数学分析之函数极限课件

数学分析之函数极限数学分析之函数极限1 教学目标：教学目标：1.1.理解函数极限的理解函数极限的“-”“-”定义及单侧极限概念；定义及单侧极限概念；2.2.掌握函数极限的基本性质、极限存在的条件及两个掌握函数极限的基本性质、极限存在的条件及两个重要极限；重要极限；3.3.理解无穷大量及无穷小量概念；理解无穷大量及无穷小量概念；4.4.会求渐进线会求渐进线.教学目标：1.理解函数极限的“-”定义及单侧极限概念；21 函数极限概念函数极限概念一、一、x x 趋于趋于 时的函数极限时的函数极限二、二、x x 趋于趋于x x0 0时的函数极限时的函数极限三、单侧极限三、单侧极限 作为数列极限的推广作为数列极限的推广,函数极限与数列函数极限与数列极限之间有着密切的联系极限之间有着密切的联系,它们之间的纽带它们之间的纽带就是归结原理就是归结原理.1 函数极限概念一、x 趋于时的函数极限二、x 趋于3数学分析之函数极限课件4一、一、x趋于趋于 时的函数极限时的函数极限设函数设函数定义在定义在极限极限.f(x)当当 x 趋于趋于 时以时以A为为也无限地接近也无限地接近A,我们就称我们就称无限远离原点时无限远离原点时,函数函数f(x)上上,当当 x 沿着沿着 x 轴的正向轴的正向一、x趋于时的函数极限设函数定义在极限.f(x)当 x 13趋于趋于例如例如 函数函数当当时时,10203040O0.51为极限为极限.以以趋于例如 函数当时,10203040O0.51为极限.以14记为记为或者或者定数定数,若对于任意正数若对于任意正数 存在正数存在正数 使得使得定义定义1A 为为记为或者定数,若对于任意正数 存在正数 15任意给定任意给定存在存在任意给定存在16定义定义注注 数列可视为定义在正整数集上的函数数列可视为定义在正整数集上的函数.定义注 数列可视为定义在正整数集上的函数.17所以所以(由定义由定义1),例例1 证明证明 任给任给取取证证所以(由定义1),例1 证明 任给取证18例例2证证 任给任给这就是说这就是说例2证任给这就是说19定义定义2记为记为则称则称或或定义2记为则称或20证证 对于任意正数对于任意正数则则例例3求证求证证 对于任意正数则例3求证21记为记为定义定义3存在存在 当当或或记为定义3存在 当或22例例4 求证求证所以所以证证 对于任意正数对于任意正数 ,可取可取例4求证所以证 对于任意正数 ,可取23例例5证证例5证24几何解释几何解释:几何解释:25从定义从定义1、2、3 不难得到不难得到:定理定理 3.1则由定理则由定理 3.1，的充要条件是：的充要条件是：例如例如从定义1、2、3 不难得到:定理 3.1则由定理 3.1，26二、二、x趋于趋于x0时的函数极限时的函数极限定义定义4内有内有记为记为则称则称二、x趋于x0时的函数极限定义4内有记为则称27需要注意以下几点：需要注意以下几点：,我们强调其存在性我们强调其存在性.换句话说换句话说,对于对于固定固定 1.对于对于的的不同的方法会得出不同的不同的方法会得出不同的 ,不存在哪一个更不存在哪一个更好的问题好的问题.数数都可以充当这个角色都可以充当这个角色.3.正数正数是任意的是任意的,一旦给出一旦给出,它就是确定的常数它就是确定的常数.,那么比它那么比它更小的正更小的正是不惟一的是不惟一的,一旦求出了一旦求出了 需要注意以下几点：,我们强调其存在性.换句话说,对于28平面上以平面上以 y=A为中心线为中心线,宽为宽为 的窄带的窄带,可可以找到以找到使得曲线段使得曲线段4.函数极限的几何意义如图函数极限的几何意义如图,对于对于坐标坐标落在窄带内落在窄带内.注：注：在在 处有无定义皆可处有无定义皆可.平面上以 y=A为中心线,宽为 的窄带,可以找29例例6证明证明时时,使使分析分析例6证明时,使分析30因因只要只要 式就能成立式就能成立,故取故取 即可即可.