高考数学 专题二 数列 第2讲 数列的求和问题 理

第2讲数列的求和问题专题二数列板块三专题突破核心考点考情考向分析高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求一般数列的和，体现了转化与化归的思想.热点分类突破真题押题精练内容索引热点分类突破有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并.热点一分组转化法求和解答例例1(2018西南名校联盟月考)在各项均为正数的等比数列an中，a1a34，a3是a22与a4的等差中项，若an1 (nN*).(1)求数列bn的通项公式；2nb解解设等比数列an的公比为q，且q0，由an0，a1a34，得a22，又a3是a22与a4的等差中项，故2a3a22a4，22q222q2，q2或q0(舍).ana2qn22n1，an12n ，bnn(nN*).2nb解答在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思想.把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和，在求和时要分清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解.在利用分组求和法求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数n进行讨论，最后再验证是否可以合并为一个公式.思维升华思维升华解答跟踪演练跟踪演练1(2018焦作模拟)已知an为等差数列，且a23，an前4项的和为16，数列bn满足b14，b488，且数列bnan为等比数列(nN*).(1)求数列an和bnan的通项公式；解解设an的公差为d，因为a23，an前4项的和为16，解得a11，d2，所以an1(n1)22n1(nN*).设bnan的公比为q，则b4a4(b1a1)q3，所以bnan(41)3n13n(nN*).解答(2)求数列bn的前n项和Sn.解解由(1)得bn3n2n1，所以Sn(332333n)(1352n1)热点二错位相减法求和错位相减法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列anbn的前n项和，其中an，bn分别是等差数列和等比数列.解答例例2(2018百校联盟联考)已知数列an满足a1a3，an1 ，设bn2nan(nN*).(1)求数列bn的通项公式；所以bnb13(n1)3n1(nN*).所以数列bn是公差为3的等差数列，又a1a3，(2)求数列an的前n项和Sn.解答(1)错位相减法适用于求数列anbn的前n项和，其中an为等差数列，bn为等比数列.(2)所谓“错位”，就是要找“同类项”相减.要注意的是相减后得到部分求等比数列的和，此时一定要查清其项数.(3)为保证结果正确，可对得到的和取n1,2进行验证.思维升华思维升华跟踪演练跟踪演练2(2018滨海新区七所重点学校联考)已知数列an的前n项和是Sn，且Sn an1(nN*).数列bn是公差d不等于0的等差数列，且满足：b1 a1，b2，b5，b14成等比数列.(1)求数列an，bn的通项公式；解答b11，d22d0，因为d0，解得d2，bn2n1(nN*).(2)设cnanbn，求数列cn的前n项和Tn.解答裂项相消法是指把数列和式中的各项分别裂开后，某些项可以相互抵消从而求和的方法，主要适用于 或 (其中an为等差数列)等形式的数列求和.热点三裂项相消法求和解答例例3(2018天津市十二校模拟)已知数列an的前n项和Sn满足：Sna(Snan1) (nN*)(a为常数，a0，a1).(1)求an的通项公式；解解Sna(Snan1)，n1时，a1a.n2时，Sn1a(Sn1an11)，SnSn1ana(SnSn1)aanaan1，数列an是以a为首项，a为公比的等比数列，anan(nN*).解答(2)设bnanSn，若数列bn为等比数列，求a的值；解解由bnanSn得，b12a，b22a2a，b32a3a2a.数列bn为等比数列，解答(1)裂项相消法的基本思想就是把通项an分拆成anbnkbn(k1，kN*)的形式，从而在求和时达到某些项相消的目的，在解题时要善于根据这个基本思想变换数列an的通项公式，使之符合裂项相消的条件. (2)常用的裂项公式思维升华思维升华解答跟踪演练跟踪演练3(2018华大新高考联盟质检)已知数列an为递增数列，a11，其前n项和为Sn，且满足2Sna 2Sn11(n2，nN*).(1)求数列an的通项公式；又数列an为递增数列，a11，anan10，anan12(n3)，a2a12，符合anan12，an是以1为首项，以2为公差的等差数列，an1(n1)22n1(nN*).解答又nN*，n的最小值为10.真题押题精练真题体验答案解析解析解析 设等差数列an的公差为d，2.(2017天津)已知an为等差数列，前n项和为Sn(nN*)，bn是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2b312，b3a42a1，S1111b4.(1)求an和bn的通项公式；解答解解设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q.由已知b2b312，得b1(qq2)12，而b12，所以q2q60.又因为q0，解得q2，所以bn2n.由b3a42a1，可得3da18，由S1111b4，可得a15d16，联立，解得a11，d3，由此可得an3n2(nN*).所以数列an的通项公式为an3n2(nN*)，数列bn的通项公式为bn2n(nN*).(2)求数列a2nb2n1的前n项和(nN*).解答解解设数列a2nb2n1的前n项和为Tn，由a2n6n2，b2n124n1，得a2nb2n1(3n1)4n，故Tn24542843(3n1)4n，4Tn242543844(3n4)4n(3n1)4n1， ，得3Tn2434234334n(3n1)4n1押题预测答案解析押题依据押题依据押题依据数列的通项以及求和是高考重点考查的内容，也是考试大纲中明确提出的知识点，年年在考，年年有变，变的是试题的外壳，即在题设的条件上有变革，有创新，但在变中有不变性，即解答问题的常用方法有规律可循.1押题依据押题依据错位相减法求和是高考的重点和热点，本题先利用an，Sn的关系求an，也是高考出题的常见形式.解答押题依据解解当n1时，a1S11，当n2时，anSnSn12n1(nN*)，又a11满足an2n1，an2n1(nN*).且bn0，2bn1bn，解答(2)设cnanbn，求数列cn的前n项和Tn.