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1 1第五篇数列A第1讲数列的概念与简单表示法最新考纲1了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)2了解数列是自变量为正整数的一类函数.知 识 梳 理1数列的概念(1)数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列数列中的每一个数叫做这个数列的项排在第一位的数称为这个数列的第1项，通常也叫做首项(2)数列的通项公式如果数列an的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式(3)数列的前n项和在数列an中，Sna1a2an叫做数列的前n项和2数列的表示方法(1)表示方法列表法列表格表达n与f(n)的对应关系图象法把点(n，f(n)画在平面直角坐标系中公式法通项公式把数列的通项使用通项公式表达的方法递推公式使用初始值a1和an1f(an)或a1，a2和an1f(an，an1)等表达数列的方法(2)数列的函数特征：上面数列的三种表示方法也是函数的表示方法，数列可以看作是定义域为正整数集(或它的有限子集1,2，n的函数anf(n)当自变量由小到大依次取值时所对应的一列函数值*3数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限单调性递增数列an1an其中nN*递减数列an1an常数列an1an摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列周期性nN*，存在正整数常数k，ankan4.an与Sn的关系若数列an的前n项和为Sn，则an辨 析 感 悟1对数列概念的认识(1)数列1,2,3,4,5,6与数列6,5,4,3,2,1表示同一数列()(2)1,1,1,1，不能构成一个数列()2对数列的性质及表示法的理解(3)(教材练习改编)数列1,0,1,0,1,0，的通项公式，只能是an.()(4)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列()(5)(20xx开封模拟改编)已知Sn3n1，则an23n1.()感悟提升1一个区别“数列”与“数集”数列与数集都是具有某种属性的数的全体，数列中的数是有序的，而数集中的元素是无序的，同一个数在数列中可以重复出现，而数集中的元素是互异的，如(1)、(2)2三个防范一是注意数列不仅有递增、递减数列，还有常数列、摆动数列，如(4)二是数列的通项公式不唯一，如(3)中还可以表示为an三是已知Sn求an时，一定要验证n1的特殊情形，如(5).学生用书第79页考点一由数列的前几项求数列的通项【例1】 根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)1,7，13,19，；(2)，；(3)，2，8，；(4)5,55,555,5 555，.解(1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式(1)n，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为an(1)n(6n5)(2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为13,35,57,79,911，每一项都是两个相邻奇数的乘积知所求数列的一个通项公式为an.(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察即，从而可得数列的一个通项公式为an.(4)将原数列改写为9，99，999，易知数列9,99,999，的通项为10n1，故所求的数列的一个通项公式为an(10n1)规律方法 根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的变化特征；拆项后的各部分特征；符号特征应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想【训练1】 根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)，；(2)，1，.解(1)各项的分母分别为21,22,23,24，易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为，原数列可化为，因此可得数列的一个通项公式为an(1)n.(2)将数列统一为，对于分子3,5,7,9，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn2n1，对于分母2,5,10,17，联想到数列1,4,9,16，即数列n2，可得分母的通项公式为cnn21，因此可得数列的一个通项公式为an.考点二由an与Sn的关系求通项an【例2】 (20xx广东卷节选)设数列an的前n项和为Sn.已知a11，an1n2n，nN*.