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精品资料章末综合测评(一)(时间120分钟,满分160分)一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,请把答案填在题中的横线上)1函数f(x)在点(1,2)处的切线方程为_【解析】f(x),则f(1)1,故函数f(x)在点(1,2)处的切线方程为y(2)x1,即xy30.【答案】xy302若函数f(x)x3f(1)x2x,则f(1)的值为_【解析】f(x)x22f(1)x1,则f(1)122f(1)11,解得f(1)0.【答案】03函数f(x)的导数为_【解析】f(x).【答案】4f(x)2x33x2a的极大值为6,则a_.【解析】f(x)6x26x6x(x1),令f(x)0,则x0或x1.f(x)在(,0)上递增,在(0,1)上递减,在(1,)上递增,f(x)极大值f(0)a,a6.【答案】65若a2,则函数f(x)x3ax21在区间(0,2)恰好有_个零点【解析】f(x)x22axx(x2a),令f(x)0得x10,x22a4,x(0,2)时,f(x)0,f(2)4a0,f(0)f(2)0,函数f(x)x3ax2bxc在区间2,2上单调递减,则4ab的最大值为_. 【导学号:01580029】【解析】f(x)x3ax2bxc,f(x)3x22axb,函数f(x)在区间2,2上单调递减,即即4ab12,4ab的最大值为12.【答案】129已知函数f(x),g(x)aln x,aR.若曲线yf(x)与曲线yg(x)相交,且在交点处有相同的切线,则a_,切线方程为_【解析】f(x),g(x)(x0),由已知得解得a,xe2,两条曲线交点的坐标为(e2,e),切线的斜率为kf(e2),切线方程为ye(xe2),即x2eye20.【答案】x2eye2010(2016郑州联考)已知f(x)x22xf(2 015)2 015ln x,则f(2 015)_.【解析】由题意得f(x)x2f(2 015),所以f(2 015)2 0152f(2 015),即f(2 015)(2 0151)2 016.【答案】2 01611(2015河北石家庄模拟)若对于曲线f(x)exx(e为自然对数的底数)的任意切线l1,总存在曲线g(x)ax2cos x的切线l2,使得l1l2,则实数a的取值范围为_【解析】易知函数f(x)exx的导数为f(x)ex1,设l1与曲线f(x)exx的切点为(x1,f(x1),则l1的斜率k1ex11.易知函数g(x)ax2cos x的导数为g(x)a2sin x,设l2与曲线g(x)ax2cos x的切点为(x2,g(x2),则l2的斜率k2a2sin x2.由题设可知k1k21,从而有(ex11)(a2sin x2)1,a2sin x2,故由题意知对任意实数x1,总存在x2使得上述等式成立,则函数y的值域是ya2sin x值域的子集,则(0,1)a2,a2,则1a2.【答案】1,212已知函数f(x)mx3nx2的图象在点(1,2)处的切线恰好与直线3xy0平行,若f(x)在区间t,t1上单调递减,则实数t的取值范围是_【解析】f(x)3mx22nx,且f(x)在点(1,2)处的切线恰好与直线3xy0平行解之得因此f(x)3x26x.令f(x)0,得2x0.f(x)的单调减区间为2,0依题意t2且t10,2t1.【答案】2,113(2016浙江六校联考)函数yln xx2的图象与函数y3xb的图象有3个不同的交点,则实数b的取值范围是_【解析】函数yln xx2的图象与函数y3xb的图象有3个不同的交点,等价于ln xx23xb有3个不同的解,等价于b3xln xx2有3个不同的解,对f(x)3xln xx2求导,得f(x)32x,易知函数在,(1,)上递减,在上递增,所以只要满足fbf(1),所以ln 2b2.【答案】14当x2,1时,不等式ax3x24x30恒成立,则实数a的取值范围是_【解析】当x0时,30恒成立,aR.当00,h(x)递增,h(x)最大值h(1)6,a6.当2x0时,a.易知h(x)在2,1)上递减,在(1,0)上递增h(x)最小值h(1)2,a2.综上,6a2.【答案】6a2二、解答题(本大题共6小题,共90分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)15(本小题满分14分)已知函数f(x)ax2axb,f(1)2,f(1)1.(1)求f(x)的解析式;(2)求f(x)在(1,2)处的切线方程【解】(1)f(x)2axa,由已知得解得f(x)x22x.(2)f(1)1,f(x)在(1,2)处切线的斜率为1,故所求切线方程为y2x1,即xy10.16(本小题满分14分)(2016北京高考)设函数f(x)xeaxbx,曲线yf(x)在点(2,f(2)处的切线方程为y(e1)x4.(1)求a,b的值;(2)求f(x)的单调区间【解】(1)因为f(x)xeaxbx,所以f(x)(1x)eaxb.依题设,即解得(2)由(1)知f(x)xe2xex.由f(x)e2x(1xex1)及e2x0知,f(x)与1xex1同号令g(x)1xex1,则g(x)1ex1.所以,当x(,1)时,g(x)0,g(x)在区间(1,)上单调递增故g(1)1是g(x)在区间(,)上的最小值,从而g(x)0,x(,)综上可知,f(x)0,x(,),故f(x)的单调递增区间为(,)17(本小题满分14分)设函数f(x)a2ln xx2ax(a0)(1)求f(x)的单调区间;(2)求实数a,使e1f(x)e2对x1,e恒成立【解】(1)f(x)a2ln xx2ax,其中x0,f(x)2xa,由于a0,f(x)的增区间为(0,a),减区间(a,)(2)由题意得,f(1)a1e1,即ae,由(1)知f(x)在1,e上单调递增,要使e1f(x)e2对x1,e恒成立,只要解得ae.18(本小题满分16分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12 000元(为圆周率)(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大【解】(1)因为蓄水池侧面的总成本为1002rh200rh元,底面的总成本为160r2元,所以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元又据题意200rh160r212 000,所以h(3004r2),从而V(r)r2h(300r4r3)因r0,又由h0可得0r5,故函数V(r)的定义域为(0,5)(2)因V(r)(300r4r3),(0r0,故V(r)在(0,5)上为增函数;当r(5,5)时,V(r)0,故f(x)在(,2)上为增函数;当x(2,2)时,f(x)0,故f(x)在(2,)上为增函数由此可知f(x)在x12处取得极大值f(2)16c,f(x)在x22处取得极小值f(2)c16.由题设条件知16c28,得c12.此时f(3)9c21,f(3)9c3,f(2)16c4,因此f(x)在3,3上的最小值为f(2)4.20(本小题满分16分)(2015全国卷)在直角坐标系xOy中,曲线C:y与直线l:ykxa(a0)交于M,N两点(1)当k0时,分别求C在点M和N处的切线方程;(2)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有OPMOPN?说明理由. 【导学号:01580030】【解】(1)由题设可得M(2,a),N(2,a),或M(2,a),N(2,a)又y,故y在x2处的导数值为,C在点(2,a)处的切线方程为ya(x2),即xya0.y在x2处的导数值为,C在点(2,a)处的切线方程为ya(x2),即xya0.故所求切线方程为xya0和xya0.(2)存在符合题意的点证明如下:设P(0,b)为符合题意的点,M(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别为k1,k2.将ykxa代入C的方程,得x24kx4a0.故x1x24k,x1x24a.从而k1k2.当ba时,有k1k20,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,故OPMOPN,所以点P(0,a)符合题意
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