高考备考：高中数学易错点梳理附详细解析

2016 年高考备考：高中数学易错点梳理附详细解析一、集合与简易逻辑易错点 1对集合表示方法理解存在偏差【问题】 1:已知 A x | x0, B y y 1 ，求 A IB 。错解： AIB剖析：概念模糊，未能真正理解集合的本质。正确结果： A I BB【问题】 2: 已知 A y | yx 2, B( x, y) | x2y24 ，求 AI B。错解：A I B(0,2),(2,0)正确答案： A I B剖析：审题不慎，忽视代表元素，误认为A 为点集。反思：对集合表示法部分学生只从形式上“掌握 ”，对其本质的理解存在误区，常见的错误是不理解集合的表示法，忽视集合的代表元素。易错点 2在解含参数集合问题时忽视空集【问题】 :已知 A x | 2ax a2, B x | 2 x1 ，且 A B ，求 a的取值范围。错解： -1， 0）剖析：忽视A的情况。正确答案： -1， 2反思：由于空集是一个特殊的集合，它是任何集合的子集，因此对于集合AB 就有可能忽视了 A，导致解题结果错误。尤其是在解含参数的集合问题时，更应注意到当参数在某个范围内取值时， 所给的集合可能是空集的情况。 考生由于思维定式的原因， 往往会在解题中遗忘了这个集合，导致答案错误或答案不全面。易错点 3在解含参数问题时忽视元素的互异性【问题】 :已知 1 a 2 , (a 1)2, a23a 3 ，求实数 a 的值。错解： a2, 1,0剖 析 ： 忽 视 元 素 的 互 异 性 ， 其 实 当 a2 时 ， (a 1)2= a23a3 =1 ； 当 a1 时 ，a 2 = a23a 3 =1；均不符合题意。正确答案： a0反思：集合中的元素具有确定性、互异性、无序性，集合元素的三性中的互异性对解题的影响最大，特别是含参数的集合， 实际上就隐含着对字母参数的一些要求。 解题时可先求出字母参数的值，再代入验证。易错点 4命题的否定与否命题关系不明【问题】 : 写出 “若 aM 或aP ，则 aM I P ”的否命题。错解一：否命题为“若 aM 或 aP ，则 aM I P ”剖析：概念模糊，弄错两类命题的关系。错解二：否命题为 “若 aM 或 aP ，则 aMIP”剖析：知识不完整， aM 或aP 的否定形式应为 aM 且aP 。正确答案：若 a M 且 a P ，则 aM I P反思：命题的否定是命题的非命题，也就是“保持原命题的条件不变，否定原命题的结论作为结论 ”所得的命题，但否命题是 “否定原命题的条件作为条件，否定原命题的结论作为结论”所得的命题。对此。考生可能会犯两类错误概念不清，不会对原命题的条件和结论作出否定；审题不够细心。易错点 5 充分必要条件颠倒出错0b0a b0ab0:a且且”的【问题】 已知 a, b 是实数，则 “”是 “A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件错解：选B剖析：识记不好，不能真正理解充要条件概念，未能掌握判断充要条件的方法。正确答案： C反思：对于两个条件A, B ，如果 AB ，则 A 是 B 的充分条件，B 是 A 的必要条件，如果A B ，则 A 是 B 的充要条件。判断充要条件常用的方法有定义法；集合法；等价法。解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性， 所以在解决这类问题时， 一定要分清条件和结论，根据充要条件的定义，选择恰当的方法作出准确的判断，不充分不必要常借助反例说明。易错点 6 对逻辑联结词及其真值表理解不准【问题】 : 命题 p：若 a、 b R，则 ab1是 ab1的充分而不必要条件；命题q：函数y=| x1|2 的定义域是（， 1 3，+)，则A“ p或 q ”为假B“p且 q ”为真Cp真 q假Dp假 q真错解一：选A 或B剖析：对真值表记忆不准，本题中p假 q真 ，因此 “p或 q ”为真，而 “p且 q ”为假。错法二：选 C剖析：基础不牢，在判断命题p, q 真假时出错。正确答案： D反思：含逻辑联结词 “或 ”、“且 ”、 “非”的命题称为复合命题。