(1)求a2的值；(2)求数列an的通项公式解(1)依题意，2S1a21，又S1a11，所以a24；(2)由题意2Snnan1n3n2n，所以当n2时，2Sn1(n1)an(n1)3(n1)2(n1)两式相减得2annan1(n1)an(3n23n1)(2n1)，整理得(n1)annan1n(n1)，即1，又1，故数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以1(n1)1n，所以ann2.规律方法 给出Sn与an的递推关系，求an，常用思路是：一是利用SnSn1an(n2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.【训练2】 设数列an的前n项和为Sn，数列Sn的前n项和为Tn，满足Tn2Snn2，nN*.(1)求a1的值；(2)求数列an的通项公式解(1)令n1时，T12S11，T1S1a1，a12a11，a11.(2)n2时，Tn12Sn1(n1)2，则SnTnTn12Snn22Sn1(n1)22(SnSn1)2n12an2n1.因为当n1时，a1S11也满足上式，所以Sn2an2n1(n1)，当n2时，Sn12an12(n1)1，两式相减得an2an2an12，所以an2an12(n2)，所以an22(an12)，因为a1230，所以数列an2是以3为首项，公比为2的等比数列所以an232n1，an32n12，当n1时也成立，所以an32n12.学生用书第80页考点三由递推公式求数列的通项公式【例3】 在数列an中，(1)若a12，an1ann1，则通项an_；(2)若a11，an13an2，则通项an_.审题路线(1)变形为an1ann1用累加法，即ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)得出an.(2)变形为an113(an1)再变形为用累乘法或迭代法可求an.解析(1)由题意得，当n2时，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)2(23n)21.又a121，符合上式，因此an1.(2)an13an2，即an113(an1)，即3，法一3，3，3，3.将这些等式两边分别相乘得3n.因为a11，所以3n，即an123n1(n1)，所以an23n11(n2)，又a11也满足上式，故an23n11.法二由3，即an113(an1)，当n2时，an13(an11)，an13(an11)32(an21)33(an31)3n1(a11)23n1，an23n11；当n1时，a1123111也满足an23n11.答案(1)1(2)23n11规律方法 数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项【训练3】 设an是首项为1的正项数列，且(n1)anaan1an0(n1,2,3，)，则它的通项公式an_.解析(n1)aan1anna0，(an1an)(n1)an1nan0，又an1an0，(n1)an1nan0，即，an.答案 1求数列通项或指定项，通常用观察法(对于交错数列一般用(1)n或(1)n1来区分奇偶项的符号)；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法2由Sn求an时，an注意验证a1是否包含在后面an的公式中，若不符合要单独列出，一般已知条件含an与Sn的关系的数列题均可考虑上述公式3已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握一般有三种常见思路：(1)算出前几项，再归纳、猜想；(2)“an1panq”这种形式通常转化为an1p(an)，由待定系数法求出，再化为等比数列；(3)利用累加、累乘法或迭代法可求数列的通项公式 思想方法4用函数的思想解决数列问题【典例】 (20xx新课标全国卷)等差数列an的前n项和为Sn，已知S100，S1525，则nSn的最小值为_解析由题意及等差数列的性质，知a1a100，a1a15.两式相减，得a15a105d，所以d，a13.所以nSnnna1d.令f(x)，x0，则f(x)x(3x20)，由函数的单调性，可知函数f(x)在x时取得最小值，检验n6时，6S648，而n7时，7S749，故nSn的最小值为49.答案49反思感悟 (1)本题求出的nSn的表达式可以看做是一个定义在正整数集N*上的三次函数，因此可以采用导数法求解(2)易错分析：由于n为正整数，因而不能将代入求最值，这是考生容易忽略而产生错误的地方【自主体验】1设an3n215n18，则数列an中的最大项的值是()A. B. C4 D0解析an32，由二次函数性质，得当n2或3时，an最大，最大为0.答案D2已知an是递增数列，且对于任意的nN*，ann2n恒成立，则实数的取值范围是_解析设f(n)ann2n，其图象的对称轴为直线n，要使数列an为递增数列，只需使定义在正整数上的函数f(n)为增函数，故只需满足，即3.答案(3，)对应学生用书P285基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1(20xx深圳中学模拟)数列0，的一个通项公式为()Aan(nN*) Ban(nN*) Can(nN*) Dan(nN*)解析将0写成，观察数列中每一项的分子、分母可知，分子为偶数列，可表示为2(n1)，nN*；分母为奇数列，可表示为2n1，nN*，故选C.