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2019-2020年高考数学一轮复习第九章平面解析几何9.8圆锥曲线的综合问题课时1直线与圆锥曲线文题型一直线与圆锥曲线的位置关系例1(1)过双曲线C:1的左焦点作倾斜角为的直线l,则直线l与双曲线C的交点情况是_(填序号).没有交点;只有一个交点;有两个交点且都在左支上;有两个交点分别在左、右两支上.(2)(xx湖北改编)设a,b是关于t的方程t2cos tsin 0的两个不等实根,则过A(a,a2),B(b,b2)两点的直线与双曲线1的公共点的个数为_.答案(1)(2)0解析(1)直线l的方程为y(x),代入C:1,整理得23x28x1600,(8)24231600,所以直线l与双曲线C有两个交点,由一元二次方程根与系数的关系得两个交点横坐标符号不同,故两个交点分别在左、右支上.(2)关于t的方程t2cos tsin 0的两个不等实根为0,tan (tan 0),则过A,B两点的直线方程为yxtan ,双曲线1的渐近线方程为yxtan ,所以直线yxtan 与双曲线没有公共点.(3)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1:1(ab0)的左焦点为F1(1,0),且点P(0,1)在C1上.求椭圆C1的方程;设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2:y24x相切,求直线l的方程.解根据椭圆的左焦点为F1(1,0),知a2b21,又根据点P(0,1)在椭圆上,知b1,所以a,所以椭圆C1的方程为y21.因为直线l与椭圆C1和抛物线C2都相切,所以其斜率存在且不为0,设直线l的方程为ykxm(k0),代入椭圆方程得(kxm)21,即x22kmxm210,由题意可知此方程有唯一解,此时4k2m24(m21)0,即m22k21.把ykxm(k0)代入抛物线方程得y2ym0,由题意可知此方程有唯一解,此时1mk0,即mk1.联立得解得k2,所以或所以直线l的方程为yx或yx.思维升华研究直线和圆锥曲线的位置关系,一般转化为研究直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数.对于填空题,常充分利用几何条件,利用数形结合的方法求解.已知直线l:y2xm,椭圆C:1.试问当m取何值时,直线l与椭圆C:(1)有两个不重合的公共点;(2)有且只有一个公共点;(3)没有公共点.解将直线l的方程与椭圆C的方程联立,得方程组将代入,整理得9x28mx2m240.方程根的判别式(8m)249(2m24)8m2144.(1)当0,即3m3时,方程有两个不同的实数根,可知原方程组有两组不同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点.(2)当0,即m3时,方程有两个相同的实数根,可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点,即直线l与椭圆C有且只有一个公共点.(3)当0,即m3时,方程没有实数根,可知原方程组没有实数解.这时直线l与椭圆C没有公共点.题型二弦长问题例2已知椭圆C:1(ab0)的一个顶点为A(2,0),离心率为.直线yk(x1)与椭圆C交于不同的两点M,N.(1)求椭圆C的方程;(2)当AMN的面积为时,求k的值.解(1)由题意得解得b,所以椭圆C的方程为1.(2)由得(12k2)x24k2x2k240.设点M,N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则y1k(x11),y2k(x21),x1x2,x1x2,所以MN又因为点A(2,0)到直线yk(x1)的距离d,所以AMN的面积为SMNd,由,解得k1.思维升华有关圆锥曲线弦长问题的求解方法:涉及弦长的问题中, 应熟练的利用根与系数的关系、设而不求法计算弦长;涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算;涉及过焦点的弦的问题,可考虑用圆锥曲线的定义求解.(xx湖南)已知抛物线C1 :x24y的焦点F也是椭圆C2:1(ab0)的一个焦点.C1 与C2的公共弦的长为2.过点F的直线l与C1相交于A,B两点,与C2相交于C,D两点,且与同向.(1)求C2的方程;(2)若ACBD,求直线l的斜率.解(1)由C1:x24y知其焦点F的坐标为(0,1).因为F也是椭圆C2的一个焦点,所以a2b21.又C1与C2的公共弦的长为2,C1与C2都关于y轴对称,且C1的方程为x24y,由此易知C1与C2的公共点的坐标为,所以1.联立,得a29,b28.故C2的方程为1.(2)如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4).因与同向,且ACBD,所以,从而x3x1x4x2,即x1x2x3x4,于是(x1x2)24x1x2(x3x4)24x3x4.设直线l的斜率为k,则l的方程为ykx1.