得到点表示以为圆心，半径为的圆，其面积为，其中弓形的面积为，即可利用几何概型求解其概率.详解：由题意，平面向量，且，即，表示以为圆心，半径为的圆，其面积为，其中弓形的面积为，所以所求概率为.点睛：本题主要考查了几何概型及其概率的求解，其中根据题意得到相应的图形的面积是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.14.已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，为抛物线上任意一点，且满足，则_【答案】【解析】分析：由抛物线的定义可得，由，求得的值，即可求出锐角的大小.详解：由抛物线的方程，可得准线方程为，设，过点作垂直于抛物线的准线，为垂足，则由抛物线的定义可得，在中，由直角三角形的边角关系可得，则，所以.点睛：本题主要考查了抛物线的定义、标准方程及其简单的几何性质的应用，其中有直角三角形的边角关系可得是解答的关键和难点，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.15.如图所示，在平面四边形中，则_【答案】3【解析】分析：详解：设，在直角中，得，所以，在中，由余弦定理，由于，所以，即，整理得，解得.点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到16.在三棱锥中，底面为，且，斜边上的高为，三棱锥的外接球的直径是，若该外接球的表面积为，则三棱锥的体积的最大值为_【答案】【解析】分析：由题意,画出图形,设,把棱锥的体积用含有的代数式表示,然后利用二次函数求解,即可得到答案.详解：如图所示，由外接球的表面积为，可得外接球的半径为，则，设，则，又变式上的高，当平面时，棱锥的体积最大，此时，当时，体积最大，此时最大值为.点睛：本题考查了有关球的组合体问题，以及三棱锥的体积的求法，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，把球的体积表示关于的函数表达式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知等比数列的前项和为，满足，.(1)求的通项公式；(2)记，数列的前项和为，求证：.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）由题意可得,则，易得首项为.所以.（2）由（1）的结果可知，则，放缩之后裂项求和可得.试题解析：（1）设的公比为，由得，,所以，所以.又因为，所以，所以.所以.（2）由（1）知，所以，所以.点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的18.如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，为的中点.（1）求证：平面平面；（2），在线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为.请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）在处或处【解析】分析：（1）由平面平面，又由平面，平面，即，利用线面垂直的判定定理，证得平面，再由面面垂直的判定定理即可作出证明.（2）如图建立空间直角坐标系，设，求得平面和的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.详解：（1）平面平面，平面平面，平面，又平面，又，平面，平面，即，在中，为的中点，平面，又平面，平面平面（2）如图建立空间直角坐标系，设，则，设，因为，所以平面，故为平面平面的一个法向量设平面，且，则由得，由得，从而，解得，或，即在处或处.点睛：本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和二面角的求解与应用问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.19.某房产中介公司2020年9月1日正式开业，现对其每个月的二手房成交量进行统计，表示开业第个月的二手房成交量，得到统计表格如下：（1）统计中常用相关系数来衡量两个变量之间线性关系的强弱.统计学认为，对于变量，如果，那么相关性很强；如果，那么相关性一般；如果，那么相关性较弱.通过散点图初步分析可用线性回归模型拟合与的关系.计算的相关系数，并回答是否可以认为两个变量具有很强的线性相关关系（计算结果精确到0.01）（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程（计算结果精确到0.01），并预测该房产中介公司2020年6月份的二手房成交量（计算结果四舍五入取整数）.（3）该房产中介为增加业绩，决定针对二手房成交客户开展抽奖活动.若抽中“一等奖”获6千元奖金；抽中“二等奖”获3千元奖金；抽中“祝您平安”，则没有奖金.已知一次抽奖活动中获得“一等奖”的概率为，获得“二等奖”的概率为，现有甲、乙两个客户参与抽奖活动，假设他们是否中奖相互独立，求此二人所获奖金总额（千元）的分布列及数学期望.参考数据：，.