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1. (1、2) (数学、初中数学竞赛、因式分解、选择题)若m=20062+2006220072+20072,则m ( ) A.是完全平方数,还是奇数 B.是完全平方数,还是偶数. C.不是完全平方数,但是奇数 D.不是完全平方数,但是偶数分析:因为20062的个位数字为偶数,20072的个位数字为奇数,所以m为奇数,原式=20062-220062007+20072+2006220072+220062007+1-1 =(2006-2007)2+20062007+12-1 =(20062007+1)2,则m也是完全平方数. 答案:A技巧:观察题意,用添项法组成完全平方公式解题.2. (1、2) (数学、初中数学竞赛、因式分解、选择题)若 M=3x2-8xy+9y2-4x+6y+13(x,y是实数),M的值一定是 ( ) A.正数 B.负数 C.零 D.整数分析:因为M=3x2-8xy+9y2-4x+6y+13 =2(x-2y)2+(x-2)2+(y+3)20,因为x-2y,x-2,y+3这三个数不能同时为0,所以M0.答案:A技巧:用裂项法,把原式拆为3个完全平方式即可解题。3. (2、3) (数学、初中数学竞赛、因式分解、选择题)满足等式xy+yx-2003x-2003y+2003xy=2003的正整数对(x,y)的个数是 ( ) A. 1 B.2 C.3 D.4证明:原等式通过移项可化为(xy-2003)(x+y+2003)=0,又因为x+y+20030,故xy-2003=0,所以xy=2003.又因为2003为质数,所以必有x=1y=2003或x=2003y=1答案:B技巧:此题我们可以先移项,再通过合并同类项从而因式分解,然后根据题意分析.易错点:得到结果后,x、y的结果可以互换,所以答案不能为A.4. (3、4) (数学、初中数学竞赛、因式分解、填空题)把(a+b+c+d)(b+c-a-d)(c+a-b-d)(a+b-c-d)+16abcd 因式分为 . 原式=(a+b)5. (1) (数学、初中数学竞赛、因式分解、填空题) 在实数范围内分解因式:x4+x3-3x2-4x-4= .详解:原式=x2x2+x+1-4x2+x+1 =x2-4x2+x+1 =x+2x-2x2+x+1技巧:根据各项的系数,增补分组进行因式分解。6. (2、3) (数学、初中数学竞赛、因式分解、填空题)分解因式: 2x2-xy-6y2+7x+7y+3= .分析:因为2x2-xy-6y2=(x-2y)(2x+3y),所以可设2x2-xy-6y2+7x+7y+3=(x-2y+a)(2x+3y+b),a,b为待定系数,因此有2a+b=7,3a-2b=7,ab=3.解得a=3,b=1,所以原式=(x-2y+3)(2x+3y+1).答案:2x2-xy-6y2+7x+7y+3 =(x-2y+3)(2x+3y+1) 技巧:因式的连乘积与原式恒等,然后根据恒等原理,建立待定系数的方程组,最后解方程组即可求出待定系数的值.7. (2、3) (数学、初中数学竞赛、因式分解、解答题)若x3+3x2-3x+k有一个因式是x+1,求k的值分析:因为x3+3x2-3x+k有一个因式是x+1,那么我们分组分解,保证每一个组里都含有因式x+1.详解: x3+3x2-3x+k =x3+x2+2x2+2x-5x-5+5+k =x2x+1+2xx+ 1 =(x+1)(x2+2x-5)+(k+5). 所以k=-5.技巧:原式有一个因式,那么我们保证含有未知数的几组中都含有这个因式,得解.8. (2、3) (数学、初中数学竞赛、因式分解、解答题)证明n3+32n2+12n对于:(1) 任何自然数n都是整数;(2) 任何自然数n都是3的倍数.分析:为了证明结论,我们先对原式进行因数分解,再观察即可解题.证明:(1) 设N=n3+32n2+n2 =n22n2+3n+1 =n(n+1)(2n+1)2.因因为n,n+l是连续自然数,必有一个是偶数,所以N一定是整数. (2) 当n=3k(k是自然数)时,N是3的倍数;当n=3k+1(k是自然数)时, 2n+1=3(2k+1),N是3的倍数;当n=3k+2(k是自然数)时, n+1=3(k+1),N是3倍数. 综上所述,对任何自然数n,N都是3的倍数. 技巧:我们把原式因式分解,再分情况讨论,能很简便解题.9. (2、3) (数学、初中数学竞赛、因式分解、解答题)如果x3+x2+bx+8有两个因式x+1 和x+2,求a+b的值分析:因为x+1,x+2是x3+ax2+hx+8的因式,所以当x=-1和-2时, x3+ax2+bx+8的值为0.代入解方程即可得解.详解:因为原式含有x+1 和x+2两个因式,所以x=-1和x=-2,是x3+x2+bx+8=0的两个解,即: -1+a-b+8=0-8+4a-2b+8=0.解得a=7b=14.所以a+b=21.答:a+b的值为21.技巧:如果原式中有已知的因式,那么当因式等于0时,那么原式也等于0.易错点:解方程要仔细认真,不要出错.
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