第五章条件平差

第五章条件平差5.1 条件平差原理 间接平差对参数平差 条件平差对观测值平差 例：为测定三角形形状，分别测量了其三内角的值L1、L2、L3。因有多余观测及观测误差的存在，观测值间产生矛盾。此题中 观测值个数：n=3 必要观测数：t=2 多余观测数：r = n-t =1条件方程代入上式平差值条件式：，消除矛盾。使平差值和为最或是值（平差值），角小二乘原则，计算出各条件平差目的：遵循最产生闭合差：由于：0180180180180321321321321WVVVVLLLLLLLLWLLLiii条件方程矩阵形式：一、条件方程的个数及选择 条件方程个数 = 多余观测数 = n-t = r条件方程的选择：条件方程间应 线性无关。即条件方程中的系数矩阵A阵应为行满秩阵。即 。平差值条件方程：A0为已知的常数向量。1110rrnnrWVA rARnr00 ALA 条件方程一般形式：rbannnnrrnnbbnnaannWWWWVVVVrrrbbbaaaAWAVrrLWWVrVrVrbbLWWVbVbVbaaLWWVaVaVa212121210221102211022110000其中：可得矩阵形式：，二、法方程及改正数方程。的原则作用于条件方程将minPVVTkQAkAPVAkPVVkkkkTTTTTrbar11022,得对新函数求导：条件方程联系数式中WAVkPVVTT2组成新函数: -改正数方程得基础方程：由上式得法方程：得观测值的平差值为： 2011WAVkAPVT。数）式，可得观测值改正代入（其中，设或VkWNkAAPNWNkWkAAPTT100111VLL向量函数求导规律dxdFGdxdGFdxFGddxGFdxgfmgggGfffFTTTTiiTmTm有的函数，均为、维向量函数，且均为设),(),(2121注意：当N为满秩方阵时，才有 唯一存在,法方程才有唯一解。所以，r个条件方程必须线性独立。1N5.2 精度评定一、单位权中误差NkkkQAPkQAPVVkNvppvvPVVPVVrPVVtnPVVTTTTTniiiTTTT求：和用）直接法：（的计算：)2(1120kWkPQAVPVVkWTTTT求：、用)3(AQNQAQAALNQAkQAVAQNQAQQANQALANQAIVLLTVVTTTLLTT1011011二、观测值 平差值及观测值改正数的权逆阵MATLAB平差应用简介1、启动与退出 双击MATLAB图标，进入MATLAB命令窗口。建立新文件：FileNewM-file进入编辑窗。法1、直接编程，再用编辑窗Debug菜单中的Run运行，然后到命令窗中看结果；或法2、在编辑窗中编制函数，再在命令窗或另一个文件中调用。 建立文件：functionx,Qxx=ABC(A,L,d,P);文件名：ABC.m x,Qxx：要求输出内容A,L,d,P输入内容 分号：该句内容不显示2、矩阵的输入 A1 2 3;4 5 6;7 8 9 同行的元素可用空格或逗号隔开，式中分号也可换成击回车键。可得：3、矩阵转置 AA4、矩阵求逆 Minv(N) - M为N的逆阵987654321A5、矩阵的、用符号、*表示，运算时注意矩阵的阶数。6、特殊矩阵产生 A=eye(n) - 产生n维单位阵 A=zeros(n,m) - 产生nm维0矩阵7、 B=det(A) A的行列式，A必须是方阵 B=rank(A) A的秩 B=trace(A) A的迹，A阵主元之和8、输出格式 format shout 短格式，显示5位 。如：1.4142 format long 长格式，15位。如：1.41421356237310 三、平差值函数的权逆阵VLLLffVfffVfVfVfVfFLLLLLfFiiLLiiTTTTnnnin,22211121其中：展开，得权函数式：的真值点在，设有平差值的函数：fQffAQNQAQfAQfNQAfQffQQQQAQNQAQQQQffQQQQffQLLTTTTTTFFVVVVTVVLLVVVVTTFF111求观测值的平差值函数的权逆阵过程可记忆为：fQffQfQFVLdLffLdfLdfLdfLdfFLLLLLfFLLTLdLdTFFLLiiTnninii221121,的权逆阵为则其中：展开，得权函数式：的真值点在，设有平差值的函数：补充：控制测量概念一、控制测量任务1。