参考公式：【答案】（1）相关性很强，（2）（3）见解析【解析】分析：（1）根据相关系式公式，即可求解相关系数，并作出判断；（2）计算回归系数得出回归方程，再根据回归方程估计成交量，即可作答；（3）根据相互独立事件的概率计算随机变量的各种可能取值对应的概率，从而得出分布列，求解数学期望详解：（1）依题意：， . 因为，所以变量线性相关性很强. （2） ， ，则关于的线性回归方程为. 当，所以预计2020年6月份的二手房成交量为. （3）二人所获奖金总额的所有可能取值有、千元. ，. 所以，奖金总额的分布列如下表：036912千元.点睛：本题主要考查统计知识的应用以及回归直线方程的应用和随机变量的分布列和数学期望，解答本题，首先要准确确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数，再利用二项何分布的概率公式，求得概率，得到分布列和求得数学期望，本题属中等难度的题目，计算量不是很大，能很好的考查考生数学应用意识、基本运算求解能力等.20.设椭圆的右焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 .（1）求椭圆的方程;（2）若上存在两点，椭圆上存在两个点满足：三点共线，三点共线，且，求四边形的面积的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】【详解】分析：（1）由题意可知及，即可求得和的值，求得椭圆的标准方程；（2）讨论直线的斜率不存在，求得弦长，求得四边形的面积；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立方程组，运用韦达定理和弦长公式，以及四边形的面积公式，计算即可求得最小值.详解：（1）过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为，离心率为，又，解得，椭圆的方程为（2）（i）当直线的斜率不存在时，直线的斜率为，此时，（ii）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立，得，设的横坐标分别为，则，由可得直线的方程为，联立椭圆的方程，消去，得设的横坐标为，则 ，令，则 ，综上点睛：本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常利用的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.21.已知(1)求的单调区间;(2)设，为函数的两个零点，求证：.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】分析：（1）由函数，求得，通过讨论实数的取值范围，即可求出函数的单调区间；（2）构造函数，与图象两交点的横坐标为，问题转化为，令，根据函数的单调性即可作出证明.详解：（1），当时，即的单调递增区间为，无减区间；当时，由，得，时，时，时，易知的单调递增区间为，单调递减区间为，（2）由（1）知的单调递增区间为，单调递减区间为，不妨设，由条件知，即构造函数，与图象两交点的横坐标为由可得而，知在区间上单调递减，在区间上单调递增，可知欲证，只需证，即证，考虑到在上递增，只需证由知，只需证令 ，则 ，所以为增函数，又，结合知，即成立，即成立.点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数),在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线是圆心在极轴上，且经过极点的圆.已知曲线上的点对应的参数，射线与曲线交于点（1）求曲线、的直角坐标方程；（2）若点在曲线上的两个点且，求的值.【答案】（1），；（2）【解析】分析：（1）将及对应的参数，代入，解得，即可得出曲线的直角坐标方程，由于曲线是圆心在极轴上，且过极点的圆，将点代入，即可求解曲线的方程； （2）设在曲线上，求得和，即可求解的值.详解：（1）将及对应的参数，代入，得，即，所以曲线的方程为 为参数，即.设圆的半径为，由题意，圆的极坐标方程为.（或）将点代入，得，即所以曲线的极坐标方程为，即（2）设在曲线上，所以，所以 点睛：本题主要考查了椭圆的参数方程，极坐标方程与直角坐标方程，以及圆的极坐标与直角坐标方程的互化，以及直线极坐标方程的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.23.已知函数.（1）求的解集；（2）设函数，若对成立，求实数的取值范围【答案】（1）或；（2）【解析】分析：（1）对分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果；（2）即的图象恒在，图象的上方，作出函数图像，根据直线恒过定点，结合函数图象即可的结果.详解：（1），即或或解不等式：；：无解；：，所以的解集为或（2）即的图象恒在，图象的上方，可以作出 的图象，而，图象为恒过定点，且斜率变化的一条直线，作出函数，图象如图，其中，可求：，由图可知，要使得的图象恒在图象的上方，实数的取值范围为.点睛：绝对值不等式的常见解法：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想