在判断复合命题真假时，常常因为对概念理解不准确或真值表记不清而出现错误。为此准确理解概念、巧记真值表是解题的关键。这里介绍一种快速记忆真值表的方法：“p或 q ”有真则真； “p且 q ”有假则假； “非 p ”真假相反。易错点 7否定全称、特称命题出错【问题】写出下列命题的否定：p ：对任意的正整数x,x 2x；q：存在一个三角形，它的内角和大于1800 ；r:三角形只有一个外接圆。错解：p ：对任意的正整数x,x 2x； q ：所有的三角形的内角和小于 1800 ； r : 存在一个三角形有且只有一个外接圆。剖析：知识欠缺，基础不牢导致出错。正确答案：p ：存在正整数 x, 使 x 2x ； q ：所有的三角形的内角和都不大于1800 ； r : 存在一个三角形至少有两个外接圆。反思：全称命题p :xM , p( x) ，它的否定p :xM ,p( x) ，特称命题 p :xM , p( x) ，它的否定p :xM ,p(x) 。一般来说，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。切记对全称、特称命题的否定，不仅要否定结论p( x) ，而且还要对量词“ 和”进行否定。另外，对一些省略了量词的简化形式，应先将命题写成完整形式，再依据法则来写出其否定形式。二、函数与导数易错点 8求函数定义域时条件考虑不充分【问题】 : 求函数 y=1+ ( x1)0 的定义域。32xx2错解： -3， 1剖析：基础不牢，忽视分母不为零；误以为( x1)0 =1 对任意实数成立。正确答案：3,1 U1,1反思：函数定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，因此求定义域时就要根据函数解析式把各种情况下的自变量的限制条件找出来，列成不等式组， 不等式组的解集就是该函数定义域。在求函数的定义域时应注意以下几点分式的分母不为零；偶次根式被开方式非负；对数的真数大于零；零的零次幂没有意义；函数的定义域是非空的数集。易错点 9求复合函数定义域时忽视“内层函数的值域是外层函数的定义域”【问题】已知函数f xlog 3 x2, x1,9 , 求函数 yf x2f x 2的值域。错 解 ： 设 tlog 3 x， Q x1,9 , t 0,2，yt 26t6 ， Q t0,2，函数的值域是 6,22。剖析：知识欠缺，求函数 yf x 2f x 2 定义域时，应考虑1x9.1x29正确答案： 函数的值域是6,13反思：在复合函数中，外层函数的定义域是内层函数的值域，求复合函数定义域类型为：若已知f ( x)的定义域为a,b ,f g(x)的定义域可由不等式a g( x) b解出即其复合函数可；若已知f g( x)的定义域为a,b求g( x)的定义域， 相当于xa,b时，求g( x)的值域,（即 f (x)的定义域）。易错点分析 10判断函数奇偶性时忽视定义域【问题】 1: 判断函数 y( x1)(x21) 的奇偶性。x( x 1)错解：原函数即x21yx，为奇函数剖析：只关注解析式化简，忽略定义域。正确答案：非奇非偶函数。【问题】 2: 判断函数 f ( x)x211x2的奇偶性。错解： Q f ( x)f ( x) ，为偶函数剖析：不求函数定义域只看表面解析式，只能得到偶函数这一结论，导致错误。正确答案：既奇且偶函数。反思：函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。如果不具备这个条件，一定是非奇非偶函数。在定义域关于原点对称的前提下，如果对定义域内任意x 都有 f (x)f ( x) ，则f ( x) 为奇函数；如果对定义域内任意x 都有 f (x)f ( x) ，则 f ( x) 为偶函数，如果对定义域内 存 在 x0 使 f ( x0 )f (x0 ) ， 则 f ( x) 不 是 奇 函 数 ； 如 果 对 定 义 域 内 存 在 x0 使f ( x0 )f ( x0 ) ，则 f ( x) 不是偶函数。易错点11求复合函数单调区间时忽视定义域【问题】 :求函数 y log 0.5 (4 3xx2 ) 的增区间。