答案C2若Sn为数列an的前n项和，且Sn，则()A. B. C. D30解析当n2时，anSnSn1，5(51)30.答案D3(20xx贵阳模拟)已知数列an的前n项和为Sn，且Sn2n21，则a3()A10 B6 C10 D14解析a3S3S22321(2221)10.答案C4已知a11，ann(an1an)(nN*)，则数列an的通项公式是()A2n1 B.n1Cn2 Dn解析法一(构造法)由已知整理得(n1)annan1，数列是常数列且1，ann.法二(累乘法)：n2时，.，两边分别相乘得n，又因为a11，ann.答案D5已知数列an的前n项和为Sn，a11，Sn2an1，则Sn()A2n1 B.n1 C.n1 D.解析Sn2an1，当n2时，Sn12an，anSnSn12an12an(n2)，即(n2)，又a2，ann2(n2)当n1时，a111，anSn2an12n1n1.答案B二、填空题6(20xx蚌埠模拟)数列an的通项公式ann210n11，则该数列前_项的和最大解析易知a1200，显然要想使和最大，则应把所有的非负项求和即可，令an0，则n210n110，1n11，可见，当n11时，a110，故a10是最后一个正项，a110，故前10或11项和最大答案10或117(20xx广州模拟)设数列an满足a13a232a33n1an，则数列an的通项公式为_解析a13a232a33n1an，则当n2时，a13a232a33n2an1，两式左右两边分别相减得3n1an，an(n2)由题意知，a1，符合上式，an(nN*)答案an8(20xx淄博二模)在如图所示的数阵中，第9行的第2个数为_解析每行的第二个数构成一个数列an，由题意知a23，a36，a411，a518，所以a3a23，a4a35，a5a47，anan12(n1)12n3，等式两边同时相加得ana2n22n，所以ann22na2n22n3(n2)，所以a99229366.答案66三、解答题9数列an的通项公式是ann27n6.(1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？(3)该数列从第几项开始各项都是正数？解(1)当n4时，a4424766.(2)令an150，即n27n6150，解得n16或n9(舍去)，即150是这个数列的第16项(3)令ann27n60，解得n6或n1(舍)从第7项起各项都是正数10在数列an中，a11，Sn为其前n项和，且an12Snn2n1.(1)设bnan1an，求数列bn的前n项和Tn；(2)求数列an的通项公式解(1)an12Snn2n1，an2Sn1(n1)2(n1)1(n2)，两式相减得，an1an2an2n2(n2)由已知可得a23，n1时上式也成立an13an2n2(nN*)，an3an12(n1)2(n2)两式相减，得(an1an)3(anan1)2(n2)bnan1an，bn3bn12(n2)，bn13(bn11)(n2)b1130，bn1是以3为公比，3为首项的等比数列，bn133n13n，bn3n1.Tn31323nn3n1n.(2)由(1)知，an1an3n1，an(anan1)(an1an2)(an2an3)(a3a2)(a2a1)a13031323n1(n1)(3n1)n.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1已知数列an的通项公式为an，则满足an1an的n的取值为()A3 B4 C5 D6解析由an1an，得an1an0，解得n，又nN*，n5.答案C2(20xx湖州模拟)设函数f(x)数列an满足anf(n)，nN*，且数列an是递增数列，则实数a的取值范围是()A. B. C(1,3) D(2,3)解析数列an是递增数列，又anf(n)(nN*)，2aa1.综上，所求的a的取值范围是9，).学生用书第81页第2讲等差数列及其前n项和最新考纲1理解等差数列的概念2掌握等差数列的通项公式与前n项和公式3能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题4了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.知 识 梳 理1等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示数学语言表达式：an1and(nN*)，d为常数2等差数列的通项公式与前n项和公式(1)若等差数列an的首项是a1，公差是d，则其通项公式为ana1(n1)d.若等差数列an的第m项为am，则其第n项an可以表示为anam(nm)d.(2)等差数列的前n项和公式Snna1d.(其中nN*，a1为首项，d为公差，an为第n项)3等差数列及前n项和的性质(1)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A.