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电动力学第14讲第二章第二章 静电场静电场(6)2.6静电势的多极展开教师姓名：宗福建单位：山东大学物理学院2015年10月30日电动力学第14讲第二章静电场(6)山东大学物理学院 宗福建2Maxwell方程组山东大学物理学院宗福建2Maxwell方程组山东大学物理学院 宗福建3Maxwell方程组山东大学物理学院宗福建3Maxwell方程组山东大学物理学院 宗福建4静电场的标势静电场的标势 在静电情况下，电场与磁场无关，麦氏方程组的电场部分为山东大学物理学院宗福建4静电场的标势在静电情况下，电场山东大学物理学院 宗福建5静电场的标势静电场的标势 定义电势差因此，电场强度E E 等于电势的负梯度 山东大学物理学院宗福建5静电场的标势定义电势差因此，电山东大学物理学院 宗福建6标势标势 的Poisson方程山东大学物理学院宗福建6标势的Poisson方程山东大学物理学院 宗福建7静电场的标势静电场的标势 若电荷连续分布，电荷密度为，设r为由源点xx 到场点x x的距离，则场点x x处的电势为 山东大学物理学院宗福建7静电场的标势若电荷连续分布，电山东大学物理学院 宗福建8本讲主要内容电势的多极展开电多极矩电荷体系在外电场中的能量山东大学物理学院宗福建8本讲主要内容山东大学物理学院 宗福建9泰勒级数展开山东大学物理学院宗福建9泰勒级数展开山东大学物理学院 宗福建10泰勒级数展开山东大学物理学院宗福建10泰勒级数展开山东大学物理学院 宗福建11泰勒级数展开山东大学物理学院宗福建11泰勒级数展开山东大学物理学院 宗福建12电势的多极展开电势的多极展开 真空中给定电荷密度(x )激发的电势式中体积分遍及电荷分布区域，r为源点x 到场点x的距离。山东大学物理学院宗福建12电势的多极展开真空中给定电荷山东大学物理学院 宗福建13电势的多极展开电势的多极展开 在许多物理问题中，电荷只分布于一个小区域内，而需要求电场强度的地点x又距离电荷分布区域比较远，即r远大于区域V的线度l。在这种情况下，可以表示为1/r的展开式，由此得出电势 的各级近似值。例如原子核的电荷分布于 10 15m线度的范围内，而原子内电子到原子核的距离10 10m，因此原子核作用到电子上的电场可以用本节方法求得各级近似值。山东大学物理学院宗福建13电势的多极展开在许多物理问题山东大学物理学院 宗福建14电势的多极展开电势的多极展开 在区域V内取一点O作为坐标原点，以R表示由原点到场点P的距离x 点在区域V内变动。由于区域线度远小于R，可以把 x 各分量看作小参量，把 x x 的函数对 x 展开。山东大学物理学院宗福建14电势的多极展开在区域V内取一山东大学物理学院 宗福建15电势的多极展开电势的多极展开 在区域V内取一点O作为坐标原点，以R表示由原点到场点P的距离，有x 点在区域V内变动。由于区域线度远小于R，可以把 x 各分量看作小参量，把 x x 的函数对 x 展开。山东大学物理学院宗福建15电势的多极展开在区域V内取一山东大学物理学院 宗福建16电势的多极展开电势的多极展开 设 f（x x）为 x x 的任一函数，在 x点附近 f（x x）的展开式为山东大学物理学院宗福建16电势的多极展开设f（x山东大学物理学院 宗福建17电势的多极展开电势的多极展开 山东大学物理学院宗福建17电势的多极展开山东大学物理学院 宗福建18电势的多极展开电势的多极展开 山东大学物理学院宗福建18电势的多极展开山东大学物理学院 宗福建19电势的多极展开电势的多极展开 山东大学物理学院宗福建19电势的多极展开山东大学物理学院 宗福建20电势的多极展开电势的多极展开 山东大学物理学院宗福建20电势的多极展开山东大学物理学院 宗福建21电多极矩电多极矩 展开式的第一项是在原点的点电荷Q激发的电势。因此作为第0级近似，可以把电荷体系看作集中于原点上。