错解一：外层函数为减函数，内层函数u 43xx2 减区间为 3 ,) ，原函数增区间为 3 ,2) 。2剖析：基础不牢，忽视定义域问题错解二：43x x20 ，函数定义域为1,4，又内层函数 u4 3x x2在 (1,3 为增332函数，在 ,) 为减函数，原函数增区间为(1, 。22剖析：识记不好，对复合函数单调性法则不熟练。正确答案： 3 , 4)2反思：求复合函数单调区间一般步骤是求函数的定义域；作出内层函数的图象；用“同增异减 ”法则写单调区间。解此类题通常会出现以下两类错误：一是忽视定义域；二是“同增异减 ”法则不会或法则用错。易错点 12解 “二次型函数 ”问题时忽视对二次项系数的讨论【问题】 : 函数 f ( x)(m1)x22(m1)x1 的图象与 x 轴只有一个交点，求实数m 的取值范围。错解：由0 解得 m0或 m3m10剖析：知识残缺，分类讨论意识没有，未考虑的情况。正确答案：3,0,1反思：在二次型函数 yax2bxc 中，当 a0时为二次函数， 其图象为抛物线； 当 a0, b 0时为一次函数，其图象为直线。在处理此类问题时，应密切注意x2项的系数是否为0，若不能确定，应分类讨论，另外有关三个“二次 ”之间的关系的结论也是我们应关注的对象。例如：ax 2bxc0解集为 Ra0,0或 a=b=0,c0ax 2bxc0解集为a0,0或 a=b=0,c0易错点 13用函数图象解题时作图不准【问题】 :求函数 f ( x)x2 的图象与直线f ( x)2x 的交点个数。错解：两个剖析：忽视指数函数与幂函数增减速度快慢对作图的影响。正确答案：三个反思： “数形结合 ”是重要思想方法之一，以其准确、快速、灵活及操作性强等诸多优点颇受数学学习者的青睐。但我们在解题时应充分利用函数性质，画准图形，不能主观臆造，导致图形“失真 ”，从而得出错误的答案。易错点 14忽视转化的等价性【问题】 1: 已知方程 mx23x 1 0 有且只有一个根在区间 （ 0，1）内，求实数 m的取值范围。错解：方程 mx23x 10有且只有一个根在区间（ 0， 1）内，函数 y mx23x 1 的图象与 x 轴在（ 0， 1）内有且只有一个交点，f (0) f (1)0 ，解得 m2剖析：知识残缺，在将方程转化为函数时，应考虑到=0 情况。正确答案： m2 且 m=9/4【问题】 2:函数 y e|ln x| | x1 |的图象大致是（）剖析：在转化过程中，去绝对值时出错，从而得到错误的图象。在图象变换过程中出错，搞错平移方向。正确答案： D反思：等价转化是数学的重要思想方法之一， 处理得当会起到意想不到的效果， 但等价转化的前提是转化的等价性，反之会出现各种离奇的错误。易错点 15 分段函数问题【问题】 1:.已知 f ( x)2a x 1 x1是 R 上的增函数，求a 的取值范围。axx1错解： (1,2)剖析：知识残缺，只考虑到各段函数在相应定义域内为增函数，忽视f (x) 在分界点附近函数值大小关系。正确答案：3 ,2)2【问题】 2: 设函数 f (x)x2bx c, x 0, x0, 若 f ( 4) f (0), f ( 2)2 ，求关于x 的方程2,x0.f (x)x 解的个数。错解：两个剖析：基础不实，分类讨论意识没有，未能将方程f (x)x 分两种情况来解。正确答案：三个反思：与分段函数相关的问题有作图、求值、求值域、解方程、解不等式、研究单调性及讨论奇偶性等等。 在解决此类问题时， 要注意分段函数是一个函数而不是几个函数， 如果自变量取值不能确定，要对自变量取值进行分类讨论，同时还要关注分界点附近函数值变化情况。易错点 16 函数零点定理使用不当【问题】若函数f ( x) 在区间 -2,2 上的图象是连续不断的曲线，且 f ( x) 在（ -2,2）内有一个零点，则 f(-2) f(2)的值（ ）A大于0B小于 0C 等于0D 不能确定错解：由函数零点存在定理知，f(-2)f(2)0 ， 故选 B剖析：没有正确理解函数零点的含义及存在性，若函数f ( x) 在（ -2,2）内有一个零点，且该零点为 “变号零点 ”，则 f(-2) f(2)0，否则 f(-2) f(2) . 