由得x24kx40.而x1,x2是这个方程的两根,所以x1x24k,x1x24.由得(98k2)x216kx640.而x3,x4是这个方程的两根,所以x3x4,x3x4,将代入,得16(k21),即16(k21),所以(98k2)2169,解得k,即直线l的斜率为.题型三中点弦问题例3(1)已知椭圆E:1(ab0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,1),则E的方程为_.(2)已知双曲线x21上存在两点M,N关于直线yxm对称,且MN的中点在抛物线y218x上,则实数m的值为_.答案(1)1(2)0或8解析(1)因为直线AB过点F(3,0)和点(1,1),所以直线AB的方程为y(x3),代入椭圆方程1消去y,得x2a2xa2a2b20,所以AB的中点的横坐标为1,即a22b2,又a2b2c2,所以bc3,a3.所以E的方程为1.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点P(x0,y0),则由得(x2x1)(x2x1)(y2y1)(y2y1),显然x1x2.3,即kMN3,M,N关于直线yxm对称,kMN1,y03x0.又y0x0m,P,代入抛物线方程得m218,解得m0或8,经检验都符合.思维升华处理中点弦问题常用的求解方法(1)点差法:即设出弦的两端点坐标后,代入圆锥曲线方程,并将两式相减,式中含有x1x2,y1y2,三个未知量,这样就直接联系了中点和直线的斜率,借用中点公式即可求得斜率.(2)根与系数的关系:即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组,化为一元二次方程后,由根与系数的关系求解.设抛物线过定点A(1,0),且以直线x1为准线.(1)求抛物线顶点的轨迹C的方程;(2)若直线l与轨迹C交于不同的两点M,N,且线段MN恰被直线x平分,设弦MN的垂直平分线的方程为ykxm,试求m的取值范围.解(1)设抛物线顶点为P(x,y),则焦点F(2x1,y).再根据抛物线的定义得AF2,即(2x)2y24,所以轨迹C的方程为x21.(2)设弦MN的中点为P,M(xM,yM),N(xN,yN),则由点M,N为椭圆C上的点,可知两式相减,得4(xMxN)(xMxN)(yMyN)(yMyN)0,将xMxN21,yMyN2y0,代入上式得k.又点P在弦MN的垂直平分线上,所以y0km.所以my0ky0.由点P(,y0)在线段BB上(B,B为直线x与椭圆的交点,如图所示),所以yBy0yB,也即y0.所以m2,即0),如果直线yx与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F,则m的值为_.答案2解析根据已知条件得c,则点(,)在椭圆1(m0)上,1,可得m2.4.斜率为1的直线l与椭圆y21相交于A,B两点,则AB的最大值为_.答案解析设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线l的方程为yxt,由消去y,得5x28tx4(t21)0,则x1x2t,x1x2.AB|x1x2|,当t0时,ABmax.5.过抛物线y24x的焦点作一条直线与抛物线相交于A,B两点,它们到直线x2的距离之和等于5,则这样的直线有_条.答案0解析抛物线y24x的焦点坐标为(1,0),准线方程为x1,设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则A,B到直线x1的距离之和为x1x22.设直线方程为xmy1,代入抛物线y24x,则y24(my1),即y24my40,x1x2m(y1y2)24m22.x1x224m244.A,B到直线x2的距离之和x1x22265.满足题意的直线不存在.6.过双曲线x21的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点,若使得AB的直线l恰有3条,则_.答案4解析使得AB的直线l恰有3条.根据对称性,其中有一条直线与实轴垂直.此时A,B的横坐标为,代入双曲线方程,可得y2,故AB4.双曲线的两个顶点之间的距离是2,小于4,过双曲线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于4,综上可知,AB4时,有3条直线满足题意.4.7.在抛物线yx2上关于直线yx3对称的两点M,N的坐标分别为_.答案(2,4),(1,1)解析设直线MN的方程为yxb,代入yx2中,整理得x2xb0,令14b0,b.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1x21,bb,由在直线yx3上,即b3,解得b2,联立得解得8.过椭圆1内一点P(3,1),且被这点平分的弦所在直线的方程是_.答案3x4y130解析设直线与椭圆交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,由于A、B两点均在椭圆上,故1,1,两式相减得0.