(2)若an为等差数列，当mnpq，amanapaq(m，n，p，qN*)(3)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为md的等差数列(4)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列(5)S2n1(2n1)an.(6)若n为偶数，则S偶S奇；若n为奇数，则S奇S偶a中(中间项)4等差数列与函数的关系(1)等差数列与一次函数的区别与联系等差数列一次函数解析式anknb(nN*)f(x)kxb(k0)不同点定义域为N*，图象是一系列孤立的点(在直线上)，k为公差定义域为R，图象是一条直线，k为斜率相同点数列的通项公式与函数解析式都是关于自变量的一次函数k0时，数列anknb(nN*)图象所表示的点均匀分布在函数f(x)kxb(k0)的图象上；k0时，数列为递增数列，函数为增函数；k0时，数列为递减数列，函数为减函数(2)等差数列前n项和公式可变形为Snn2n，当d0时，它是关于n的二次函数，它的图象是抛物线yx2x上横坐标为正整数的均匀分布的一群孤立的点辨 析 感 悟1对等差数列概念的理解(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()(2)等差数列的公差是相邻两项的差()(3)(教材习题改编)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数()2等差数列的通项公式与前n项和(4)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*，都有2an1anan2.()(5)等差数列an的单调性是由公差d决定的()(6)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数()3等差数列性质的活用(7)(20xx广东卷改编)在等差数列an中，已知a3a810，则3a5a720.()(8)(20xx辽宁卷改编)已知关于d0的等差数列an，则数列an，nan，an3nd都是递增数列()感悟提升一点注意等差数列概念中的“从第2项起”与“同一个常数”的重要性，如(1)、(2)等差数列与函数的区别一是当公差d0时，等差数列的通项公式是n的一次函数，当公差d0时，an为常数，如(3)；二是公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数，且常数项为0；三是等差数列an的单调性是由公差d决定的，如(8)中若an3n12，则满足已知，但nan3n212n并非递增；若ann1，则满足已知，但1是递减数列；设ana1(n1)ddnm，则an3nd4dnm是递增数列.学生用书第82页考点一等差数列的基本量的求解【例1】 在等差数列an中，a11，a33.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列an的前k项和Sk35，求k的值解(1)设等差数列an的公差为d，则ana1(n1)d.由a11，a33，可得12d3.解得d2.从而，an1(n1)(2)32n.(2)由(1)可知an32n.所以Sn2nn2.进而由Sk35可得2kk235.即k22k350，解得k7或5.又kN*，故k7为所求规律方法 (1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法【训练1】 (1)(20xx浙江五校联考)已知等差数列an满足a2a44，a3a510，则它的前10项的和S10()A85 B135 C95 D23(2)(20xx新课标全国卷)设等差数列an的前n项和为Sn，若Sm12，Sm0，Sm13，则m()A3 B4 C5 D6解析(1)设等差数列an的首项为a1，公差为d，则解得S1010(4)395.(2)法一Sm12，Sm0，Sm13，amSmSm12，am1Sm1Sm3，公差dam1am1，由Snna1dna1，得由得a1，代入可得m5. 法二数列an为等差数列，且前n项和为Sn，数列也为等差数列，即0，解得m5.经检验为原方程的解故选C.答案(1)C(2)C考点二等差数列的判定与证明【例2】 (20xx梅州调研改编)若数列an的前n项和为Sn，且满足an2SnSn10(n2)，a1.(1)求证：成等差数列；(2)求数列an的通项公式审题路线(1)利用anSnSn1(n2)转化为关于Sn与Sn1的式子同除SnSn1利用定义证明得出结论(2)由(1)求再求Sn再代入条件an2SnSn1，求an验证n1的情况得出结论(1)证明当n2时，由an2SnSn10，得SnSn12SnSn1，所以2，又2，故是首项为2，公差为2的等差数列(2)解由(1)可得2n，Sn.当n2时，anSnSn1.当n1时，a1不适合上式故an规律方法 证明一个数列是否为等差数列的基本方法有两种：一是定义法，证明anan1d(n2，d为常数)；二是等差中项法，证明2an1anan2.若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法【训练2】 已知数列an满足：a12，an13an3n12n.设bn.证明：数列bn为等差数列，并求an的通项公式证明bn1bn1，bn为等差数列，又b10.bnn1，an(n1)3n2n.