0正确答案： D反思：函数零点定理是指如果函数f ( x) 在区间 a, b 上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f ( a) f (b)0，那么函数f ( x) 在区间 (a,b) 内有零点。解决函数零点问题常用方法有定理法、图象法和方程法。函数零点又分为“变号零点 ”和 “不变号零点 ”，函数零点定理仅适用于 “变号零点 ”，对 “不变号零点 ”无能为力。易错点 17混淆两类切线的概念【问题】 : 若直线 y = kx 与曲线 yx33x22x 相切试求 k 的值。（提示 y=kx 即过原点的切线）错解： Q y3x26x 2，斜率 k2，剖析：知识残缺，过某点的切线并非在某点处的切线。正确答案：k2或 k14反思：曲线在点P 处的切线 ”P为切点且 P 在曲线上，而 “过点 P 的切线 ”仅能说明点 P 在曲线的切线上。易错点 18误解 “导数为 0”与 “有极值 ”的逻辑关系【问题】 :函数 f ( x)x3ax2bxa2 在 x=1 处有极值10，求 a, b 的值。错解：由 f(1)10, f(1)0解得 a4,b11或 a3,b 3剖析：对 “导数为 0”与 “有极值 ”逻辑关系分辨不清， 错把f (x0 ) 为极值的必要条件当作充要条件。正确答案： a=4,b=-11反思：在使用导数求函数极值时，很容易出现的错误是求出使导函数等于0 的点，而没有对这些点左右两侧导函数的符号进行判断，误以为使导函数等于0 的点就是函数的极值点。出现这种错误的原因就是对导数与极值关系不清。可导函数在一点处的导函数值为0 只是这个函数在此点取到极值的必要条件，充要条件是f ( x0 )0且f ( x)在 x0 两侧异号。易错点19对 “导数值符号 ”与 “函数单调性 ”关系理解不透彻【问题】:若函数f (x)ax 3x 在R 上为减函数，求实数a 的取值范围。错解：由f ( x)=3 ax210 在 R 上恒成立，a0，解得a012a0剖析：概念模糊，错把f (x) 在某个区间上是单调增（减）函数的充分条件当成充要条件。事实上 a 0时满足题意。正确答案： a 0反思：一个函数在某个区间上单调增（减）的充要条件是这个函数的导函数在此区间上恒大（小）于等于 0，且导函数在此区间的任意子区间上都不恒为0。切记导函数在某区间上恒大（小）于0 仅为该函数在此区间上单调增（减）的充分条件。易错点 20对 “导函数值正负”与 “原函数图象升降”关系不清楚【问题】 : 已知函数f(x)的导函数f (x)的图象如图所示，则y = f(x)的图象最有可能的是_.错解：选 A, B, D剖析：概念不清，凭空乱猜，正确解法是由于f (0) f(2)0 ，且两边值符号相反，故0 和 2为极值点；又因为当x 0和x 2 时， f(x)0，当0x2 时， f (x)0 ，所以函数 f (x)在 (,0) 和 (2,+) 上为增函数，在 (0,2) 上为减函数。正确答案： C反思：解答此类题的关键是抓住导函数的零点与原函数的极值点关系 极值点的导数值为0；导函数值的符号与原函数单调性的关系 原函数看增减，导函数看正负。易错点 21 求解函数的反函数易漏掉确定原函数的值域即反函数的定义域。例 fxa2x 1 是 R 上的奇函数，（ 1）求 a 的值（ 2）求的反函数f 1x12x剖析： 求解已知函数的反函数时，易忽略求解反函数的定义域即原函数的值域而出错。解析：（ 1）利用 fxfx0 （或 f00 ）求得 a=1.（2）由 a1即 f x2x1 ，设 yfx ,则 2x 1 y1y 由于 y1 故 2x1y ，2x11y1y2x121xx log 21y，而 fx11,1 所以 f1x log1x1x12x12x12反思：（ 1）在求解函数的反函数时，一定要通过确定原函数的值域即反函数的定义域在反函数的解析式后表明（若反函数的定义域为R 可省略）。（2）应用 f 1(b)af (a)b 可省略求反函数的步骤，直接利用原函数求解但应注意其自变量和函数值要互换。