证证这就证明了这就证明了因只要 式就31例例7 证明证明可以先限制可以先限制因为因为此时有此时有故只要故只要所以所以要使要使分析分析例7证明可以先限制因为此时有故只要所以要使分析32这就证明了这就证明了证证 有有注注 在例在例6、例、例7中中,我们将所考虑的式子适当放大我们将所考虑的式子适当放大,不是不是“最佳最佳”的的,但这不影响我们解题的有效性但这不影响我们解题的有效性.其目的就是为了更简洁地求出其目的就是为了更简洁地求出 ,或许所求出的或许所求出的 这就证明了证 有注 在例6、例7中,我们将所考虑的式子适当33证证 首先，在首先，在右图所示的单位圆内右图所示的单位圆内,显然有显然有即即故故OCDBAyxx例例8 求证：求证：证首先，在右图所示的单位圆内,显然有即故OCDBAyxx例834同理可证同理可证:同理可证:35例例9证明：证明：证证 因为因为则则这就证明了所需的结论这就证明了所需的结论.例9证明：证 因为则这就证明了所需的结论.36三、单侧极限三、单侧极限x 既可以从既可以从 x0 但在某些时但在某些时定义定义5 A为常为常数数.若对于任意正数若对于任意正数 ,在定义区间的端点和分段函数的分界点等在定义区间的端点和分段函数的分界点等.候候,我们仅需我们仅需(仅能仅能)在在 x0的某一侧来考虑的某一侧来考虑,比如函数比如函数三、单侧极限x 既可以从 x0 37则称则称 A 为函数为函数 f 当当时的右时的右(左左)右极限与左极限统称为单侧极限右极限与左极限统称为单侧极限,为了方便起见，为了方便起见，极限极限,记作记作有时记有时记则称 A 为函数 f 当时的右(左)右极限与左极限统称为38 例例10 讨论函数讨论函数解解 因为因为所以所以 例10 讨论函数解因为所以39由定义由定义3.4和定义和定义3.5，我们不难得到：，我们不难得到：注注试比较定理试比较定理 3.1 与定理与定理 3.1.定理定理 3.1不存在不存在.由定义3.4和定义3.5，我们不难得到：注试比较定理 3.140作为本节的结束作为本节的结束,我们来介绍两个特殊的函数极限我们来介绍两个特殊的函数极限.例例11 证明狄利克雷函数证明狄利克雷函数证证 处处无极限处处无极限.满足满足作为本节的结束,我们来介绍两个特殊的函数极限.例11 证41这就证明了结论这就证明了结论.则则这就证明了结论.则42例例12 设黎曼设黎曼函数函数证证 因为在因为在(0,1)中分母小于中分母小于 N 的有理数至多只有的有理数至多只有个个,故可设这些有理数为故可设这些有理数为例12 设黎曼函数证 因为在(0,1)中分母小于 N43这就是说，除了这这就是说，除了这 n 个点外个点外,其他点的函数值都其他点的函数值都对以上两种情形都有对以上两种情形都有这就证明了这就证明了小于小于 .所以所以这就是说，除了这 n 个点外,其他点的函数值都对以上两种44例例13证证例例14证证例13证例14证45例例15证证函数在点函数在点x=1处没有定义处没有定义.例15证函数在点x=1处没有定义.46例例16证证例16证47左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,例例17证证左右极限存在但不相等,例17证48小结小结函数极限的统一定义函数极限的统一定义小结函数极限的统一定义49过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 过 程时 刻从此时刻以后 过 程时50思考题思考题思考题51思考题解答思考题解答左极限存在左极限存在,右极限存在右极限存在,不存在不存在.思考题解答左极限存在,右极限存在,不存在.52一、填空题一、填空题:练练 习习 题题一、填空题:练 习 题53练习题答案练习题答案练习题答案54作作业习题习题 1、6作业55 2 函数极限的性质函数极限的性质二、范例二、范例一、一、的基本性质的基本性质 在前面一节中引进的六种类型的函数极限在前面一节中引进的六种类型的函数极限,它们都有类似于数列极限的一些性质它们都有类似于数列极限的一些性质.