学生用书第83页考点三等差数列的性质及应用【例3】 (1)设Sn为等差数列an的前n项和，S84a3，a72，则a9()A6 B4 C2 D2(2)在等差数列an中，前m项的和为30，前2m项的和为100，则前3m项的和为_解析(1)S84a34a3a3a6a3，a60，d2，a9a72d246.(2)记数列an的前n项和为Sn，由等差数列前n项和的性质知Sm，S2mSm，S3mS2m成等差数列，则2(S2mSm)Sm(S3mS2m)，又Sm30，S2m100，S2mSm1003070，所以S3mS2m2(S2mSm)Sm110，所以S3m110100210.答案(1)A(2)210规律方法 巧妙运用等差数列的性质，可化繁为简；若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设中间三项为ad，a，ad；若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设中间两项为a d，ad，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元【训练3】 (1)在等差数列an中若共有n项，且前四项之和为21，后四项之和为67，前n项和Sn286，则n_.(2)已知等差数列an中，S39，S636，则a7a8a9_.解析(1)依题意知a1a2a3a421，anan1an2an367.由等差数列的性质知a1ana2an1a3an2a4an3，4(a1an)88，a1an22.又Sn，即286，n26.(2)an为等差数列，S3，S6S3，S9S6成等差数列，2(S6S3)S3(S9S6)a7a8a9S9S62(S6S3)S32(369)945.答案(1)26(2)45 1等差数列的判断方法(1)定义法：an1and(d是常数)an是等差数列(2)等差中项法：2an1anan2(nN*)an是等差数列(3)通项公式：anpnq(p，q为常数)an是等差数列(4)前n项和公式：SnAn2Bn(A、B为常数)an是等差数列2方程思想和化归思想：在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a1和d等基本量，通过建立方程(组)获得解 方法优化4整体代入法(整体相消法)在数列解题中的应用【典例】 (1)(20xx辽宁卷)在等差数列an中，已知a4a816，则该数列前11项和S11()A58 B88 C143 D176(2)(20xx北京卷)若等比数列an满足：a2a420，a3a540，则公比q_；前n项和Sn_.一般解法 (1)设数列an的公差为d，则a4a816，即a13da17d16，即a185d，所以S1111a1d11(85d)55d8855d55d88.(2)由a2a420，a3a540，得即解得q2，a12，Sn2n12.优美解法 (1)由a1a11a4a816，得S1188.(2)由已知，得q2，又a12，所以Sn2n12.反思感悟 整体代入法是一种重要的解题方法和技巧，简化了解题过程，节省了时间，这就要求学生要掌握公式，理解其结构特征【自主体验】在等差数列an中，已知Snm，Smn(mn)，则Smn_.解析设an的公差为d，则由Snm，Smn，得得(mn)a1dnm，mn，a1d1.Smn(mn)a1d(mn)(mn)答案(mn)对应学生用书P287基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1(20xx温州二模)记Sn为等差数列an前n项和，若1，则其公差d()A. B2 C3 D4解析由1，得1，即a1d1，d2.答案B2(20xx潍坊期末考试)在等差数列an中，a5a6a715，那么a3a4a9等于()A21 B30 C35 D40解析由题意得3a615，a65.所以a3a4a97a67535.答案C3(20xx揭阳二模)在等差数列an中，首项a10，公差d0，若ama1a2a9，则m的值为()A37 B36 C20 D19解析由ama1a2a9，得(m1)d9a536dm37.答案A4(20xx郑州模拟)an为等差数列，Sn为其前n项和，已知a75，S721，则S10()A40 B35 C30 D28解析设公差为d，则由已知得S7，即21，解得a11，所以a7a16d，所以d.所以S1010a1d1040.答案A5(20xx淄博二模)已知等差数列an的前n项和为Sn，满足a13S1313，则a1()A14 B13 C12 D11解析在等差数列中，S1313，所以a1a132，即a12a1321311.答案D二、填空题6(20xx肇庆二模)在等差数列an中，a1533，a2566，则a35_.解析a25a1510d663333，a35a2510d663399.答案997(20xx成都模拟)已知等差数列an的首项a11，前三项之和S39，则an的通项an_.解析由a11，S39，得a1a2a39，即3a13d9，解得d2，an1(n1)22n1.答案2n18(20xx浙江五校联考)若等差数列an的前n项和为Sn(nN*)，若a2a352，则S3S5_.解析.