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矩形一课一练基础闯关题组矩形的判定1.如图,四边形ABCD的对角线为AC,BD,且AC=BD,则下列条件能判定四边形ABCD是矩形的是()A.BA=BCB.AC,BD互相平分C.ACBDD.ABCD【解析】选B.若AC,BD互相平分,则四边形ABCD是平行四边形,又AC=BD,故是矩形.2.(xx上海中考)已知平行四边形ABCD,AC,BD是它的两条对角线,那么下列条件中,能判断这个平行四边形为矩形的是()A.BAC=DCAB.BAC=DACC.BAC=ABDD.BAC=ADB【解析】选C.A.BAC=DCA,不能判断四边形ABCD是矩形;B.BAC=DAC,能判定四边形ABCD是菱形;不能判断四边形ABCD是矩形;C.BAC=ABD,能得出对角线相等,能判断四边形ABCD是矩形;D.BAC=ADB,不能判断四边形ABCD是矩形.3.如图,在平行四边形ABCD中,延长AD到点E,使DE=AD,连接EB,EC,DB请你添加一个条件_,使四边形DBCE是矩形.【解题指南】利用平行四边形的判定与性质得到四边形DBCE为平行四边形,结合“对角线相等的平行四边形为矩形”来添加条件即可.【解析】添加EB=DC.理由如下:四边形ABCD是平行四边形,ADBC,且AD=BC,DEBC,又DE=AD,DE=BC,四边形DBCE为平行四边形.又EB=DC,四边形DBCE是矩形.答案:EB=DC(答案不唯一)【变式训练】如图,在四边形ABCD中,已知ABDC,AB=DC.在不添加任何辅助线的前提下,要使该四边形成为矩形,只需再加上的一个条件是_.(填上你认为正确的一个答案即可)【解析】添加的条件是A=90,理由是:ABDC,AB=DC,四边形ABCD是平行四边形,A=90,平行四边形ABCD是矩形.答案:A=90(答案不唯一)4.(教材变形题P60习题18.2T1)如图,四边形ABCD是平行四边形,AC,BD交于点O,1=2.世纪金榜导学号42684071(1)求证:四边形ABCD是矩形.(2)若BOC=120,AB=4cm,求四边形ABCD的面积.【解析】(1)四边形ABCD是平行四边形,AC,BD交于点O,OA=OC,OB=OD.又1=2,OB=OC,OA=OB=OC=OD,AC=BD,四边形ABCD是矩形.(2)四边形ABCD是矩形,BOC=120,AB=4,1=2=30,BC=43,S四边形ABCD=ABBC=163(cm2).5.(xx安顺中考)如图,DBAC,且DB=12AC,E是AC的中点.(1)求证:BC=DE.(2)连接AD,BE,若要使四边形DBEA是矩形,则给ABC添加什么条件,为什么?【解题指南】(1)先根据中点DB=EC利用“一组对边平行且相等”判定四边形DBCE是平行四边形,得BC=DE.(2)先假设四边形DBEA是矩形AB=DE由BC=DEAB=BC.然后利用倒推法加以推理证明.【解析】(1)E是AC的中点,EC=12AC.DB=12AC,DB=EC.又DBEC,四边形DBCE是平行四边形.BC=DE.(2)添加AB=BC.理由:DBAE,四边形DBEA是平行四边形.BC=DE,AB=BC,AB=DE.四边形ADBE是矩形.6.(xx呼和浩特一模)如图,DE是ABC的中位线,过点C作CFBD交DE的延长线于点F,连接CD,AF.若AC=BC,判断四边形ADCF的形状.世纪金榜导学号42684072【解析】四边形ADCF是矩形.DE是ABC的中位线,E为AC中点,AE=EC,CFBD,ADE=CFE,在ADE和CFE中,ADE=CFE,AED=CEF,AE=CE,ADECFE(AAS),DE=FE.AE=EC,四边形ADCF是平行四边形,AD=BD,BD=CF,四边形DBCF为平行四边形,BC=DF,AC=BC,AC=DF,四边形ADCF是矩形.题组矩形的性质与判定的综合应用1.下列关于矩形的说法,正确的是()A.对角线相等的四边形是矩形B.矩形的对角线相等且互相平分C.对角线互相平分的四边形是矩形D.矩形的对角线互相垂直且平分【解析】选B.A.因为对角线相等的平行四边形是矩形,所以本选项错误;B.因为矩形的对角线相等且互相平分,所以本选项正确;C.因为对角线互相平分且相等的四边形是矩形,所以本选项错误;D.因为矩形的对角线相等且互相平分,所以本选项错误.2.(xx宜兴市月考)如图,已知在四边形ABCD中,AB=DC,AD=BC,连接AC,BD,AC与BD交于点O,若AO=BO,AD=3,AB=2,则四边形ABCD的面积为()A.4B.5C.6D.7【解析】选C.AB=DC,AD=BC,四边形ABCD为平行四边形,AO=OC,BO=DO,AO=BO,AC=BD,四边形ABCD为矩形,AD=3,AB=2,四边形ABCD的面积为ADAB=32=6.3.