这里仅这里仅以以 为代表叙述并证明这些性质，至为代表叙述并证明这些性质，至于其它类型的性质与证明，只要相应作一些修于其它类型的性质与证明，只要相应作一些修改即可改即可.2 函数极限的性质二、范例一、的基本性质 56定理定理3.2 (惟惟一性一性)证证 不妨设不妨设 以及以及由极限的定义，对于任意的正数由极限的定义，对于任意的正数(1)存在存在,则此极限惟一则此极限惟一.若若的基本性质的基本性质一、定理3.2 (惟一性)证 不妨设 57(2)式均成立，所以式均成立，所以由由 的任意性，推得的任意性，推得 A=B.这就证明了极限是惟这就证明了极限是惟(1)式式与与一的一的.(2)(2)式均成立，所以由 的任意性，推得 A=B.这58定理定理 3.3（局部有界性）（局部有界性）证证由此得由此得有界有界.这就证明了这就证明了 在在某个空心邻域某个空心邻域 上有界上有界.定理 3.3（局部有界性）证由此得有界.这就证明了 59注：注：(1)试与数列极限的有界性定理（定理试与数列极限的有界性定理（定理 2.3）作一作一(2)有界函数不一定存在极限；有界函数不一定存在极限；说明定理中说明定理中“局部局部”这两个字是关键性这两个字是关键性的的.比较；比较；注：试与数列极限的有界性定理（定理 2.3）作一(2)60定理定理3.4（局部保号性）（局部保号性）若若则对任何正数则对任何正数由此证得由此证得证证 不妨设不妨设 .对于任何对于任何 取取定理3.4（局部保号性）若则对任何正数由此证得证不妨设 61定理定理 3.5（保不等式性）（保不等式性）证证分别存在正数分别存在正数使当使当时时,有有定理 3.5（保不等式性）证分别存在正数使当时,有62数学分析之函数极限课件63定理定理 3.6（迫敛性）（迫敛性）证证 因为因为定理 3.6（迫敛性）证 因为64再由定理的条件，又得再由定理的条件，又得这就证明了这就证明了的极限存在，并且就是的极限存在，并且就是 A.再由定理的条件，又得这就证明了的极限存在，并且就是 A.65在点在点 x0 的极限也存在的极限也存在,且且都存在都存在,则则在点在点 x0 的极限也存在的极限也存在,定理定理 3.7（四则运算法则）（四则运算法则）若若并有并有这些定理的证明类似于数列极限中的相应定理这些定理的证明类似于数列极限中的相应定理.在点 x0 的极限也存在,且都存在,则在点 x0 66二、范例二、范例例例1二、范例例167例例 2因此由迫敛性得因此由迫敛性得解解 由取整函数的性质，由取整函数的性质，时时,有有同理得同理得于是求得于是求得例 2因此由迫敛性得解由取整函数的性质，时,有同理得于是68例例 3 求极限求极限解解 因为因为所以所以例 3求极限解因为所以69例例4特别又有特别又有证证所以所以例4特别又有证所以70作作业习题习题 1、3、4、7作业71一、归结原则一、归结原则3 函数极限存在的条件函数极限存在的条件三、柯西收敛准则三、柯西收敛准则二、单调有界定理二、单调有界定理一、归结原则3 函数极限存在的条件三、柯西收敛准则二、单72一、归结原则一、归结原则的充要条件是的充要条件是:对于在对于在以以 x0 为极限的为极限的都存在都存在,并且相等并且相等.证证(必要性必要性)设设则对任给则对任给定理定理 3.8存在存在那么对上述那么对上述 存在存在一、归结原则的充要条件是:对于在以 x0 为极限的都存在73所以所以这就证明了这就证明了(充分性充分性)（下面的证法很有典型性，大家必须（下面的证法很有典型性，大家必须学学恒有恒有时时,不以不以 A 为极限为极限,则存在正数则存在正数设任给设任给会这种方法会这种方法.）所以这就证明了(充分性)（下面的证法很有典型性，大家必须学恒74现分别取现分别取存在相应的存在相应的使得使得对于任意正数对于任意正数使得使得现分别取存在相应的使得对于任意正数使得75这与这与矛盾矛盾,注注 归结原则有一个重要应用：归结原则有一个重要应用：若存在若存在但是但是不存在不存在.