空间角的计算2课件

空间角的计算 (2)1空间角的计算 (2)2H.GBB1AA1引例：引例：正方形ABB1A1边长为4，A1H= A1B1, B1E1= A1B1，求直线AH与BE1所成角的余弦值。1414E1几何法：作几何法：作证证求。求。解析：解析：设设G是是AB的中点，连接的中点，连接GH,易证易证GHBE1 ,，所以，所以AHG就是直线就是直线AF与与BE1所成的角。所成的角。 在三角形在三角形AHG中，由余弦定理得中，由余弦定理得222cos=21717415172 1717AHGHAGAHGAHGH可依次求得可依次求得AH=GH= ,AG=217所以直线所以直线AH与与BE1所成角的余弦值所成角的余弦值1517151715172534空间角的计算 (2)3HBB1AA1引例：引例：正方形ABB1A1边长为4，A1H= A1B1, B1E1= A1B1，求直线AH与BE1所成角的余弦值。1414E1综合法：作综合法：作证证求。求。解析：解析：延长延长AH,BE1 交于点交于点G, 所以所以AGB就是直线就是直线AF与与BE1所成的角。所成的角。 在三角形在三角形HE1G中，由余弦定理得中，由余弦定理得所以直线所以直线AH与与BE1所成角的余弦值所成角的余弦值151715171517G可依次求得可依次求得E1G=GH=17222111cos =217 17415172 1717GEGHHEGEGH1534空间角的计算 (2)4引例：引例：正方形ABB1A1边长为4，A1H= A1B1, B1E1= A1B1，求直线AH与BE1所成角的余弦值。1414H.GBB1AE1所以直线所以直线AH与与BE1所成角的余弦值所成角的余弦值151715171517(4,4)A1(0,4)(4,0)解析：直线解析：直线AH与与BE所成角为所成角为 ,1=HA E B 则以以A为坐标原点建立如图所示的直角坐标系。为坐标原点建立如图所示的直角坐标系。1111111(1,4),(3,4)( 1, 4),(1, 4)=171515cos,17HEHAE BHAE BHA E BHA E BHA E BHA E B 由1524空间角的计算 (2)5引例：引例：正方形ABB1A1边长为4，A1H= A1B1, B1E1= A1B1，求直线AH与BE1所成角的余弦值。1414H.GBB1AA1E111111112211111aba = b =4ab1b-a 41b-a4=1711(b-a) (b-a)15441cos,AAABHAHAA AE BE BB BHAE BHA E BHA E BHA E BHA E B 解：设，则，因为所以由517可得直线可得直线AH与与BE1所成角的余弦值所成角的余弦值1517151715171523空间角的计算 (2)6例例1：在：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，D1F1= D1C 1, B1E1= A1B1，求直线DF1与BE1所成角的余弦值。HBB1AA1E11414F1空间角的计算 (2)7H.GBB1AA1E1F114解：设G是AB的中点，点H在A1B1,A1H= A1B1，连接AH,GH,则AHDF1，GHBE.所以AHG就是异面直线DF1与BE1所成的角.综合法（几何法）：作综合法（几何法）：作证证求。求。 不妨设正方体的棱长为4,由余弦定理得222cos=217 17415172 1717AHGHAGAHGAHGH所以直线所以直线AH与与BE1所成角的余弦值所成角的余弦值15171414例例1：在：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，D1F1= D1C 1, B1E1= A1B1，求直线DF1与BE1所成角的余弦值。217A GA H G H，234空间角的计算 (2)8例例1：在：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，D1F1= D1C 1, B1E1= A1B1，求直线DF1与BE1所成角的余弦值。