为测绘地形图建立控制网2。建立施工控制网3。建立变形监测网二、控制网的形式（按观测值分类）1。高程控制网水准网，三角高程网2。平面控制网三角网，导线网，GPS网 测方向网 测角网 测角网三角网 测边网 测边长 测边测方向 边角网 （导线网） 测边测角三、三角网的布设从高级到低级逐级布设四、三角网平差的方法1。严密平差 -遵守VTPV=min原则 ； 2。近似平差 5.3 测角网条件平差独立网（经典自由网）-只有必要起算数据d。非独立网（附合网）-已知条件超过必要起算数据。（必要起算数据个数d-水准网：d=1，测角网：d=4，测边、边角网： d=3）一、独立测角网按角度坐标平差 r = n-2p = n-tp：网中待定点数1、单三角形 V1+V2+V3-W=0 -W=(L1+L2+L3-180)-图形条件2、中点多边形测角网 n=9 , t=4 , r=5个：边条件极条件个圆周角条件：个图形条件：1)(135rBACD123456789极条件 1sinsinsinsinsinsin852741LLLLLLDCDBDADADCDB以“D”点为极点，得平差值条件方程：线性化后的极条件： 741852885522774411sinsinsinsinsinsin10cotcotcotcotcotcotLLLLLLWWVLVLVLVLVLVL式中闭合差为： CD边的相对中误差：LdfSLdLLdLLdLLdLSLdLLdLLdLLdLLLLLABdSLLLLSTCDCDCDCD)cotcotcotcot)cotcotcotcotsinsinsinsinsinsinsinsinAB887733228877332273827382 （全微分后得：得测边相对中误差为：3、大地四边形测角网 n = 8 , t = 4 , r = 4fQffDfSLdfSdSLLTLLTCDSTCDCDCD202 13极条件：图形条件： fQfSLLTCDSCD04、混合测角网 列条件式原则将混合网“化整为零”，拆分成各种基本图形（单三角形、中点多边形、大地四边形和扇形P84例5-3）5、测角网极条件个数判断极条件：其作用是使经过不同三角形（指推算路线）推算的同一条边长具有相同的长度。极条件个数：极条件仅存在于有角度观测值的控制网中。知点）网中所有点数（包括已测角网中的总边数极plplr32二、测角网按方向条件平差（独立网） 必要观测数： t=2p+设站点数M p待定点数1、单三角形 n=6 t=2+3=5 r=12、中点多边形 n=12 t=22+4=8 r =4 测方向网无圆周角条件。测方向网的图形条件：13极条件：图形条件：0110115612Wvvvvvv3、大地四边形 r = n-t = 12-8 = 4三、附合测角网（非独立网）条件平差 附合条件数多余已知数据个数 条件式个数： r1独立网条件个数 r2附合条件数（强制附合条件）13极图21rrtnr强制附合条件r2一般有三种形式：（1）边长条件（基线条件） 条件方程个数=多余已知边数；（2）方位角条件（固定角条件） 条件方程个数=多余已知方位角个数；（3）纵横坐标条件 条件方程个数=多余已知点组个数的2倍已知点组：用已知边和已知方位角将已知点连接在一起时，称为一个已知点组。如附合导线就有两个已知点组。5.4 边角网条件平差边角网条件方程的构成：必要起算数据： d=3, 必要观测数据： t =P2-1 P网中待定点的关系描述观测边与观测角间余弦条件正弦条件测边图形条件与测角网相同极条件圆周角条件测角网图形条件654321常用正弦条件代替常用正弦条件代替1、单三角形边角网：如图：观测了三角、三边。n=6， t =1+2=3注意：每个单三角形中只能有两正弦（或一正一余、或二余）条件，列三个正余弦条件必定相关。观测值：观测边用 表示。 观测角用 表示。 AcabCB112213余弦正弦或或余弦正弦图形rcba，CBA，正弦条件方程：0sinsinsinsinAbBaBbAa即由上式得正弦条件的线性化条件方程：01cos1cossinsin WVBaVAbAVBVBAbaAbBaWsinsin式中闭合差为：取秒为单位。