力学竞赛-第十章简单静不定问题

第 十 章 简 单 静 不 定 问 题 第 一 节 静 不 定 结 构 的 基 本 概 念第 二 节 拉 压 静 不 定 问 题 第 三 节 扭 转 静 不 定 问 题 第 四 节 静 不 定 梁 第 五 节 用 力 法 解 静 不 定 结 构 第 六 节 综 合 举 例 本 章 重 点1.拉 压 静 不 定 问 题2.扭 转 静 不 定 问 题 3. 静 不 定 梁 第 一 节 静 不 定 结 构 的 基 本 概 念一 、 静 定 、 静 不 定 结 构1. 静 定 结 构 结 构 的 全 部 约 束 反 力 和 内 力 都 可 由 静 力 平 衡 方 程 求 得 。 2. 静 不 定 结 构 结 构 的 约 束 反 力 与 内 力 数 多 于 静 力 平 衡 方 程 数 。 3. 静 不 定 次 数 未 知 力 数 减 去 静 力 平 衡 方 程 数 。4.多 余 约 束 超 过 静 定 结 构 所 需 的 约 束 。判 别 下 列 结 构 是 否 静 定 。 指 出 静 不 定 结 构 的 静 不 定 次 数 。 静 不 定 结 构 ： 结 构 的 强 度 和 刚 度 均 得 到 提 高 目 录 二 基 本 静 定 系 （ 静 定 基 ） ， 相 当 系 统基 本 静 定 系 ： 解 除 静 不 定 结 构 的 多 余 约 束 后 得 到 的 静 定 结 构 。相 当 系 统 ： 在 静 定 基 上 加 上 外 载 荷 以 及 多 余 约 束 力 的 系 统 。 MCM C MBFFMA 目 录 第 二 节 拉 压 静 不 定 问 题静 不 定 结 构 的 求 解 方 法 ：1、 列 出 独 立 的 平 衡 方 程2、 找 变 形 几 何 关 系3、 物 理 关 系4、 求 解 方 程 组 建 立 补 充 方 程一 、 求 解 拉 压 静 不 定 问 题 的 约 束 反 力 目 录 1、 列 出 独 立 的 平 衡 方 程例 题 10-1 210 NNx FFF 0cos20 31 FFFF NNy 解 ： 目 录 EAlFl N33 补 充 方 程 33 cos21 FFN 3、 物 理 关 系cos11 EA lFl N coscos 31 EAlFEA lF NN 231 cosNN FF 4、 求 解 方 组 得 3221 cos21 cos FFF NN1l 2l 3l cos321 lll 2、 找 变 形 几 何 关 系目 录 例 10-2 2.找 变 形 几 何 关 系 : wst ll F WFstF 解 ： 1.写 平 衡 方 程 :0, 0y W stF F F F W=12MPa， EW=10G Pa， 求 许 可 载 荷 F。F250250 木 制 短 柱 的 4个 角 用 4个 40mm 40mm 4mm的 等 边 角 钢 加 固 ，已 知 角 钢 的 许 用 应 力 st=160MPa， Est=200G Pa； 木 材 的 许 用 应 力 目 录 F WFstFF250250 3.物 理 关 系 : WWWW AE lFl stststst AE lFl WWWstst st AEFAEF 补 充 方 程 :代 入 数 据 ， 求 得 FFFF stW 283.0717.0 查 表 知 ， 40mm 40mm 4mm等 边 角 钢 2cm086.3stA,cm34.124 2 stst AA 2cm6252525 WA 目 录 4.根 据 角 钢 的 强 度 条 件 确 定 F ststst A F 283.0 kN698F5.根 据 木 柱 强 度 条 件 确 定 F WWW A F 717.0 kN1046F许 可 载 荷 kN698F F 250250 目 录 例 10-3 图 示 钢 杆 ， 弹 性 模 量 E=200G Pa， 加 工 误 差 和 杆 长 之 比解 ：10001 L MPa200， 将 杆 装 在 两 刚 性 支 座 之 间 ， 试 求 装 配 应 力 。L EAlFNLEAFN LEAF N 二 装 配 应 力静 不 定 结 构 中 ， 因 杆 件 尺 寸 有 微 小 误 差 ， 装 配 后 在 杆 件 内 产 生的 应 力 称 为 装 配 应 力 。 目 录 例 10-4 图 示 杆 系 结 构 中 ， 6杆 比 名 义 长 度 短 ， 设 各 杆 的 抗 拉 刚 度都 是 EA， 试 求 装 配 完 成 后 ， 各 杆 的 内 力 。