初中培优竞赛第4讲因式分解.docx

1. (1、2) （数学、初中数学竞赛、因式分解、选择题）若m=20062+2006220072+20072，则m ( ) A.是完全平方数，还是奇数 B.是完全平方数，还是偶数. C.不是完全平方数，但是奇数 D.不是完全平方数，但是偶数分析：因为20062的个位数字为偶数，20072的个位数字为奇数，所以m为奇数，原式=20062-220062007+20072+2006220072+220062007+1-1 =(2006-2007)2+20062007+12-1 =(20062007+1)2，则m也是完全平方数. 答案：A技巧：观察题意，用添项法组成完全平方公式解题.2. (1、2) （数学、初中数学竞赛、因式分解、选择题）若 M=3x2-8xy+9y2-4x+6y+13(x,y是实数），M的值一定是 ( ) A.正数 B.负数 C.零 D.整数分析：因为M=3x2-8xy+9y2-4x+6y+13 =2(x-2y)2+(x-2)2+(y+3)20,因为x-2y,x-2,y+3这三个数不能同时为0，所以M0.答案：A技巧：用裂项法，把原式拆为3个完全平方式即可解题。3. (2、3) （数学、初中数学竞赛、因式分解、选择题）满足等式xy+yx-2003x-2003y+2003xy=2003的正整数对(x，y)的个数是 ( ) A. 1 B.2 C.3 D.4证明：原等式通过移项可化为(xy-2003)(x+y+2003)=0，又因为x+y+20030，故xy-2003=0,所以xy=2003.又因为2003为质数，所以必有x=1y=2003或x=2003y=1答案：B技巧：此题我们可以先移项，再通过合并同类项从而因式分解，然后根据题意分析.易错点：得到结果后，x、y的结果可以互换，所以答案不能为A.4. (3、4) （数学、初中数学竞赛、因式分解、填空题）把(a+b+c+d)(b+c-a-d)(c+a-b-d)(a+b-c-d)+16abcd 因式分为 . 原式=（a+b）5. (1) （数学、初中数学竞赛、因式分解、填空题） 在实数范围内分解因式：x4+x3-3x2-4x-4= .详解：原式=x2x2+x+1-4x2+x+1 =x2-4x2+x+1 =x+2x-2x2+x+1技巧：根据各项的系数，增补分组进行因式分解。6. (2、3) （数学、初中数学竞赛、因式分解、填空题）分解因式： 2x2-xy-6y2+7x+7y+3= .分析：因为2x2-xy-6y2=(x-2y)(2x+3y)，所以可设2x2-xy-6y2+7x+7y+3=(x-2y+a)(2x+3y+b),a,b为待定系数，因此有2a+b=7,3a-2b=7,ab=3.解得a=3,b=1，所以原式=(x-2y+3)(2x+3y+1).答案：2x2-xy-6y2+7x+7y+3 =(x-2y+3)(2x+3y+1) 技巧：因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值.7. (2、3) （数学、初中数学竞赛、因式分解、解答题）若x3+3x2-3x+k有一个因式是x+1,求k的值分析：因为x3+3x2-3x+k有一个因式是x+1，那么我们分组分解，保证每一个组里都含有因式x+1.详解： x3+3x2-3x+k =x3+x2+2x2+2x-5x-5+5+k =x2x+1+2xx+ 1 =(x+1)(x2+2x-5)+(k+5). 所以k=-5.技巧：原式有一个因式，那么我们保证含有未知数的几组中都含有这个因式，得解.8. (2、3) （数学、初中数学竞赛、因式分解、解答题）证明n3+32n2+12n对于：(1) 任何自然数n都是整数；(2) 任何自然数n都是3的倍数.分析：为了证明结论，我们先对原式进行因数分解，再观察即可解题.证明：(1) 设N=n3+32n2+n2 =n22n2+3n+1 =n(n+1)(2n+1)2.因因为n，n+l是连续自然数，必有一个是偶数，所以N一定是整数. (2) 当n=3k（k是自然数）时，N是3的倍数；当n=3k+1（k是自然数）时， 2n+1=3(2k+1)，N是3的倍数；当n=3k+2（k是自然数）时， n+1=3(k+1)，N是3倍数. 综上所述，对任何自然数n，N都是3的倍数. 技巧：我们把原式因式分解，再分情况讨论，能很简便解题.9. (2、3) （数学、初中数学竞赛、因式分解、解答题）如果x3+x2+bx+8有两个因式x+1 和x+2，求a+b的值分析：因为x+1,x+2是x3+ax2+hx+8的因式，所以当x=-1和-2时， x3+ax2+bx+8的值为0.代入解方程即可得解.详解：因为原式含有x+1 和x+2两个因式，所以x=-1和x=-2，是x3+x2+bx+8=0的两个解，即： -1+a-b+8=0-8+4a-2b+8=0.解得a=7b=14.所以a+b=21.答：a+b的值为21.技巧：如果原式中有已知的因式，那么当因式等于0时，那么原式也等于0.易错点：解方程要仔细认真，不要出错.