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www.2014届漳州八校第四次联考数学(文科)试卷第卷(选择题 共60分) 2014.5.4【试卷综析】本试卷是高三文科试卷,使用时间是5月初,可作为高考前的模拟考试,也是一次摸底考试,故命题模式与高考一致,考查了高考考纲上的诸多热点问题,突出考查考纲要求的基本能力,重视学生基本数学素养的考查。知识考查注重基础、注重常规,也有综合性较强的问题,试题重点考查:函数、三角函数、数列、立体几何、概率与统计、解析几何等,涉及到的基本数学思想有数形结合、函数与方程、转化与化归、分类讨论等,试题难度适中,兼达到高考关于区分度的要求,适合即将参加高考的高三学生使用。一、 选择题:本大题共12小题。每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1. ,则(A) (B) (C) (D)【知识点】集合的运算【答案解析】D 解析:,所以,故答案为:D【思路点拨】解出集合,借助数轴求出即可。2. 设i为虚数单位,则复数的虚部为(A)1 (B)i (C)-1 (D)-i【知识点】复数的运算;复数的代数形式开始否是输入结束输出第3题图【答案解析】A 解析:,其虚部为1,故选:A【思路点拨】根据复数代数形式的除法运算进行化简,然后利用复数虚部的定义可得答案。3. 根据给出的算法框图,计算(A) (B) (C) (D)【知识点】含判断结构的程序框图【答案解析】A 解析:分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是计算并输出分段函数的函数值,所以,故选:A【思路点拨】根据框图写出其中的分段函数解析式,代入求解即可。4. 设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列四个命题正确的是( )A. B. C. D.【知识点】直线和直线、直线和平面、平面和平面的位置关系【答案解析】B 解析:对于A,根据面面平行的判定定理可知少条件“m与n相交”,故不正确;对于B,若,则无交点,又,所以无交点,即,故正确;对于C,若,则,又,所以,故C不正确;对于D,时,也可能平行,故D不正确,故选:B【思路点拨】可以在正方体模型中寻找需要的直线和平面,根据线线、线面、面面的位置关系的定义判定即可。5. 某几何体的三视图如右图,(其中侧视图中的圆弧是半圆),则该几何体的表面积为(A) (B) (C) (D) 【知识点】由三视图求几何体的表面积、体积【答案解析】A 解析:由三视图可知,此几何体上半部分是半个圆柱,圆柱的底面半径为2,高为5,下半部分是一个长方体,长、宽、高分别为4,4,5,故此几何体的表面积为:,故选为:A【思路点拨】由三视图判断几何体的结构特征,可知几何体是半个圆柱和一个长方体拼接而成,故表面积是半个圆柱的表面积与(不包括与长方体连接的面)和长方体的侧面积以及一个底面积的和,由三视图的相关数据分别计算即可。6. 若变量x,y满足约束条件则的取值范围是 (A) (,7) (B),5 c,7 D ,7【知识点】线性规划;直线的斜率公式【答案解析】D 解析:画出可行域如图中阴影部分所示: 可看做可行域内的点与点的连线的斜率,由图可知,当直线经过点A时,当直线经过点B时,故选:D【思路点拨】根据约束条件画出可行域,把转化成可行域内的点与点的连线的斜率,结合图像,可得直线经过点A、B时,斜率分别取得最大值和最小值,即得Z的取值范围。7. 已知函数向左平移个单位后,得到函数,下列关于的说法正确的是(A)图象关于点中心对称 (B)图象关于轴对称(C)在区间单调递增 (D)在单调递减【知识点】图像的平移与转化;三角函数的性质【答案解析】C 解析:,令,得其对称中心为:,无论Z取何整数,故A错误,当时,所以图象不关于轴对称,故B不正确,当时,所以函数在区间单调递增,故C正确,当时,函数在此区间先增后减,故D不正确,故选:C【思路点拨】根据函数图象的平移变换法则“左加右减,上加下减”,易得到函数y=sin2x的图象向左平移个单位后,得到的图象对应的函数解析式,然后利用函数的对称性,单调性判断选项即可8. 函数与(且)在同一直角坐标系下的图象可能是【知识点】指数函数和正弦函数的图像;图像的变换【答案解析】D 解析:y=a|x|是偶函数,y轴右侧的图像为y=ax的图像一致,y=sinax的周期为,时,时,当a1时,函数y=a|x|在y轴右侧的图像与y=sinax(a0且a1)在同一直角坐标系下的图象为:当0a1时,函数y=a|x|与y=sinax(a0且a1)在同一直角坐标系下的图象为:比照后,发现D满足第一种情况,故选:D【思路点拨】结合函数图象的对折变换法则和正弦型函数的伸缩变换,分a1时和0a1两种情况,分析两个函数的图象,比照后,可得答案9. 