F114141111111111111222111211114aba = bab4ab4ab4a-b17a=15acos=17DFB EB EDF B E 可得直线DF1与BE1所成角的余弦值151715171517134空间角的计算 (2)9可得直线DF1与BE1所成角的余弦值15171517151714DA,DC,DD xyz 解：不妨设正方体的棱长为 ，以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D-1111122111111111111111(4 3 4)(014),(0,1,4)(0, 1,4)17=1515cos=17FDFB EDFB EDFB EDFB EDF B EDF B E 则各点的坐标为D(0，0，0),B(4，4，0)E， ， ， 可得，所以，由F1H.GBB1AA1E1XYZ(4,0,4)(0,0,4)(0,4,4)(4,4,4)(4,0,0)(0,4,0)(4,4,0)124空间角的计算 (2)10异面直线所成角的范围：异面直线所成角的范围： 0,2ABCD1D结论：结论：cos|cos,| a b归纳总结、线线角：归纳总结、线线角： ab，ab，设直线的方向向量为 ，的方向向量为CAaBbDaabb空间角的计算 (2)1122SABCDABCDSAABCDSA在四棱锥中，底面四边形是边长为 的正方形，底面，点E,F分别为SC,SD中点，求异面直线AE与CF所成角的余弦值。SBACFEDxyz变式训练变式训练1：63空间角的计算 (2)12能力提升：如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA11，AB2，点E是棱AB上的动点.若异面直线AD1与EC所成角为60，试确定此时动点E的位置.空间角的计算 (2)13解以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.设E(1，t,0)(0t2)，所以t1（t=3舍），所以点E的位置是AB的中点.221112122,1(2)45=111cos60 =224543=0D ACEtttD A CED A CED A CEtttt 。所以所以空间角的计算 (2)14如何用向量来求直线与平面所成角如何用向量来求直线与平面所成角? ?思考思考2 2答：答：直线与平面所成角直线与平面所成角可以可以转化为转化为“直线的方向向量直线的方向向量”与与“平面的法向量平面的法向量”的夹角求解的夹角求解. 空间角的计算 (2)15如何用向量来求直线与平面所成角如何用向量来求直线与平面所成角? ?思考思考2 2答：答：直线与平面所成角直线与平面所成角可以可以转化为转化为“直线的方向向量直线的方向向量”与与“平面的法向量平面的法向量”的夹角求解的夹角求解.=sin = cos2如图，空间角的计算 (2)16例例2 如图如图,棱长为棱长为4的正方体的正方体ABCD-A1B1C1D1中中, F为边为边BC的中的中点点, 且且D1E1= D1C1求求直线直线E1F与平面与平面D1AC所成角的所成角的正弦值正弦值. (4,4,0)(4,4,4)(4,0,4)(4,0,0)(0,0,4)(0,4,4)(0,4,0)(4,2,4)ABB1A1E1F14空间角的计算 (2)17(4,4,0)(4,4,4)(4,0,4)(4,0,0)(0,0,4)(0,4,4)(0,4,0)(4,2,4)ABB1A1E1F111DA,DC,DD xyzD(0 0 0),A(4 0 0),C(0 4 0)D (0 0 4)(0,1,4),(2,4,0)EF 解：以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D-，则各点的坐标为，11( 4 0 4),( 4 4 0)(2 3)ADACE F 所以， ， ， ，-411n=(xyz)n0440440n01y=z=1n=ADxzxyACx 设平面D AC的法向量为， ，令得所以（1,1,1）11111n=1= 29= 3n87cosn,87E FE FnE FE FE F n 所以，所以118787E FD AC直线与平面所成角的正弦值所以空间角的计算 (2)18思考：把题设中的条件思考：把题设中的条件“点点F是是BC的的中点中点”改为改为“CF= CB”,你能得到你能得到什么结论？什么结论？想一想：(4,4,0)(4,4,4)(4,0,4)(4,0,0)(0,0,4)(0,4,4)(0,4,0)(4,2,4)ABB1A1E1F1111111n=n0E FE FE FADCE FADCADC （1,1,1），（1,3,-4）因为平面所以平面即直线与平面所成角正弦值为014空间角的计算 (2)19变式1.已知向量a=（-2，-3， ）是直线l的方向向量，向量n=（1,0,0）是平面的法向量，则直线l与平面所成的角为_36空间角的计算 (2)20空间角的计算 (2)21空间角的计算 (2)22空间角的计算 (2)23空间角的计算 (2)24此课件下载可自行编辑修改，供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！