如图,在矩形ABCD中,BC=20cm,点P和点Q分别从点B和点D出发,按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动,点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s,则最快_s后,四边形ABPQ成为矩形.【解析】设最快xs,四边形ABPQ成为矩形,由BP=AQ得3x=20-2x,解得x=4.答案:44.(xx海淀区一模)如图,在ABCD中,AEBC于点E,延长BC到F点使CF=BE,连接AF,DE,DF.世纪金榜导学号42684073(1)求证:四边形AEFD是矩形.(2)若AB=6,DE=8,BF=10,求AE的长.【解题指南】(1)先证明四边形AEFD是平行四边形,再证明AEF=90即可.(2)证明ABF是直角三角形,由三角形的面积即可得出AE的长.【解析】(1)CF=BE,CF+EC=BE+EC,即EF=BC.在ABCD中,ADBC且AD=BC,ADEF且AD=EF.四边形AEFD是平行四边形.AEBC,AEF=90,四边形AEFD是矩形.(2)四边形AEFD是矩形,DE=8,AF=DE=8.AB=6,BF=10,AB2+AF2=62+82=100=BF2,BAF=90.AEBF,ABF的面积=12ABAF=12BFAE.AE=ABAFBF=6810=245.【变式训练】(xx徐州一模)在平行四边形ABCD中,过点D作DEAB于点E,点F在CD上,CF=AE,连接BF,AF.(1)求证:四边形BFDE是矩形.(2)若AF平分BAD,且AE=3,DE=4,求矩形BFDE的面积.【解析】(1)四边形ABCD是平行四边形,AB=CD,ABCD,DFBE,CF=AE,DF=BE,四边形BFDE是平行四边形,DEAB,DEB=90,四边形BFDE是矩形.(2)ABCD,BAF=AFD,AF平分BAD,DAF=BAF,DAF=AFD,AD=DF,在RtADE中,AE=3,DE=4,AD=32+42=5,矩形BFDE的面积为20.如图,在ABC中,AB=BC,BD平分ABC.四边形ABED是平行四边形,DE交BC于点F,连接CE.求证:四边形BECD是矩形.世纪金榜导学号42684074【证明】AB=BC,BD平分ABC,BDAC,AD=DC,四边形ABED是平行四边形,BEAC,BE=AD,又AD=DC,DC=BE,四边形BECD是平行四边形,又BDAC,平行四边形BECD是矩形.【母题变式】如图,在ABC中,AB=AC,D为BC中点,四边形ABDE是平行四边形.求证:四边形ADCE是矩形.【证明】四边形ABDE是平行四边形,AEBC,AB=DE,AE=BD.D为BC中点,CD=BD.CDAE,CD=AE.四边形ADCE是平行四边形.AB=AC,D为BC中点,ADBC,即ADC=90,平行四边形ADCE是矩形. 变式一如图,在ABC中,AB=AC,D为边BC上一点,以AB,BD为邻边作ABDE,连接AD,EC.(1)求证:ADCECD.(2)若BD=CD,求证:四边形ADCE是矩形.【证明】(1)四边形ABDE是平行四边形(已知),ABDE,AB=DE(平行四边形的对边平行且相等);B=EDC(两直线平行,同位角相等);又AB=AC(已知),AC=DE(等量代换),B=ACB(等边对等角),EDC=ACD(等量代换),在ADC和ECD中,AC=EDACD=EDCDC=CD(公共边).ADCECD(SAS).(2)四边形ABDE是平行四边形(已知),BDAE,BD=AE(平行四边形的对边平行且相等),AECD.又BD=CD,AE=CD(等量代换),四边形ADCE是平行四边形(对边平行且相等的四边形是平行四边形).在ABC中,AB=AC,BD=CD,ADBC(等腰三角形的“三合一”性质),ADC=90,ADCE是矩形.变式二如图,在ABC中,AB=AC,点D(不与点B重合)在BC上,点E是AB的中点,过点A作AFBC交DE延长线于点F,连接AD,BF.(1)求证:AEFBED.(2)若BD=CD,求证:四边形AFBD是矩形.【证明】(1)AFBC,AFE=EDB,E为AB的中点,EA=EB,在AEF和BED中,AFE=EDB,BED=AEF,EA=EB,AEFBED(AAS).(2)AEFBED,AF=BD,AFBD,四边形AFBD是平行四边形,AB=AC,BD=CD,ADBD,四边形AFBD是矩形.变式三如图,在ABC中,AB=AC,AD,AE分别是BAC和BAC外角的平分线,BEAE.(1)求证:DAAE.(2)试判断AB与DE是否相等?并证明你的结论.【解析】(1)AD平分BAC,BAD=12BAC,又AE平分BAF,BAE=12BAF,BAC+BAF=180,BAD+BAE=12(BAC+BAF)=12180=90,即DAE=90,故DAAE.(2)AB=DE.理由是:AB=AC,AD平分BAC,ADBC,故ADB=90,BEAE,AEB=90,又DAE=90,四边形AEBD是矩形,AB=DE.
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