若正实数,满足,则的最大值是( )A3 B4 C5 D6【知识点】基本不等式的应用【答案解析】B 解析:故选:B【思路点拨】将通分,两次运用基本不等式即可得出答案。10. 在中,角A,B,C对应边分别是a,b,c,则等于( )(A) (B) (C) (D)【知识点】向量的运算;数量积【答案解析】A 解析:=故选:A【思路点拨】由已知中角A,B,C对应边分别是a,b,c,a=5,b=8,C=60,结合平面向量数量积的运算公式,将已知中的数据代入即可得到答案11. 已知双曲线的焦距为,抛物线与双曲线C的渐近线相切,则双曲线C的方程为 A B C D 【知识点】圆锥曲线的定义、性质、方程【答案解析】C 解析:由双曲线的焦距为可排除掉A、B,而双曲线的渐进性方程为:,把代入抛物线方程中,得,抛物线与双曲线C的渐近线不相切,排除掉D,故选:C【思路点拨】由已知条件,根据双曲线的焦距不等于,排除A,B,再由抛物线与渐进线不相切排除掉D。12. 已知定义在R上的奇函数,满足,且在区间0,2上是增函数,则 (A) (B) (C) (D) 【知识点】函数的奇偶性、周期性、单调性【答案解析】D 解析:满足 ,即是周期为8的奇函数, 则, , 又在区间0,2上是增函数,根据奇函数在关于原点对 称区间上单调性相同,知函数在上单调递增, 所以,即,故选:D 【思路点拨】可变形为,得到函数是以8为周期的周期函数,结合在R上是奇函数,则,再由在区间0,2上是增函数,以及奇函数的性质,推出函数在-2,2上的单调性,即可得到结论第卷(非选择题 共100分)二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在答题卡的相应位置.13. 已知圆C的圆心是直线与y轴的交点,且圆C与直线相切,则圆的标准方程为 【知识点】直线和圆的位置关系;圆的方程【答案解析】 解析:直线与y轴的交点为,所以圆C的圆心为:因为圆C与直线相切,所以,所以圆的标准方程为:,故答案为:【思路点拨】对于直线x-y+1=0,令x=0求出y的值,确定出圆心C坐标,利用点到直线的距离公式求出圆C的半径,写出圆的标准方程即可14已知函数,则 【知识点】分段函数的函数值【答案解析】 解析:,所以,故答案为:【思路点拨】根据自变量的范围代入对应的解析式中求函数值即可。15. 在区间-2,3上任取一个数a,则函数有极值的概率为 .【知识点】函数的极值;几何概型【答案解析】 解析:在区间-2,3上任取一个数a,则-2a3,对应的区间长度为3-(-2)=5, 若有极值,则有两个不等的实根,即判别式,解得,则对应的区间长度为-1-(-2)+3-2=1+1=2,由几何概型的概率公式可得对应的概率,故答案为:【思路点拨】根据f(x)有极值,得到f(x)=0有两个不同的根,求出a的范围,利用几何概型的概率公式即可的得到结论16. 函数的定义域为,其图象上任一点满足,则下列说法中函数一定是偶函数; 函数可能是奇函数;函数在单调递增;若是偶函数,其值域为正确的序号为_.(把所有正确的序号都填上)【知识点】函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明【答案解析】 解析:的图象为双曲线,如图1: 图1若函数对应的图象为2,4象限部分的图象,如图2, 图2则此时为奇函数,错误;由知函数可能是奇函数,正确;如图2:函数y=f(x)在(1,+)单调递减,错误;若y=f(x)是偶函数,其图像有可能如图3, 图3此时其值域为,故错误,故答案为:【思路点拨】根据条件作出满足条件的函数图象,利用函数奇偶性的性质和单调性的性质即可得到结论三、解答题:本大题共小题,共74分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤17. (本小题满分12分) 已知向量,.()若,且,求;()若,求的取值范围.【知识点】向量的垂直关系;三角恒等变换;向量的数量积【答案解析】解:() , , 整理得 过 , () 令 当时,当时, 的取值范围为. 【思路点拨】()由,得,再解出三角函数方程即可;(II)利用数量积运算可得的值,再通过换元法利用二次函数的单调性即可得出答案。18. (本小题满分12分)某旅行社为调查市民喜欢“人文景观”景点是否与年龄有关,随机抽取了55名市民,得到数据如下表:喜欢不喜欢合计大于40岁2052520岁至40岁102030合计302555()判断是否有99.5的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关?