【练 3】函数 f xx 11 x1 的反函数是（）A 、 y x22x 2 x 1B 、 y x22x 2 x 1C、 y x22x x 1D 、 y x22x x 1答案： B三、数列易错点 22由 Sn 求 an 时忽略对 “n 1 ”检验【问题】 :已知数列 an 的前 n项和 Sn n2n1 ，求 an 。错解：由 an =Sn Sn1 解得 an =2 n 2剖析：考虑不全面，错误原因是忽略了an =SnSn1 成立的条件 n2，实际上当 n=1 时就出现了S ，而 S 是无意义的，所以使用an =Sn Sn 1 求 an ，只能表示第二项以后的各项，而第一项能00否用这个 an 表示，尚需检验。正确答案：1(n1)an2( n2, n*2nN )反 思 ： 在 数 列 问 题 中 ， 数 列 的 通 项 an与 其 前 n项 和 Sn 之 间 关 系 如 下anS1(n 1)，在使用这个关系式时，要牢牢记住其分段的特点。当题中给出数SnSn 1 ( n 2, n N * )列 an 的 an 与 Sn 关系时，先令 n 1 求出首项 a1 ，然后令 n2 求出通项 an SnSn 1 ，最后代入验证。解答此类题常见错误为直接令n2 求出通项 anSn Sn 1 ，也不对 n1进行检验。易错点 23忽视两个 “中项 ”的区别【问题】 : b2ac 是 a, b,c 成等比数列的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C充要条件D 既不充分有不必要条件错解： C剖析：思维不缜密，没有注意到当b2ac 时， a, b, c 可能为 0。正确答案： B反思：若 a,b,c 成等比数列，则b 为 a 和 c 的等比中项。由定义可知只有同号的两数才有等比中项， “2acbc 的等比中项 ”的必要不充分条件，在解题时务必要注意此点。b”仅是 “ 为 a 和易错点24 在数列求和中对求一等差数列与一等比数列的积构成的数列的前n 项和不会采用错项相减法或解答结果不到位。【问题】 已知数列a是等差数列，且 a12, a1a2a312n（1）求数列an的通项公式（2）令 bnan xnxR 求数列bn前项和的公式。剖析： 本题根据条件确定数列an的通项公式再由数列bn的通项公式分析可知数列 bn是一个等差数列和一个等比数列构成的“差比数列”，可用错项相减的方法求和。解析：（ 1）易求得 an2n（2）由（ 1）得 bn2nxn 令 sn2x4 x26x3K2nxn （）则xsn2x24x3K2 n1 xn2nxn1（）用（）减去（） （注意错过一位再相减）得2x22x32xn2nxn1 sn2x 1xn1xsn2xK1当 x11nxn 1当 x 1时xxsn246K2nn n1综上可得：当 x 1 sn2x 1xnnxn 1当 x1时 sn2 4 6K2n n n111xx反思： 一般情况下对于数列cn有 cnan bn 其中数列a和 b分别为等差数列和等比数列，则其前nnn项和可通过在原数列的每一项的基础上都乘上等比数列的公比再错过一项相减的方法来求解，实际上课本上等比数列的求和公式就是这种情况的特例。【练】已知 unanan1ba n2b2Kabn 1bnnN, a0, b0 当 ab 时，求数列an的前 n 项和 sn答案： a 1时 snn 1 an 2n 2 a n 1a22a1 时 snn n 31a2当 a2.易错点 25:不能根据数列的通项的特点寻找相应的求和方法，在应用裂项求和方法时对裂项后抵消项的规律不清，导致多项或少项。1111例、求 Sn121232311n剖析： 本题解答时一方面若不从通项入手分析各项的特点就很难找到解题突破口，其次在裂项抵消中间项的过程中，对消去哪些项剩余哪些项规律不清而导致解题失误。解：由等差数列的前n 项和公式得 123nn(n 1)，2122(11) ， n 取 1， 2 ， 3 ， ，就分别得到1,1,1， ，1 2 3n n( n 1)n n 11121231)1111)11 Sn2(12()2(42()2233nn 112n2(1)反思：“裂项法” 有两个特点， 一是每个分式的分子相同；二是每项的分母都是两个数（也可三个或更多）相乘，且这两个数的第一个数是前一项的第二个数，如果不具备这些特点，就要进行转化。 