山东大学物理学院宗福建21电多极矩展开式的第一项是在原山东大学物理学院 宗福建22电多极矩电多极矩 展开式的第二项是电偶极矩p产生的电势。山东大学物理学院宗福建22电多极矩展开式的第二项是电偶山东大学物理学院 宗福建23电多极矩电多极矩 展开式的第三项是电四极矩D产生的电势。山东大学物理学院宗福建23电多极矩展开式的第三项山东大学物理学院 宗福建24电偶极矩如果一个体系的电荷分布对原点对称，它的电偶极矩为零。若 点x 和 x 点有相同的电荷密度，则积分值为零。因此，只有对原点不对称的电荷分布才有电偶极矩。总电荷为零而电偶极矩不为零的最简单的电荷体系是一对正负点电荷。设 x 点上有一点电荷+Q，x 点上有一点电荷 Q，这体系的电偶极矩为l为由负电荷到正电荷的距离。山东大学物理学院宗福建24电偶极矩如果一个体系的电荷分布山东大学物理学院 宗福建25电偶极矩右图具有偶极矩 pz=Ql的电偶极子，它产生的电势为 山东大学物理学院宗福建25电偶极矩右图具有偶极矩pz山东大学物理学院 宗福建26电偶极矩由图，若 l R，有山东大学物理学院宗福建26电偶极矩由图，若lR山东大学物理学院 宗福建27电偶极矩由图，若 l R，有山东大学物理学院宗福建27电偶极矩由图，若lR山东大学物理学院 宗福建28电偶极矩因此这电偶极子产生的电势是山东大学物理学院宗福建28电偶极矩因此这电偶极子产生的电山东大学物理学院 宗福建29电四极矩电四极矩 展开式的第三项是电四极矩D产生的电势。山东大学物理学院宗福建29电四极矩展开式的第三项山东大学物理学院 宗福建30电四极矩电四极矩 根据此式，电四极矩张量 Dij 是对称张量，它由6个分量 D11,D 22,D 33,D12=D 21,D 23=D 32,D 31=D13。（下面将看出实际上只有5个独立分量。）现在我们来谈论这些分量的物理意义。山东大学物理学院宗福建30电四极矩根据此式，电四极矩张山东大学物理学院 宗福建31电四极矩电四极矩 如右图，z轴上一对正电荷和一对负电荷组成的体系。这体系可以看作由一对电偶极子+p和 p组成。设正电荷位于 z=b,负电荷位于 z=a。这体系的总电荷为零，总电偶极矩为零。山东大学物理学院宗福建31电四极矩如右图，z轴上一对正山东大学物理学院 宗福建32电四极矩电四极矩 它的电四极矩其中p=Q（b a）是其中一对电荷的电偶极矩，l=b+a是两个电偶极子中心的距离。山东大学物理学院宗福建32电四极矩它的电四极矩山东大学物理学院 宗福建33电四极矩电四极矩 这电荷体系产生的电势是一对反向电偶极子所产生的电势。山东大学物理学院宗福建33电四极矩这电荷体系产生的电势山东大学物理学院 宗福建34电四极矩电四极矩 这电荷体系产生的电势是一对反向电偶极子所产生的电势。山东大学物理学院宗福建34电四极矩这电荷体系产生的电势山东大学物理学院 宗福建35电四极矩电四极矩 同理，具有 D11 分量的最简单的电荷体系由x轴上两对正负电荷组成，具有 D 22 分量的体系由y轴上两对正负电荷组成。具有 D12分量的电荷体系由xy平面上两对正负电荷组成，余类推。山东大学物理学院宗福建35电四极矩山东大学物理学院 宗福建36教材第66页，图2-13，右上角D23应改为D33。山东大学物理学院宗福建36教材第66页，图2-13，右上山东大学物理学院 宗福建37电四极矩电四极矩下面我们证明电四极矩只有5个独立分量。当 R0 时有引入符号 ij，定义为山东大学物理学院宗福建37电四极矩下面我们证明电四极矩只山东大学物理学院 宗福建38电四极矩电四极矩山东大学物理学院宗福建38电四极矩山东大学物理学院 宗福建39山东大学物理学院宗福建39山东大学物理学院 宗福建40山东大学物理学院宗福建40山东大学物理学院 宗福建41电四极矩电四极矩电四极矩D,有6个分量：D11,D22,D33,D12,D23,D31但是，只有5个独立分量。