解 ： 截 断 6杆 ， 设 6杆 受 拉 ， 拉 力 为 F6。取 节 点 A 为 研 究 对 象 ，F 1= F2= 622 F由 对 称 知 ， F5= F6， F4= F2， F1= F3F1 F6F2A F5 =F6F6 F6 由 平 衡 方 程 解 得 ，目 录 F2 F3BF5F1 F6F2AF6 F6 16N6 FF 226N1 FF 根 据 卡 氏 第 二 定 理 ， )21(22222224 6666NiiNi61i EAlFEA lFEA lFFFEAlF )21(2 6 l EAF ）（ 214 24321 EAFFFF 解 得 目 录 当 系 统 的 温 度 升 高 时 ,下 列 结 构 中 的 _不 会 产 生 温 度 应 力 。 A B C D讨 论 题三 温 度 应 力静 不 定 结 构 中 ， 由 于 温 度 改 变 而 在 杆 件 内 产 生 的 应 力 称 为 温 度 应 力 。 目 录 例 10-5 图 示 结 构 中 的 三 角 形 板 可 视 为 刚 性 板 。 1杆 材 料 为 钢 ， 2杆材 料 为 铜 ， 两 杆 的 横 截 面 面 积 分 别 为 A1=1000mm2， A2=2000mm2。钢 杆 的 弹 性 模 量 为 E1=210G Pa， 线 膨 胀 系 数 1=12.5 10-6 -1；铜 杆 的 弹 性 模 量 为 E2=100G Pa， 线 膨 胀 系 数 2=16.5 10-6 -1； 目 录试 求 温 度 升 高 20 时 ， 1、 2杆 内 的 应 力 。m2 m21 A m4 m12 0 AM 02 21 FF解 ： 1.列 静 力 平 衡 方 程2.变 形 协 调 方 程 12 2 LL 3.物 理 方 程 11 !1 111 TLAELFL 2222 222 TLAE LFL 解 得 kN14.52 F MPa57.22 kN28.101 F MPa14.51 2L1L m2 m21 A m4 m121FAxF 2FAyF 目 录 0 BA MM 0BA pAGILM p eAGI LMM pAGILM 03eBA MMM 第 三 节 扭 转 静 不 定 问 题BA L L L eM eM BMAM例 10-6 在 圆 轴 作 用 有 外 力 偶 矩 Me， 试 绘 出 该 轴 的 的 扭 矩 图 。解 ： 1.列 静 力 平 衡 方 程2.变 形 协 调 方 程3.代 入 物 理 方 程 ， 建 立 补 充 方 程MA Me- MA MB+ +- 解 得 :eM eMMe /3 e2 /3 e /3 目 录 例 10-7 一 空 心 圆 管 A套 在 实 心 圆 杆 B的 一 端 ， 两 杆 在 同 一 横 截 面 处杆 B上 施 加 外 力 偶 ， 使 其 扭 转 到 两 孔 对 准 的 位 置 ， 在 孔 中 装 上 销图 10-8 图 10-9 解 ： 1. 静 力 平 衡xBxA MM BA 2.变 形 协 调 方 程A 目 录 各 有 一 直 径 相 同 的 贯 穿 孔 ， 但 两 孔 的 中 心 线 的 相 差 夹 角 。 现 在钉 。 试 求 在 外 力 偶 除 去 后 两 杆 所 受 的 扭 矩 。 pAAxAA GI lM3. 物 理 方 程 pBBxBB GI lM )( pBBpAAxA IlIlGM xA xBA BpA pBGM Ml lI I 目 录 第 四 节 静 不 定 梁求 解 静 不 定 梁 的 方 法 是 ： 解 除 静 不 定 结 构 的 多 余 约 束 ， 得 到 受 力和 变 形 与 静 不 定 梁 完 全 相 同 的 相 当 系 统 ； 将 相 当 系 统 解 除 约 束 处 的变 形 与 静 不 定 梁 相 比 较 ， 找 到 多 余 约 束 处 的 变 形 协 调 条 件 。 图 示 梁 是 否 静 定 ？ 可 取 的 相 当 系 统 有 几 种 形 式 ？ 其 变 形 协 调 条 件 是 什 么 ？ BFF eMA BC1C CFF eMA BCF eMA BC1C kFw CC 0Bw 目 录 例 10-8 作 图 示 梁 的 剪 力 弯 矩 图 。L BA qZEI BA q ZEI 1BwBA ZEI 2BwBFBA qZEI BF 解 ： 1. 