同是要明确消项的规律一般情况下剩余项是前后对称的。常见的变形题除本题外，还有其它形式，例如：求1111122 224 326n 2，方法还是抓通项，即2n11111) ，问题会很容易解决。另外还有一些类似“裂项法”的题目，如：n 22nn(n2)2(n 2nan1，求其前 n 项和，可通过分母有理化的方法解决。数列求和的常用方法：公式法、裂项相nn1消法、错位相减法、倒序相加法等。【练】求和 Sn221421621 (2n)21 221421621(2n)21答案： Sn111111111112n1335512n12n n1712n易错点 26等比数列求和时忽视对q 讨论【问题】 :在等比数列 an 中， Sn 为其前 n 项和，且 S33a3 ，求它的公比q。错解： Q S3 = a1 (1 q3 )3a3 ，解得 q=- 11q2剖析：知识残缺，直接用等比数列的求和公式，没有对公比q 是否等于1 进行讨论，导致失误。1正确答案： q=-或 q=1反思：与等差数列相比，等比数列有一些特殊性质，如等比数列的每一项包括公比均不为0，等比数列的其前n 项和 Sn 为分段函数，其中当q=1 时， Snna1 。而这一点正是我们解题中被忽略的。n 项，有时只有 n 1易错点 27用错了等差、等比数列的相关公式与性质【问题】 :已知等差数列an 的前 m 项和为 30，前 2m 项和为 100，求它的前3m 项和 S3 m 。错解一： 170剖析：基础不实，记错性质，误以为Sm , S2 m, S3m 成等差数列。错解二： 130剖析：基础不实，误以为Sm, S2m , S3m 满足 S3mSmS2m 。正确答案： 210反思：等差、等比数列各自有一些重要公式和性质（略），这些公式和性质是解题的根本，用错了公式和性质， 自然就失去了方向。解决这类问题的一个基本出发点就是考虑问题要全面，把各种可能性都考虑进去，认为正确的命题给予证明，认为不正确的命题举出反例予以说明。易错点 28用错位相减法求和时项数处理不当【问题】 :求和 Sn13a5a2L(2 n1)an 1 。剖析：考虑不全面，未对a 进行讨论，丢掉a1 时的情形。将两个和式错位相减后，成等比数列的项数弄错。将两个和式错位相减后，丢掉最后一项。n2( a1)正确答案： sn12a(1an 1 )2n1 n( a 1)1a(1a)21aa反思：如果一个数列为一个等差数列和一个等比数列对应项积所得到的，那么该数列可用错位相减法求和。基本方法是设这个和式为Sn，在这个和式的两端同时乘以等比数列的公比得到另一个和式，将这两个和式错位相减，得到一个新的和式，该式分三部分原来数列的第一项；一个等比数列的前n-1 项和； 原来数列的第n 项乘以公比的相反数。在用错位相减法求和时务必要处理好这三个部分，特别是等比数列的项数，有时含原来数列的第一项共项。另外，如果公比为字母需分类讨论。易错点 29 利用函数知识求解数列的最大项及前n 项和最大值时易忽略其定义域限制是正整数集或其子集（从1 开始）【问题】 等差数列an 的首项 a10 ，前 n 项和 sn ，当 lm 时，smsl 。问 n 为何值时 sn 最大 ?剖析： 等差数列的前 n 项和是关于 n 的二次函数，可将问题转化为求解关于n 的二次函数的最大值，但易忘记此二次函数的定义域为正整数集这个限制条件。解析：由题意知 sn = f nna1n n1d n2a1dn 此函数是以 n 为变量的二次函数，因2d22为 a10 ，当 lm时， smsl 故 d0flm即此二次函数开口向下，故由lf m 得当 x时lm2f x取得最大值，但由于 nN，故若 lm 为偶数，当 n时， sn 最大。2当 lm 为奇数时，当 nlm12时 sn 最大。反思： 数列的通项公式及前n 项和公式都可视为定义域为正整数集或其子集（从1 开始）上的函数，因此在解题过程中要树立函数思想及观点应用函数知识解决问题。