这与矛盾,注 归结原则有一个重要应用：若存在但是不存在.76例例1都不存在都不存在.解解故故不存在不存在.故故不存在不存在.例1都不存在.解故不存在.故不存在.77密集的等幅振荡密集的等幅振荡,当然不会趋于一个固定的值当然不会趋于一个固定的值.为为了让读者更好地掌握其他五类极限的归结原了让读者更好地掌握其他五类极限的归结原则则,我我们写出们写出 时的归结原则如下：时的归结原则如下：-1-0.50.511-1的图象在的图象在 x=0 附近作无比附近作无比从几何上看，从几何上看，密集的等幅振荡,当然不会趋于一个固定的值.为了让读者更78义义,则则定理定理 3.9的某空心右邻域的某空心右邻域有定有定作为一个例题作为一个例题,下面给出定理下面给出定理 3.9 的另一种形式的另一种形式.义义.的充要条件是任给严格递减的充要条件是任给严格递减的的例例 2的某空心右邻域的某空心右邻域上有定上有定义,则定理 3.9的某空心右邻域有定作为一个例题,下面给79证证必要性应该是显然的必要性应该是显然的.下面我们证明充分性下面我们证明充分性.f(x)不以不以 A 为极限为极限.则存在正数则存在正数证必要性应该是显然的.下面我们证明充分性.f(x)不以80这样就得到一列严格递减的数列这样就得到一列严格递减的数列这与条件矛盾这与条件矛盾.这样就得到一列严格递减的数列这与条件矛盾.81二、单调有界定理二、单调有界定理定理定理 3.10 设设 f 为定义在为定义在上的单调有界函数上的单调有界函数,则右极限则右极限证证不妨设不妨设 f 在在因为因为 f(x)有界有界,故故（能够写出关于（能够写出关于的单调有界定理的单调有界定理.）存在存在,设为设为A.由确界定义由确界定义,对于对于二、单调有界定理定理 3.10设 f 为定义在上的单调有界函82由由 f(x)的递减性的递减性,这就证明了这就证明了对于单调函数对于单调函数,归结原则的条件就要简单得多归结原则的条件就要简单得多.例例3存在的充要条件是存在一个数列存在的充要条件是存在一个数列由 f(x)的递减性,这就证明了对于单调函数,归结原则83证证 必要性可直接由归结原则得出必要性可直接由归结原则得出,下面证明充下面证明充分分对于任意对于任意当当 时时,有有假设假设递减递减性性.证 必要性可直接由归结原则得出,下面证明充分对于任意当 84数学分析之函数极限课件85三、柯西收敛准则三、柯西收敛准则有定义有定义,则极限则极限存在的充要条件是存在的充要条件是:任任定理定理3.11 设设 f(x)在在的某个邻域的某个邻域上上三、柯西收敛准则有定义,则极限存在的充要条件是:任定理86对一切对一切 x X，证（必要性）证（必要性）则对于任意则对于任意(充分性充分性)对一切 x X，证（必要性）则对于任意(充分性)87数学分析之函数极限课件88这样就证明了对于任意的这样就证明了对于任意的存在且相等存在且相等.由归结原则由归结原则,存在存在.但是但是注注 由柯西准则可知由柯西准则可知,不存在的充要条件不存在的充要条件这样就证明了对于任意的存在且相等.由归结原则,存在.但是注 89例如例如,存在存在例如,存在90作作业习题习题 1、2、3作业914 两个重要的极限两个重要的极限 一、一、二、二、4 两个重要的极限 一、二、92xyoBCAx11一、xyoBCAx11一、93数学分析之函数极限课件94数学分析之函数极限课件95解解所以所以例例1 求求解所以例1 求96例例2解解例例3解解例2解例3解97证证 我们只需证明：我们只需证明：设两个分段函数分别为设两个分段函数分别为二、证 我们只需证明：设两个分段函数分别为二、98因为因为因为99所以由函数极限的迫敛性，得到所以由函数极限的迫敛性，得到所以由函数极限的迫敛性，得到100注注由此可得由此可得在实际应用中，公式在实际应用中，公式(2)(2)与与(3)(3)具有相同作用具有相同作用.