以后我们将沿用如下定义式，此式用并矢形式写为山东大学物理学院宗福建41电四极矩电四极矩D,有6个分量山东大学物理学院 宗福建42电四极矩电四极矩若电荷分布有球对称性，则 因而 D11=D22=D33=0，而且显然有 D12=D23=D31=0，因此球对称电荷分布没有电四极矩。山东大学物理学院宗福建42电四极矩若电荷分布有球对称性，山东大学物理学院 宗福建43电四极矩电四极矩球对称电荷分布的电场也是球对称的，由高斯定理可知，球外电场和集中于球心处的点电荷电场一致，因此球对称电荷分布没有各级电多极矩。反之，若电荷分布偏离球对称性，一般就会出现电四极矩。例如沿z轴方向拉长了的旋转椭球体，若其内电荷分布均匀，则 山东大学物理学院宗福建43电四极矩球对称电荷分布的电场也山东大学物理学院 宗福建44电四极矩电四极矩因而出现电四极矩电四极矩的出现标志着对球对称的偏离，因此我们测量远场的四极势项，就可以对电荷分布形状做出一定的推论。在原子核物理中，电四极矩是重要的物理量，它反映这原子核形变的大小。山东大学物理学院宗福建44电四极矩因而出现电四极矩山东大学物理学院 宗福建45电四极矩电四极矩八极矩和更高的多极矩实际上较少用到，这里不详细讨论。山东大学物理学院宗福建45电四极矩八极矩和更高的多极矩实山东大学物理学院 宗福建46例题均匀带电的长形旋转椭球体半长轴为a，半短轴为b，带总电荷Q，求它的电四极矩和远处的电势。解解取z轴为旋转轴，椭球方程为山东大学物理学院宗福建46例题均匀带电的长形旋转椭球体半山东大学物理学院 宗福建47例题椭球所带电荷密度为电四极矩为山东大学物理学院宗福建47例题椭球所带电荷密度为山东大学物理学院 宗福建48例题由对称性山东大学物理学院宗福建48例题由对称性山东大学物理学院 宗福建49例题由对称性因此 山东大学物理学院宗福建49例题由对称性山东大学物理学院 宗福建50例题令 x2+y2=s2，由对称性山东大学物理学院宗福建50例题令x2+y2=s2山东大学物理学院 宗福建51例题因此 山东大学物理学院宗福建51例题因此山东大学物理学院 宗福建52例题电四极矩产生的势为 山东大学物理学院宗福建52例题电四极矩产生的势为山东大学物理学院 宗福建53例题椭球的电偶极矩为零，总电荷为Q。在远处的势准确至四极项为 山东大学物理学院宗福建53例题椭球的电偶极矩为零，总电荷山东大学物理学院 宗福建54分析山东大学物理学院宗福建54分析山东大学物理学院 宗福建55分析山东大学物理学院宗福建55分析山东大学物理学院 宗福建56分析山东大学物理学院宗福建56分析山东大学物理学院 宗福建57分析山东大学物理学院宗福建57分析电荷体系在外电场中的能量电荷在外电场中的静电势能,就是外场对电荷的静电作用能.若体积V内电荷密度为,外场对这带电体的静电作用能便为当电荷分布于小区域,可将外场电势对坐标原点(选在V内)展开为泰勒级数电荷体系在外电场中的能量电荷在外电场中的静电势能,就是外场对电荷体系在外电场中的能量则，电荷体系在外电场中的能量则，电荷体系在外电场中的能量则，电荷体系在外电场中的能量则，电荷体系在外电场中的能量展开式中第一项，为点电荷在外场中的能量电荷体系在外电场中的能量展开式中第一项，为点电荷在外场中的能电荷体系在外电场中的能量展开式中第二项，为电偶极子在外电场中的能量。电偶极子在外电场中受的力和力矩分别为：电荷体系在外电场中的能量展开式中第二项，为电偶极子在外电场中电荷体系在外电场中的能量展开式中第三项，为电四极子在外电场中的能量。许多介质分子除了有电偶极矩,还有电四极矩,原子核也有一定的四极矩，因此它们在非均匀电场中有一定的四极矩能量.电荷体系在外电场中的能量展开式中第三项，为电四极子在外电场中山东大学物理学院 宗福建64本讲总结山东大学物理学院宗福建64本讲总结山东大学物理学院 宗福建65本讲总结山东大学物理学院宗福建65本讲总结课下作业教材第73页，第17题。课下作业山东大学物理学院 宗福建67谢谢谢谢山东大学物理学院宗福建67
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