特别的等差数列的前n 项和公式是关于n 的二次函数且没有常数项， 反之满足形如snan2bn 所对应的数列也必然是等差数列的前n 项和。此时由 snan bn知数列中的点n, sn 是同一直线上， 这也是一个很重要的结论。 此外形如前 n 项和 sn canc 所对应的数n列必为一等比数列的前n 项和。【练】设an 是等差数列，sn 是前 n 项和，且 s5s6 ， s6s7 s8 ，则下列结论错误的是（）A 、 d0B 、 a7 0C、 s9s5D、 s6 和 s7 均为 sn 的最大值。答案： C（提示利用二次函数的知识得等差数列前n 项和关于 n 的二次函数的对称轴再结合单调性解答）易错点30解答数列问题时没有结合等差、等比数列的性质解答使解题思维受阻或解答过程繁琐。【问题】已知关于的方程 x23x a0 和 x23x b0 的四个根组成首项为3的等差数列，求 a b4的值。剖析： 注意到两方程的两根之和相等这个隐含条件，结合等差数列的性质明确等差数列中的项是如何排列的。解析：不妨设3 是方程 x23xa0 的根，由于两方程的两根之和相等故由等差数列的性质知方程4x23x a0 的另一根是此等差数列的第四项，而方程x23x b 0 的两根是等差数列的中间两项，根据等差数列知识易知此等差数列为：3 , 57 , 9 故 a27 , b35从而 ab =31 。44,4416168反思： 等差数列和等比数列的性质是数列知识的一个重要方面，有解题中充分运用数列的性质往往起到事半功倍的效果。例如对于等差数列an ，若 nmpq ，则 anama p aq ；对于等比数列 an ，若nm u v ，则 anamauav ；若数列an 是等比数列，Sn 是其前 n 项的和， kN * ，那么 Sk ，S2kSk ， S3kS2k 成等比数列；若数列an是等差数列，Sn是其前n 项的和， kN * ，那么 Sk ，S2 kSk ， S3kS2k成等差数列等性质要熟练和灵活应用。【练14 】已知方程 x22xm0 和 x22xn 0的四个根组成一个首项为1的等差数列，则43C、13m n =（） A 、 1 B、D 、842答案： C易错点 31 数列中的最值错误【问题】 :在等差数列 an 中， a1 25， S9 S16，求此数列的前几项和最大。剖析：解题不细心，在用等差数列前n 和求解时，解得 n=12.5，误认为 n=12.5。考虑不全面，在用等差数列性质求解得出a13 =0 时，误认为只有 S13 最大。正确答案： a12或 a13反思：数列的通项公式与前 n 项和公式都是关于正整数n 的函数， 要善于用函数的观点认识和理解数列问题。但是考生很容易忽视n 为正整数的特点，有时即使考虑了n 为正整数，但对于 n为何值时， 能够取到最值求解出错。在关于正整数 n 的二次函数中其取最值的点要根据正整数距离二次函数的对称轴远近而定。四、三角函数易错点 32求解时忽略角的范围【问题】 1: 在ABC 中， sin A = 3,cosB=5 ，求 cosA ， sin B 的值。513错解： cosA= 4 ， sinB= 12513剖析：基础不实，忽视开方时符号的选取。正确答案： cosA= 4 ， sinB= 12513【问题】 2: 在ABC 中， A、 B 为锐角，且 sin A5 ,sin B10，求 AB 的值。510错解： 先求出 sin(A B)=2 ，A B（0，）A B=或，4324剖析：知识残缺，由于A、B为锐角，所以A B（0，）（0， ）。又由于正弦函数在上不是单调函数，所以本题不宜求sin( AB )，宜改求 cos( AB )或 tan( AB )。正确答案： AB=4【问题】 1: 在ABC 中，已知 a=2 ,b= 3 ,B=,求角 A3错解：用正弦定理求得sin A2， A=或 3244剖析：基础不牢，忽视隐含条件ba 出错。正确答案： A=4反思：三角函数中的平方关系是三角变换的核心，也是易错点之一。解题时，务必重视“根据已知角的范围和三角函数的取值，精确确定未知角的范围，并进行定号”。易错点 33求关于 sin x,cos x 最值时忽视正、余弦函数值域【问题】 :已知 sin xsin y1