注由此可得在实际应用中，公式(2)与(3)具有相同作用.101解解例例5解解 因为因为例例4解例5解 因为例4102再由迫敛性再由迫敛性,求得求得再由迫敛性,求得103作作业习题习题 1、2作业104二、无穷小量阶的比较二、无穷小量阶的比较5 无穷大量与无穷小量无穷大量与无穷小量 由于由于 等同等同 因因相同的相同的.所以所以“数学分析数学分析”也称为也称为“无穷小无穷小分析分析”.此函数极限的性质与无穷小量的性质在本质上是此函数极限的性质与无穷小量的性质在本质上是四、渐近线四、渐近线三、无穷大量三、无穷大量一、无穷小量一、无穷小量二、无穷小量阶的比较5 无穷大量与无穷小量 由于105一、无穷小量一、无穷小量定义定义1则称则称 f 为为一、无穷小量定义1则称 f 为106显然，无穷小量是有界量显然，无穷小量是有界量.而有界量不一定是无穷而有界量不一定是无穷例如例如:对于无穷小量与有界量，有如下关系：对于无穷小量与有界量，有如下关系：小量小量.显然，无穷小量是有界量.而有界量不一定是无穷例如:对于无穷小1071.两个两个(类型相同的类型相同的)无穷小量的和，差，积仍是无穷小量的和，差，积仍是2.无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量.性质性质1 1可由极限的四则运算性质直接得到可由极限的四则运算性质直接得到.无穷小量无穷小量.下面对性质加以证明下面对性质加以证明.1.两个(类型相同的)无穷小量的和，差，积仍是2.无穷小108例如例如:应当注意应当注意,下面运算的写法是错误的：下面运算的写法是错误的：例如:应当注意,下面运算的写法是错误的：109在在 近旁发生无近旁发生无限密集的振动，其振幅被两条直线限密集的振动，其振幅被两条直线所限制所限制.-0.1-0.050.050.1-0.1-0.05O0.050.1在 近旁发生无限密集的振动，其振幅被两条直线所限制.110二、无穷小量阶的比较二、无穷小量阶的比较两个相同类型的无穷小量，它们的和两个相同类型的无穷小量，它们的和、差差、积仍积仍出如下定义出如下定义.两个无穷小量之间趋于零的速度的快慢，我们给两个无穷小量之间趋于零的速度的快慢，我们给这与它们各自趋于零的速度有关这与它们各自趋于零的速度有关.为了便于考察为了便于考察是无穷小量，但是它们的商一般来说是不确定的是无穷小量，但是它们的商一般来说是不确定的.二、无穷小量阶的比较两个相同类型的无穷小量，它们的和、差、积111例如：例如：例如：1122.若存在正数若存在正数 K 和和 L，使得在，使得在 x0 的某一空心邻域的某一空心邻域内，有内，有根据函数极限的保号性，特别当根据函数极限的保号性，特别当时，这两个无穷小量一定是同阶的时，这两个无穷小量一定是同阶的.例如例如:与与是同阶无穷小量是同阶无穷小量;则称则称 与与 是是时的同阶无穷小量时的同阶无穷小量.2.若存在正数 K 和 L，使得在 x0 的某一空心邻1133.若两个无穷小量在若两个无穷小量在内满足内满足:则记则记当当时，时，x 与与是同阶无穷小量是同阶无穷小量.我们记我们记应当注意，若应当注意，若为为时的同阶无时的同阶无穷小量，当然有穷小量，当然有3.若两个无穷小量在内满足:则记当时，x 与是同阶无穷小量114反之不一定成立反之不一定成立,例例如如但是这两个无穷小量不是同阶的但是这两个无穷小量不是同阶的.注意：注意：这里的这里的和通常的等式是不同的，这两个式子的和通常的等式是不同的，这两个式子的右边，本质上只是表示一类函数例如右边，本质上只是表示一类函数例如表示表示 的所有高阶无穷小量的集合的所有高阶无穷小量的集合反之不一定成立,例如但是这两个无穷小量不是同阶的.注意：115等价无穷小量，记作等价无穷小量，记作等价无穷小量，记作116根据等价无穷小量的定义，显然有如下性质：根据等价无穷小量的定义，显然有如下性质：前面讨论了无穷小量阶的比较前面讨论了无穷小量阶的比较,值得注意的是值得注意的是,并并这是因为这是因为不是任何两个无穷小量都可作阶的比较不是任何两个无穷小量都可作阶的比较.