又P是A、B的中点,x1x26,y1y22,kAB.直线AB的方程为y1(x3).即3x4y130.9.如图,点F1(c,0),F2(c,0)分别是椭圆C:1(ab0)的左,右焦点,过点F1作x轴的垂线,交椭圆C的上半部分于点P,过点F2作直线PF2的垂线交直线x于点Q,连结PQ.(1)如果点Q的坐标为(4,4),求椭圆C的方程;(2)试判断直线PQ与椭圆C的公共点个数,并证明你的结论.解(1)方法一由条件知,P,故直线PF2的斜率为kPF2.因为PF2F2Q,所以直线F2Q的方程为yx,故Q.由题设知,4,2a4,解得a2,c1.故椭圆C的方程为1.方法二设直线x与x轴交于点M.由条件知,P.因为PF1F2F2MQ,所以,即,解得MQ2a.所以解得故椭圆方程为1.(2)点Q的坐标为,点P的坐标为,kPQ,PQ的方程为y2a,即yxa.将PQ的方程代入椭圆C的方程,得b2x2a22a2b2,(b2c2)x22a2cxa4a2b20,而a2b2c2,上式可化为a2x22a2cxa2c20,解得xc,直线PQ与椭圆C只有一个公共点.10.(xx湖北)在平面直角坐标系xOy中,点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程;(2)设斜率为k的直线l过定点P(2,1),求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.解(1)设点M(x,y),依题意得MF|x|1,即|x|1,化简整理得y22(|x|x).故点M的轨迹C的方程为y2(2)在点M的轨迹C中,记C1:y24x (x0),C2:y0(x0).依题意,可设直线l的方程为y1k(x2).由方程组可得ky24y4(2k1)0.(*1)当k0时,此时y1.把y1代入轨迹C的方程,得x.故此时直线l:y1与轨迹C恰好有一个公共点(,1).当k0时,方程(*1)根的判别式为16(2k2k1).(*2)设直线l与x轴的交点为(x0,0),则由y1k(x2),令y0,得x0.(*3)()若由(*2)(*3)解得k.即当k(,1)(,)时,直线l与C1没有公共点,与C2有一个公共点,故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点.()若或由(*2)(*3)解得k1,或k0.即当x1,时,直线l与C1只有一个公共点,与C2有一个公共点.当k,0)时,直线l与C1有两个公共点,与C2没有公共点.故当k,0)1,时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点.()若由(*2)(*3)解得1k或0k0,b0),P为x轴上一动点,经过点P的直线y2xm (m0)与双曲线C有且只有一个交点,则双曲线C的离心率为_.答案解析由双曲线的方程可知:渐近线方程为yx.经过点P的直线y2xm (m0)与双曲线C有且只有一个交点,此直线与渐近线yx平行,2.e .13.过抛物线y22px(p0)焦点F的直线l与抛物线交于B,C两点,l与抛物线准线交于点A,且AF6,2,则BC_.答案解析不妨设直线l的倾斜角为,其中00)经过圆F:x2y22x4y40的圆心,则抛物线E的准线与圆F相交所得的弦长为_.答案2解析圆的标准方程为(x1)2(y2)232,圆心为F(1,2).代入抛物线方程可得p2,所以其准线方程为x1.圆心到直线x1的距离d2,所以抛物线E的准线与圆F相交所得的弦长为22.15.椭圆C:1 (ab0)的离心率为,其左焦点到点P(2,1)的距离为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若直线l:ykxm与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左,右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.解(1)左焦点(c,0)到点P(2,1)的距离为,解得c1.又e,解得a2,b2a2c23,所求椭圆C的方程为1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由得(34k2)x28mkx4(m23)0,64m2k216(34k2)(m23)0,整理得34k2m2.x1x2,x1x2,y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2mk(x1x2)m2.以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0),kADkBD1,1,y1y2x1x22(x1x2)40,40.整理得7m216mk4k20,解得m12k,m2.且满足34k2m20.当m2k时,l:yk(x2),直线过定点(2,0)与已知矛盾;当m时,l:yk,直线过定点.综上可知,直线l过定点,定点坐标为.
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