去 掉 B处 约 束 ， 代 之 以 约 束 反 力2.变 形 协 调 方 程 021 BB ww ZBEILF3 33.用 叠 加 法 求 变 形 ， 建 立 补 充 方 程ZEIqL8 4 0 qlFB 83目 录 ql83ql85 kN21289 ql281ql mkN4.取 梁 AB为 研 究 对 象 ， 建 立 平 衡 方 程5.作 内 力 图+ + - qlFA 85 qlFB 83281qlMA BA qL xC 083Q qlqxF C令 lx 83 22 12892183 qlqxqlxMC 目 录 2L BA 2LqC 例 10-9 图 示 梁 ,A处 为 固 定 铰 链 支 座 ,B,C二 处 为 辊 轴 支 座 .梁 作 用 有 均 布 荷 载 .已 知 :均 布 荷 载 集 度 q=15N/m,L=4m,梁 截 面 为圆 ， 直 径 d=100mm， =100MPa。 试 校 核 该 梁 的 强 度 。 0 CCC Fwqw ZEIqL3845 4 ZCEILF48 3 0qLFC 85C BA q 解 ： 1. 去 掉 C处 约 束 ， 代 之 以 约 束 反 力2.变 形 协 调 方 程 目 录CF 2L BA 2LqC CFAF BFqLFC 85 3.列 静 力 平 衡 方 程 0 qLFFF CBA 0yF 0 AM 022 2 qLLFLF BC qLFB 163 qLFA 163 mkN5.7 max MZWM max 3max32 dM MPa4.76 4.作 内 力 图5.建 立 强 度 条 件梁 安 全mkN22.4 mkN5.7 mkN22.4 qL163 qL165qL165 qL163+ - + -+ - + 目 录 例 10-10 梁 AB 和 BC 在 B 处 铰 接 ， A、 C 两 端 固 定 ， 梁 的 抗 弯刚 度 均 为 EI， F = 40kN， q = 20kN/m。 画 梁 的 剪 力 图 和 弯 矩 图 。 拆 开 B 处 铰 链 ， 使 超 静 定 结 构 变 成 两 个 悬 臂 梁 。1.变 形 协 调 方 程 为 ： 21 BB ww FBwB1 2.物 理 关 系 EIFEIqw BB 3 48 4 341 EIFEIFw B B3 46 52 332 解 ： 补 充 方 程 ： EIFEIFEIFEIq BB 3 46 523 48 4 3334 kN75.848 42046 104023 342 BF 目 录 F BB BF F wB2 FB F B 3.取 AB 为 研 究 对 象 ， 建 立 平 衡 方 程 ：04,0 qFFF BAy kN25.71AF 0424,0 BAA FqMM mkN125 AM 0,0 FFFF CBy kN75.48CF 042,0 BCC FFMM kN.m115 CM4.取 BC 为 研 究 对 象 ， 建 立 平 衡 方 程 ：25.71 75.8 75.48kN/QF 125 11594.1 5.17mkN/ M 042 BC FFM kN.m15MC方 向 设 反 ， 将 其 改 正+ - - 5.作 剪 力 、 弯 矩 图 目 录 例 10-11 结 构 如 图 示 ， 设 梁 AB和 CD的 弯 曲 刚 度 EIz相 同 。a2 BA q aC a D a2 BA q 解 ： 将 杆 CB移 除 ， 代 之 以 杆 CB的 未 知 轴 力 FN。C a a DNF NF NF NF BCCB Lww 拉 杆 BC的 拉 压 刚 度 EA为 已 知 ,求 拉 杆 BC的 轴 力 。1.变 形 协 调 方 程 为 ： 目 录 a2 BA q aC a Da2 BA q C a a DNF NF NF NF ZB EIaqw 82 4 ZNEIaF3 2 3ZNC EIaFw 3 3 EAaFL NBC EAaFEIaFEIaFEIaq NZNZNZ 33 282 334 ZN IAa AqaF 2 332 2.物 理 关 系 补 充 方 程 ：解 得 ： 目 录 第 五 节 用 力 法 解 静 不 定 结 构用 变 形 比 较 法 求 多 余 约 束 的 约 束 反 力 时 ， 常 遇 到 多 余 约 束 处位 移 为 零 情 况 。 