例如例如根据等价无穷小量的定义，显然有如下性质：前面讨论了无穷小量阶117与与均为均为时的无穷小量时的无穷小量,却不却不能能按照前面讨论的方式进行阶的比较按照前面讨论的方式进行阶的比较.这是因为这是因为是一个无界量，并且是一个无界量，并且下面介绍一个非常有用的定理：下面介绍一个非常有用的定理：与均为时的无穷小量,却不能按照前面讨论的方式进行阶的比118定理定理3.12 设函数设函数 f,g,h 在在内有定义内有定义,且且证证所以所以定理3.12设函数 f,g,h 在内有定义,且119定理定理 3.12 告诉我们，在求极限时，乘积中的因子告诉我们，在求极限时，乘积中的因子例例1解解所以所以(2)可以类似地证明可以类似地证明.可用等价无穷小量代替，这是一种很有用的方法可用等价无穷小量代替，这是一种很有用的方法.定理 3.12 告诉我们，在求极限时，乘积中的因子例1解所120例例2解解例2解121有定义有定义,若对于任给若对于任给定义定义2设函数设函数 f 在在G 0,存在存在 0，使得当，使得当则称函数则称函数 f(x)当当 x x0 时为无穷大量时为无穷大量,记作记作时时,有有三、无穷大量三、无穷大量记作记作有定义,若对于任给定义2设函数 f 在G 0,存在122无穷大量和负无无穷大量和负无类似地可以定义如下的无穷大量类似地可以定义如下的无穷大量:穷大量穷大量.无穷大量和负无类似地可以定义如下的无穷大量:穷大量.123例例3证证例例4 当当 a 1 时，求证时，求证这就证明了这就证明了的严格递增性，的严格递增性，当当 x M 时，时，证证 G 0(不妨设不妨设 G 1),由对数由对数例3证例4当 a 1 时，求证这就证明了的严格递增性，当124例例6 6设设 递增，无上界递增，无上界.证明证明证证 因为因为 无上界，所以任给无上界，所以任给 G 0，存在，存在又又因因 递递增增，使使故当故当 时，有时，有例例5证证例6设 递增，无上界.证明证因为 125从无穷大量的定义与例从无穷大量的定义与例3、例、例4和例和例5可以看出：可以看出：无穷大量不是很大的一个数，而是具有非正常的无穷大量不是很大的一个数，而是具有非正常的极限极限.很明显，若很明显，若那么那么 f(x)在在 x0 的任何一个邻域内无界的任何一个邻域内无界.但值得注意的是但值得注意的是:若若 f(x)无界量无界量),并不能保证并不能保证 f(x)是是 x x0 的无穷大量的无穷大量.在在 x0 的任何邻域内无界的任何邻域内无界(称称 f(x)是是 x x0 时的时的从无穷大量的定义与例3、例4和例5可以看出：无穷大量不是很大126因而因而 f(x)不是不是 x 时的无穷大量时的无穷大量.例如：例如：在在 的任何邻域内无界，的任何邻域内无界，却不是却不是 x 时的无穷大量时的无穷大量.事实上事实上,对对因而 f(x)不是 x 时的无穷大量.例如：在 127不是无穷大不是无穷大无界，无界，不是无穷大无界，128无穷大量无穷大量.则称则称 f(x)与与 g(x)是当是当 x x0 时的一个同阶无时的一个同阶无穷穷大量大量.两个无穷大量也可以定义阶的比较两个无穷大量也可以定义阶的比较.设设无穷大量.则称 f(x)与 g(x)是当 x x129的等价无穷大量，的等价无穷大量，下述定理反映了无穷小量与无穷大量之间的关系下述定理反映了无穷小量与无穷大量之间的关系,直观地说：无穷大量与无穷小量构成倒数关系直观地说：无穷大量与无穷小量构成倒数关系.定理定理3.13(1)若若 f 为为 xx0 时的无穷小量时的无穷小量,且不等于零且不等于零,则则当当 x x0 时时的等价无穷大量，下述定理反映了无穷小量与无穷大量之间的关系,130证证 这里仅证明定理的这里仅证明定理的(1).