答案32三、解答题9已知等差数列an的公差d1，前n项和为Sn.(1)若1，a1，a3成等比数列，求a1；(2)若S5a1a9，求a1的取值范围解(1)因为数列an的公差d1，且1，a1，a3成等比数列，所以a1(a12)，即aa120，解得a11或2.(2)因为数列an的公差d1，且S5a1a9，所以5a110a8a1，即a3a1100，解得5a12.故a1的取值范围是(5,2)10设数列an的前n项和为Sn，a11，an2(n1)(nN*)(1)求证：数列an为等差数列，并求an与Sn.(2)是否存在自然数n，使得S1(n1)22 015？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由证明(1)由an2(n1)，得Snnan2n(n1)(nN*)当n2时，anSnSn1nan(n1)an14(n1)，即anan14，故数列an是以1为首项，4为公差的等差数列于是，an4n3，Sn2n2n(nN*)(2)由(1)，得2n1(nN*)，又S1(n1)21357(2n1)(n1)2n2(n1)22n1.令2n12 015，得n1 008，即存在满足条件的自然数n1 008.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1(20xx咸阳模拟)已知等差数列an的前n项和为Sn，S440，Sn210，Sn4130，则n()A12 B14 C16 D18解析SnSn4anan1an2an380，S4a1a2a3a440，所以4(a1an)120，a1an30，由Sn210，得n14.答案B2等差数列an的前n项和为Sn，已知a113，S3S11，当Sn最大时，n的值是()A5 B6 C7 D8解析法一由S3S11，得a4a5a110，根据等差数列的性质，可得a7a80，根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a70，a80，故n7时，Sn最大法二由S3S11，可得3a13d11a155d，把a113代入，得d2，故Sn13nn(n1)n214n，根据二次函数的性质，知当n7时，Sn最大法三根据a113，S3S11，则这个数列的公差不等于零，且这个数列的和先是单调递增然后又单调递减，根据公差不为零的等差数列的前n项和是关于n的二次函数，以及二次函数图象的对称性，得只有当n7时，Sn取得最大值答案C二、填空题3(20xx九江一模)正项数列an满足：a11，a22,2aaa(nN*，n2)，则a7_.解析因为2aaa(nN*，n2)，所以数列a是以a1为首项，以daa413为公差的等差数列，所以a13(n1)3n2，所以an，n1.所以a7.答案三、解答题4(20xx西安模拟)已知公差大于零的等差数列an的前n项和为Sn，且满足a3a4117，a2a522.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足bn，是否存在非零实数c使得bn为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由解(1)设等差数列an的公差为d，且d0，由等差数列的性质，得a2a5a3a422，所以a3，a4是关于x 的方程x222x1170的解，所以a39，a413，易知a11，d4，故通项为an1(n1)44n3.(2)由(1)知Sn2n2n，所以bn.法一所以b1，b2，b3(c0)令2b2b1b3，解得c.当c时，bn2n，当n2时，bnbn12.故当c时，数列bn为等差数列法二由bn，c0，可令c，得到bn2n.bn1bn2(n1)2n2(nN*)，数列bn是公差为2的等差数列即存在一个非零常数c，使数列bn也为等差数列.学生用书第84页第3讲等比数列及其前n项和最新考纲1理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式及前n项和公式2能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题3了解等比数列与指数函数的关系.知 识 梳 理1等比数列的有关概念(1)等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q0)表示数学语言表达式：q(n2)，q为常数(2)等比中项如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项即：G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列G2ab.2等比数列的通项公式及前n项和公式(1)若等比数列an的首项为a1，公比是q，则其通项公式为ana1qn1；若等比数列an的第m项为am，公比是q，则其第n项an可以表示为anamqnm.(2)等比数列的前n项和公式：当q1时，Snna1；当q1时，Sn.3等比数列及前n项和的性质(1)若an为等比数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则akalaman.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，akm，ak2m，仍是等比数列，公比为qm.