材 料 处 于 线 弹 性 阶 段 时 ， 多 余 约 束 力 Xi引 起 某 方向 的 位 移 等 于 Xi方 向 单 位 载 荷 Foi引 起 的 位 移 和 Xi的 乘 积 。 据 此 ，可 将 变 形 协 调 条 件 归 纳 成 标 准 形 式 。 目 录 圆 形 曲 杆 A端 固 定 ， B端 铰 支 ， 在 C截 面 处 作 用 一 径 向 力 F，在 力 F作 用 下 ， B端 在 X1方 向 上 的 位 移 为 1F， 在 单 位 力 作 用 下 ，为 一 次 静 不 定 结 构 。 解 除 B端 约 束 ， 加 上 多 余 约 束 支 座 反 力 为 X1，1111 1 XX 01111 FX位 移 为 11，从 式 中 可 解 出 未 知 力 X1。 目 录， 变 形 协 调 条 件 为 对 于 n次 静 不 定 结 构 ， 解 除 n个 多 余 约 束 ， 加 上 个 多 余 约 束 反 力（ 或 已 知 ） ， 故 有 0002211 22222121 11212111 nFnnnnn Fnn Fnn XXX XXX XXX iFij 表 示 Fj0引 起 的 沿 Xi方 向 的 位 移 ， 以表 示 外 载 荷 引 起 的 相 应 位 移 。 而 原 系 统 在 多 余 约 束 处 的 位 移 为 零X1、 X2、 Xn,以力 法 的 正 则 方 程 目 录 根 据 位 移 互 等 定 理 有 jiij 写 成 矩 阵 形 式 ， 0. . . n21n21nnn2n1 n22221 n11211 FFFXXX 矩 阵 是 对 称 矩 阵 。 目 录 例 10-11求 图 示 静 不 定 刚 架 B支 座 的 约 束 反 力 。 设 AC、 CB两 杆解 ： 去 掉 B处 约 束 ， 代 之 以 约 束 反 力 。CB段 : （ 0 x 1l）01 ）（ xM 1110 xxM ）（ 0102 ）（ xM 1103 ）（ xM目 录 的 EI相 同 。 FO1=1 FO2=1 FO3=1 AC段 ： （ 0 x2l）222 21qxxM ）（ lxM ）（ 210 2202 xxM ）（ 1203 ）（ xMEIqlldxqxEI lF 621 40 2221 EIqldxxqxEI lF 821 40 22222 EIqldxqxEI lF 6121 30 2223 目 录FO1=1 FO2=1 FO3=1 EIldxllEIdxxxEI ll 3411 300 11111 EIldxxxEI l 31 30 22222 EIldxEIdxEI ll 2111111 00 133 EIlldxxEI l 21 30 222112 EIldxlEIdxxEI ll 231111 20 20 113113 EIldxxEI l 211 20 223223 CB段 : （ 0 x1l）01 ）（ xM 1110 xxM ）（ 0102 ）（ xM 1103 ）（ xMAC段 ： （ 0 x2l）222 21qxxM ）（ lxM ）（ 210 2202 xxM ）（ 1203 ）（ xM 目 录 0938 2321 qlXlXlX 0312812 2321 qlXlXlX 01239 2321 qlXlXlX 161 qlX 1672 qlX 4823 qlX 解 此 联 立 方 程 ， 求 出 ， 目 录 第 六 节 综 合 举 例水 平 平 面 内 ， 其 中 C为 球 铰 ， l=2m， 铅 垂 力 F=27.5N。 钢 材 的 弹 性例 10-12 低 碳 钢 折 杆 ACB， 截 面 为 圆 形 ， 直 径 d=0.11cm， 位 于试 选 用 适 当 的 强 度 理 论 ， 校 核 杆 的 强 度 ， 并 画 出 危 险 点 单 元 体 图 。解 ： 去 掉 C处 约 束 ， 代 之 以 约 束 反 力 FCy变 形 协 调 方 程 21 EI LFF CY3 )( 31 目 录 一 、 综 合 举 例 ， 剪 切 弹 性 模 量 ， 许 用 应 力 GPa80G MPa170 GPa200E模 量 33 )2()2(32 LGIFLEIF pCyCy 11 xFxM Cy）（ 22)( xFxM Cy 2/0 2P2/0 2 d41d2 llC xlFGIxFxEI 22 xFxM Cy）（ 11)( xF xM yC 2lFM Cyx lFMx x1 x2 目 录 由 图 可 看 出 ， 截 面 A、 B为 危 险 截 面 。 