、单位，也应化成、为单位，则取、若BAbaVVcmbacmVV注意： 余弦条件方程：02cos222AcbacbarcAbcacbarcWbcaKWKAVKABVCVVAcba 2cos0sinsincoscos222式中闭合差：其中设：由上式得余弦条件的线性化条件方程：2、中点多边形边角网（中点三边形为例） n=15, t=53、大地四边形 n=14， t=5511361310正弦极条件圆周图形而不必正弦圆周图形r639正弦图形r4、测距仪的标称测距精度为：乘常数加常数basbammisi610 Si所测距离，以所测距离，以KM为单位为单位。 如如索佳索佳SET2100型全站仪：型全站仪：mmmmsiSppmSm22102265、边角网观测值的权通常设： 6、边角网VTPV的计算有单位测边权无单位测角权则测角中误差22001sisipp角边pvvpvvPVVT5.5 条件平差应用举例：一、单导线条件平差测角：n个，测边：n-1条，待定点个数：n-2，则 r = n+n-1-(n-2)2=31、方位角条件（设观测角为左角）1121横坐标条件纵坐标条件坐标条件方位角条件niCDABinnWWVVV1211800闭合差： 2、纵、横坐标条件值。是由观测值计算的近似、式中闭合差：00011001,11001,1111000111100001sin01cosiiinicnCiiBynicnCiiBxniniyiinSiininixiinSiiyxyyyyyWxxxxxWWVxxVWVyyV 二、GPS平面网条件平差 54354354354332132132132122022200004, 6,10, 21,13 . 03 . 01,YYYWWVVVXXXWWVVVYYYWWVVVXXXWWVVVrtndcmcmYXGPSddYYYccXXXbbYYYaaXXXYYXYXXii，解：试列出条件方程。且设各基线间互独立，其方差阵为差观测得各顶点坐标如图，用ADBC12345三、条件平差在数字化图中的应用如图，测得数字化坐标（xi,yi），i=1，27。1)求满足所有直角条件的条件式和闭合差；2)1、7、6三点应为一直线的条件式及闭合差；3)图形面积应满足一已知常数的条件式和闭合差。 解：在有n个直角构成的直角多边形中，有n-1个直角条件是独立的。 所以，直角条件： r 1=51234657直线条件：r2=1，面积条件：r3=1， 总条件数：r =r1+r2+r3=71.直角条件：0170171201701712212212717717112171121712121717cossin00901sbsaWVbVaVbVaVbbVaaxxyyarctgxxyyarctgayxyxyx 其中：线性化：为例以909001201712121717xxyyarctgxxyyarctgWa017016171716160Wxxyyarctgxxyyarctg021011已知Syyxniiii2.直线条件（三点成一线）：3.多边形面积条件：5.6 附有参数的条件平差原理：1)由于平差需要，有时在条件平差时，增选 u 个参数，0ut ,此时条件式的个数为： c = r + u n r 多余观测数， u 增选参数个数2)增选参数个数应尽量少，以免增加计算工作量。附有参数的条件方程：11110ccucuncnWxBVA一、平差原理用VTPV=min原则作用于 方程。组成新函数：WxBAVkPVVTT20WxBVA 式联合求解，式，再与式代入：分别求导后得基础方程、对312302101kBkAPVWxBAVxVTT00000WxkBBNkBWxBNkTT或得附有参数的条件平差的法方程：0001WQQQQWBBNxkuuuccuccT设解法方程得：二、精度评定（1）单位权中误差ucPVVtnPVVTTKWPVVWKxBWKAVKPVKAPPVVTTTTTTTT1其中：（2）平差值函数的权逆阵unXXXLLLfF,2121有函数：其权函数式为：FxfLdfxfxfLdfLdfLdfFTxTuxxnnu122111的权逆阵为：xxxTxLxTxxxLTLLTFFfQffQffQffQfQ 例：无定向导线的平差方法。 教材：P105TTBXXxxAQANBNBNQQ其中：111 （3）参数平差值的权逆阵