对于任意正数对于任意正数G,因因为为这就证明了这就证明了的无穷小量的无穷小量.f 为为 x x0 时的无穷小量，时的无穷小量，所以存在所以存在使得使得证这里仅证明定理的(1).对于任意正数G,因为这131又因为又因为所以对于任意正数所以对于任意正数G，存在，存在证证由极限的保号性由极限的保号性,因为因为例例7求证求证又因为所以对于任意正数G，存在证由极限的保号性,因为例7求证132注注 对于函数对于函数这就说明了当这就说明了当 b=0 时结论不一定成立时结论不一定成立.即即注对于函数这就说明了当 b=0 时结论不一定成立.即133例例8证证所以所以例8证所以134由此得到一列由此得到一列 ，满足，满足 且且由此得到一列 ，满足 135注注 例例8的证明虽然有些难度，但它却提供了选取的证明虽然有些难度，但它却提供了选取法法,对提高解题能力是有益处的对提高解题能力是有益处的.符合要求的点列的一种方法符合要求的点列的一种方法.熟练地掌握这种方熟练地掌握这种方注 例8的证明虽然有些难度，但它却提供了选取法,对提高136四、渐近线四、渐近线作为函数极限的一个应用，我们来讨论曲线的渐作为函数极限的一个应用，我们来讨论曲线的渐我们已经知道双曲线的标准方程为我们已经知道双曲线的标准方程为它的渐近线方程为它的渐近线方程为近线问题近线问题.四、渐近线作为函数极限的一个应用，我们来讨论曲线的渐我们已经137下面给出渐近线的一般定义下面给出渐近线的一般定义.定义定义4 设设 L 是一条直线是一条直线,若曲线若曲线 C 上的动点上的动点 P 沿沿曲线无限远离原点时曲线无限远离原点时,点点 P 与与 L 的距离趋于零，的距离趋于零，则则称直线称直线 L 为曲线为曲线 C 的一条渐近线的一条渐近线(如图如图).L LC C下面给出渐近线的一般定义.定义4 设 L 是一条直线,138由渐近线的定义，由渐近线的定义，首先首先,我们来看如何求曲线我们来看如何求曲线 的斜渐近线的斜渐近线.如图所示如图所示,设斜渐近线设斜渐近线 L 的方程的方程为为曲曲线上的动点线上的动点 至直线至直线 L的距离为的距离为由渐近线的定义，首先,我们来看如何求曲线 139从而从而又又所以所以从而又所以140这样就确定了这样就确定了斜渐近线斜渐近线的两个参数：的两个参数：这是沿这是沿 x 轴正向的渐近线的方程轴正向的渐近线的方程.显然沿显然沿 x 轴负向轴负向同样也可以求出沿着同样也可以求出沿着 x 的渐近的渐近线方程线方程.的斜渐近线的斜率和截距分别为的斜渐近线的斜率和截距分别为这样就确定了斜渐近线的两个参数：这是沿 x 轴正向的渐近线的141注注 特别当特别当 k=0 时，该渐近线称为水平渐近线时，该渐近线称为水平渐近线.则称则称 x=x0 是曲线是曲线 的垂直渐近线的垂直渐近线.显然，曲线显然，曲线 y=f(x)有水平渐近线的充要条件是有水平渐近线的充要条件是注 特别当 k=0 时，该渐近线称为水平渐近线.则142例如例如有水平渐近线两条有水平渐近线两条:例如例如有垂直渐近线有垂直渐近线:例如有水平渐近线两条:例如有垂直渐近线:143例如例如有垂直渐近线两条有垂直渐近线两条:例如有垂直渐近线两条:144例例9 9解解例9解145数学分析之函数极限课件146注意注意:例例1010解解注意:例10解147数学分析之函数极限课件148数学分析之函数极限课件149例例11 求曲线求曲线的渐近线的渐近线.并且并且 f(x)在其他点处均有有限极限，所以求得在其他点处均有有限极限，所以求得垂垂解解直渐近线为直渐近线为:例11求曲线的渐近线.并且 f(x)在其他点处均有有限极150于是求得斜渐近线方程为于是求得斜渐近线方程为于是求得斜渐近线方程为151思考题思考题思考题152思考题解答思考题解答不能保证不能保证.例例有有思考题解答不能保证.例有153一、填空题一、填空题:练练 习习 题题一、填空题:练 习 题154练习题答案练习题答案练习题答案155作作业习题习题 1、5、6、9作业156数学分析之函数极限课件157