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正弦定理编稿:李霞审稿:张林娟【学习目标】1.通过对直角三角形边角间数量关系的研究,发现正弦定理,初步学会运用由特殊到一般的思维方法发现数学规律;2.会利用正弦定理解决两类解三角形的问题;(1)已知两角和任意一边,求其他两边和一角;(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角(从而求出其它边角). 【要点梳理】要点一:学过的三角形知识1.中(1)一般约定:中角A、B、C所对的边分别为、;(2);(3)大边对大角,大角对大边,即; 等边对等角,等角对等边,即;(4)两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,即,.2.中,(1),(2)(3),;,要点二:正弦定理及其证明正弦定理:在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等,即:直角三角形中的正弦定理的推导证明:, , ,即:, 斜三角形中的正弦定理的推导证明:法一:向量法(1)当为锐角三角形时过作单位向量垂直于,则+= 两边同乘以单位向量,得(+)=,即, ,同理:若过作垂直于得: ,(2)当为钝角三角形时设,过作单位向量垂直于向量,同样可证得:法二:构造直角三角形(1)当为锐角三角形时如图,作边上的高线交于,则:在中, ,即,在中, ,即,,即.同理可证(2)当为钝角三角形时如图,作边上的高线交于,则:在中, ,即,在中, ,即,,即.同理可证法三:圆转化法(1)当为锐角三角形时如图,圆O是的外接圆,直径为,则,(为的外接圆半径)同理:,故:(2)当为钝角三角形时如图,.法四:面积法任意斜中,如图作,则同理:,故,两边同除以即得:要点诠释:(1)正弦定理适合于任何三角形;(2)可以证明(为的外接圆半径);灵活利用正弦定理,还需知道它的几个变式,比如: ,,等等.要点三:利用正弦定理解三角形一般地,我们把三角形的各内角以及它们所对的边叫做三角形的几何元素.任何一个三角形都有六个元素:三边和三角.在三角形中,由已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作解三角形.利用正弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题:(1)已知两角和一边,求其他两边和一角;(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角,然后再进一步求出其他的边和角.要点诠释:已知a,b和A,用正弦定理求B时的各种情况;(1)若A为锐角时:如图:(2)若A为直角或钝角时:判断三角形形状判断三角形形状的思路通常有以下两种:(1)化边为角;(2)化角为边.对条件实施转化时,考虑角的关系,主要有:(1)两角是否相等?(2)三个角是否相等?(3)有无直角、钝角?考查边的关系,主要有:(1)两边是否相等?(2)三边是否相等?要点诠释:对于求解三角形的题目,一般都可有两种思路。但要注意方法的选择,同时要注意对解的讨论,从而舍掉不合理的解。比如下面例2两种方法不同,因此从不同角度来对解进行讨论。此外,有的时候还要对边角关系(例如,大边对大角)进行讨论从而舍掉不合理的解.【典型例题】类型一:正弦定理的简单应用:【高清课堂:正弦定理 例1】例1已知在中,求和B.【思路点拨】本题考查正弦定理及特殊角的三角函数值,三角形中边与角的对应关系等。由正弦定理列出边a满足的方程,再根据三角形内角和来确定角B的值。【解析】, , ,又,【总结升华】1. 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题;2. 数形结合将已知条件表示在示意图形上,可以清楚地看出已知与求之间的关系,从而恰当地选择解答方式. 举一反三:【变式1】在中,已知,求、.【答案】,根据正弦定理,.【变式2】在中,若,则等于 ( )A. B. C. 或 D. 或【答案】由可得,由正弦定理可知,故可得,故或。故选B.【变式3】中,BC3,则的周长为( )A BC D【答案】由正弦定理得:, 得bcsinBsin(B)故三角形的周长为:3bc,故选D例2.已知下列三角形的两边及其一边的对角,判断三角形的情况,有解的作出解答。(1)a=7,b=9,A=100 (2) a=10,b=20,A=75 (3)a=10,c=5,C=60 (4) a=2【思路点拨】已知三角形两边及其中一边的对角求解三角形的有可能有两种情况,具体有几解可以借助于要点梳理中要点三中的方法解决。【解析】(1)本题无解。(2)本题无解。(3)本题有一个解。利用正弦定理,可得:(4)本题有两解。由正弦定理得:当综上所述:【总结升华】已知三角形两边及其中一边的对角求解三角形的有可能有两种情况,具体方法可以借助于下了表格:A为钝角A为直角A为锐角ab一解一解一解a=b无解无解一解absinA两解a=bsinA一解AbsinA无解举一反三:【变式1】在中,, , 求.【答案】由正弦定理,得., ,即 【变式2】在,求和,【答案】由正弦定理得:,(方法一), 或,当时,(舍去);当时,(方法二), , 即为锐角, ,【高清课堂:正弦定理 例3】【变式3】在中, ,求和【答案】, , 或当时,;当时,;所以,或类型三:利用正弦定理判断三角形的形状例3.根据下列条件,判定的形状.【思路点拨】利用正弦定理将边化成角,分析角之间的关系,再利用正弦定理将角化为边,进而判断三角形的形状.【解析】(1)由正弦定理得故是等腰三角形或直角三角形(2) 由正弦定理得故是等边三角形【总结升华】已知三角形中的边角关系式,判断三角形的形状,有两条思路:其一化边为角,再进行三角恒等变换求出三个角之间的关系式;其二化角为边,再进行代数恒等变换求出三条边之间的关系式。举一反三:【变式1】在中,若,试判断的形状.【答案】由及已知条件可得:,为三角形的内角,或,所以为等腰三角形或直角三角形。【变式2】在ABC中,试判断三角形的形状.【答案】利用正弦定理将边转化为角.又 0A,B,AB 即故此三角形是等腰三角形.类型四:利用正弦定理求三角形的面积 例4.在中,角的对边分别为,。(I)求的值;()求的面积。【思路点拨】先利用三角形内角和求出C的正弦值,再利用正弦定理求边,进而求三角形的面积.【解析】()因为A、B、C为ABC的内角,且,所以,于是()由()知,又因为,所以在ABC中,由正弦定理,得.于是ABC的面积.【总结升华】求三角形面积,应根据已知条件选择合适的计算方法,以减少计算量. 若已知三角形的两边,则可求其夹角,然后利用求解.举一反三:【变式】在ABC中,已知,求的面积。【答案】由,得,又,即,所以三角形的解有两种情况,或故的面积的面积为或.类型五:正弦定理的综合运用例5.如图,D是直角ABC斜边BC上一点,ABAD,记CAD,ABC.(1)证明:sin cos 20;(2)若ACDC,求的值【思路点拨】先利用直角三角形中边,角的关系找到、的等量关系,然后在ADC中利用正弦定理,建立方程解之.【解析】(1)证明:ABAD,则ADB,C. 又BC90,即290,则290, cos 2sin ,即cos 2sin 0.(2)在ADC中,即sin sin . 代入整理得:2sin2sin 0.解得sin ,或sin 舍去,又为锐角,则60.【总结升华】以平面几何图形为背景,求解有关长度、角度、面积、最值和优化等问题,通常是转化到三角形中,利用正弦定理、余弦定理(即将要学习)加以解决 举一反三:【变式1】在ABC中,已知a5,B105,C15,则此三角形的最大边的长为_【答案】在ABC中,大角对大边,故b为最大边长,A180(BC)180(10515)60.据正弦定理【高清课堂:正弦定理 例5】【变式2】 在ABC中,c= ,C=30,求a+b的最大值。【答案】因为所以A+B=180C=150,从而所以a+b的最大值为
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