()用分层抽样的方法从喜欢“人文景观”景点的市民中随机抽取6人作进一步调查,将这6位市民作为一个样本,从中任选2人,求恰有1位“大于40岁”的市民和1位“20岁至40岁”的市民的概率下面的临界值表供参考:0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(参考公式:,其中)【知识点】独立性检验的应用【答案解析】解:(1)由公式所以有的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关。 (2)设所抽样本中有个“大于40岁”市民,则,得人所以样本中有4个“大于40岁”的市民,2个“20岁至40岁”的市民,分别记作,从中任选2人的基本事件有共15个 , 其中恰有1名“大于40岁”和1名“20岁至40岁”之间的市民的事件有共8个,所以恰有1名“大于40岁”和1名“20岁至40岁”之间的市民的概率为 【思路点拨】()计算K2的值,与临界值比较,即可得到结论;(II)确定样本中有4个“大于40岁”的市民,2个“20岁至40岁”的市民,利用列举法确定基本事件,即可求得结论19. (本小题满分12分)已知正项数列中,前n项和为,当时,有.(1)求数列的通项公式;(2)记是数列的前项和,若的等比中项,求 .【知识点】求通项公式;数列的前n项和【答案解析】解: (1), (2) 【思路点拨】(1)由题知数列是等差数列,所以可求出的通项,进而求出的通项,再根据和的关系求出;(2)根据等比中项的定义求出,再将的每一项裂成两项,用裂项相消法即可求出。20. (本小题满分12分)如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,AD/BC,底面,ADC=90,BC=AD=1, PD=CD=2,Q为AD的中点PABCDQM()若点M在棱PC上,设PM=tMC,是否存在实数t,使得PA/平面BMQ,若存在,给出证明并求t的值,若不存在,请说明理由;()在()的条件下,求三棱锥的体积.【知识点】直线和平面平行;几何体的体积【答案解析】解:(1)存在t=1使得PA/平面BMQ,理由如下:连接交于,连接,因为ADC=90,Q为AD的中点所以为的中点当M为棱PC的中点,即PM=MC时,为的中位线PABCDQM故/,又平面BMQ所以PA/平面BMQ(2)由(1)可知,PA/平面BMQ所以,到平面BMQ的距离等于A到平面BMQ的距离所以取CD中点,连接MK,所以MK/PD且MK=PD=1又底面,所以MK底面又BC=AD=1, PD=CD=2,所以所以=【思路点拨】(1)假设存在实数t,使得PA/平面BMQ,依据线面平行的性质定理,则过PA的平面与平面BMQ的交线必与PA平行,连接交于,连接,则就是平面PAC与平面BMQ的交线,故PA/MN,因为为的中点,所以是的中点,故;(2)三棱锥的底面积和高比较难求,因为到平面BMQ的距离等于A到平面BMQ的距离,所以可将的体积转化为的体积,进而转化为的体积,求出三棱锥高和底面积,代入计算即可。21. (本小题满分12分)定义在实数集上的函数。求函数的图象在处的切线方程;若对任意的恒成立,求实数m的取值范围。【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程【答案解析】解: :,当时,所求切线方程为。令当时,;当时,;当时,;要使恒成立,即.由上知的最大值在或取得.而实数m的取值范围。【思路点拨】(1)求切线方程,就是求和,然后利用点斜式求直线方程,问题得以解决;(2)令,要使恒成立,即,转化为求最值问题,利用导数求即可。22.(本小题满分14分)如图;.已知椭圆C: 的离心率为,以椭圆的左顶点T为圆心作圆T:设圆T与椭圆C交于点M、N.()求椭圆C的方程;()求的最小值,并求此时圆T的方程;()设点P是椭圆C 上异于M,N的任意一点,且直线MP,NP分别与轴交于点R,S,O为坐标原点。求证:为定值.【知识点】圆锥曲线的综合问题【答案解析】解:(I)由题意知解之得;,由得b=1,故椭圆C方程为;(II)点M与点N关于轴对称,设 不妨 设. 由于点M在椭圆C上,,由已知, , 阶段; 由于故当时,取得最小值为-,当时,故又点M在圆T上,代入圆的方程得,故圆T的方程为:;(III)设,则直线MP的方程为令,得,同理, 故,又点M与点P在椭圆上,故 ,得, 为定值【思路点拨】()根据椭圆的离心率和圆T:的圆心是椭圆的左顶点,可列出的方程组,解出,再结合解出即可得到椭圆的方程;(II)设,表示出,利用配方法求出最小值,可得点的坐标,从而可得圆的半径,即可求此时圆T的方程;()设,分别由两点式写出直线MP,NP的方程,令,解出点R,S的坐标,代入中,结合都在椭圆上,化简即可得结论。
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