(3)当q1，或q1且n为奇数时，Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为qn.(4)若an，bn(项数相同)是等比数列，则an(0)，a，anbn，仍是等比数列辨 析 感 悟1对等比数列概念的理解(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数，则这个数列是等比数列()(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2ac.()(3)若三个数成等比数列，那么这三个数可以设为，a，aq.()2通项公式与前n项和的关系(4)数列an的通项公式是anan，则其前n项和为Sn.()(5)(20xx新课标全国卷改编)设首项为1，公比为的等比数列an的前n项和为Sn，则Sn32an.()3等比数列性质的活用(6)如果数列an为等比数列，则数列ln an是等差数列()(7)(20xx兰州模拟改编)在等比数列an中，已知a7a125，则a8a9a10a1125.()(8)(20xx江西卷改编)等比数列x,3x3,6x6，的第四项等于2或0.()感悟提升1一个区别等差数列的首项和公差可以为零，且等差中项唯一；而等比数列首项和公比均不为零，等比中项可以有两个值如(1)中的“常数”，应为“同一非零常数”；(2)中，若b2ac，则不能推出a，b，c成等比数列，因为a，b，c为0时，不成立2两个防范一是在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q1或q1分类讨论，防止因忽略q1这一特殊情形而导致解题失误，如(4)二是运用等比数列的性质时，注意条件的限制，如(6)中当q0时，ln an1ln anln q无意义.学生用书第85页考点一等比数列的判定与证明【例1】 (20xx济宁测试)设数列an的前n项和为Sn，若对于任意的正整数n都有Sn2an3n，设bnan3.求证：数列bn是等比数列，并求an.证明由Sn2an3n对于任意的正整数都成立，得Sn12an13(n1)，两式相减，得Sn1Sn2an13(n1)2an3n，所以an12an12an3，即an12an3，所以an132(an3)，即2对一切正整数都成立，所以数列bn是等比数列由已知得：S12a13，即a12a13，所以a13，所以b1a136，即bn62n1.故an62n1332n3.规律方法 证明数列an是等比数列常用的方法：一是定义法，证明q(n2，q为常数)；二是等比中项法，证明aan1an1.若判断一个数列不是等比数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法【训练1】 (20xx陕西卷)设an是公比为q的等比数列(1)推导an的前n项和公式；(2)设q1，证明数列an1不是等比数列解(1)设an的前n项和为Sn，当q1时，Sna1a1a1na1；当q1时，Sna1a1qa1q2a1qn1，qSna1qa1q2a1qn，得，(1q)Sna1a1qn，Sn，Sn(2)假设an1是等比数列，则对任意的kN*，(ak11)2(ak1)(ak21)，a2ak11akak2akak21，aq2k2a1qka1qk1a1qk1a1qk1a1qk1，a10，2qkqk1qk1.q0，q22q10，q1，这与已知矛盾假设不成立，an1不是等比数列考点二等比数列基本量的求解【例2】 (20xx湖北卷)已知等比数列an满足：|a2a3|10，a1a2a3125.(1)求数列an的通项公式；(2)是否存在正整数m，使得1？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由审题路线(1)建立关于a1与q的方程组可求解(2)分两种情况，由an再用等比数列求和求得到结论解(1)设等比数列an的公比为q，则由已知可得解得或故an3n1或an5(1)n1.(2)若an3n1，则n1，则是首项为，公比为的等比数列从而1.若an5(1)n1，则(1)n1，故是首项为，公比为1的等比数列，从而故1.综上，对任何正整数m，总有1.故不存在正整数m，使得1成立规律方法 等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程【训练2】 (1)已知an是首项为1的等比数列，Sn是an的前n项和，且9S3S6，则数列的前5项和为_(2)设an是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和已知a2a41，S37，则S5_.解析(1)显然公比q1，由题意可知，解得q2，则数列是以1为首项，为公比的等比数列，由求和公式可得数列的前5项和T5.(2)显然公比q1，由题意得解得或(舍去)，S5.答案(1)(2)考点三等比数列性质的应用【例3】 (1)(20xx新课标全国卷)已知an为等比数列，a4a72，a5a68，则a1a10()A7 B5 C5 D7(2)等比数列
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