mkN23kN.m25.11)( LFFM CyA弯 曲 应 力 ： MP176MPa10111023 a6332 3 zAw WM代 入 变 形 协 调 方 程 ， 并 根 据 II p 2 5.2GE kN165.2716 FFCy %5.3 w 强 度 满 足 要 求 。 目 录 mkN162 LFM CyB mkN162 LFM CyBx按 第 四 强 度 理 论 MPa162Mpa101132 75.01101675.0 6332 224xd z TB W MM 强 度 满 足 要 求 。目 录 CF 例 10-12 图 示 结 构 ， 梁 为 矩 形 截 面 ， h=2b=128mm， CD杆 为 圆 截 面 ，直 径 d=60mm。 材 料 为 Q235钢 ， E=200G Pa， P= 200MPa，s= 240MPa， 取 强 度 安 全 系 数 n=1.2， 稳 定 安 全 系 数 nst=2.5，解 ： 1.求 支 座 反 力 。 取 相 当 系 统 如 图变 形 协 调 方 程 Lww CCq L LL 目 录试 校 核 结 构 的 安 全 性 。 mkN25.11 m0kN2 m1.25kN1 CF+ - + -+0kN3 0kN50kN5 0kN3+ ZCq EIqLw 3845 4 ZCCF EILFw 48 3EALFL C 46m1018.11 I 26m102827 A解 得 kN100CF由 对 称 知 ： kN30 BA FF2.作 内 力 图3.令 FQD=0 x=0.75mmkN 25.11 DM mkN 20 CM Dx BFAF 目 录 mkN25.11 m0kN2 m1.25kN1 + - + -+0kN3 0kN50kN5 + kN100CF mkN 20 CMCF 3.校 核 结 构 安 全 性（ 1） 梁 AB弯 曲 强 度 校 核 MP115Pa1018.11 10641020 a63 33 zCw WM 170MPaMPa4.1240 ns（ 2） 压 杆 稳 定 性 校 核1 mm154 di 133 iL29.99P2P E P kN 314)( 22Cr LEIF st3 nFFCCr 结 论 ： 结 构 安 全 目 录 二 、 静 不 定 结 构 降 次10 kN10 kN _ + 10 kN 10kN10kN 20kNA B C D20kN 结 构 对 称 ， 受 载 对 称 时 ， 轴 力 对 称 。轴 力 为 对 称 内 力 ，如 将 轴 力 图 视 为 “ 扭 矩 图 ” ， 外 力 偶 反 对 称 。扭 矩 为 反 对 称 内 力 ， mkN25.11 m0kN2 m1.25kN1 + - + -+0kN3 0kN50kN5 + 结 构 对 称 ， 受 载 对 称 时 ，剪 力 为 反 对 称 内 力 ，CF 剪 力 反 对 称 ， 弯 矩 对 称 。目 录弯 矩 为 对 称 内 力 结 构 对 称 受 力 反 对 称 时 ， 结 构 产 生 反 对 称 变 形 。 在 对 称 截结 构 对 称 受 力 也 对 称 时 ， 产 生 对 称 变 形 ， 在 对 称 截 面 上 ，利 用 结 构 的 这 种 对 称 、 反 对 称 性 质 ， 可 降 低 静 不 定 次 数 ， 简 化 计 算 。目 录反 对 称 内 力 为 零 。面 上 ， 对 称 内 力 为 零 。 例 10-13 半 径 为 R的 圆 环 ， 直 径 CD方 向 受 一 对 力 F作 用 ， 求 圆 环 内 弯 矩 M， 并 计 算 C、 D点 的 相 对 位 移 。B上 弯 矩 和 轴 力 应 与 截 面 A上 相 等 。3X剪 力 未 知 ， 封 闭 圆 环 为 三 次 静 不 定 。 利 用 对 称 性 。 直 径 AB为 一 对 称 轴 ， 故 对 称 截 面 A上 剪 力 应 为 零 。 又 CD也 对 称 轴 ， 截 面 2/2 FX 由 竖 直 方 向 力 的 平 衡 可 得 1X， 故 只 有 弯 矩 未 知 。目 录 解 ： 1.确 定 静 不 定 次 数 。 在 A处 截 开 圆 环 ， 弯 矩 1X 2X， 轴 力 ，X2X 3 2/F 2/FF01111 FX2.建 立 正 则 方 程 。 外 力 引 起 弯 矩 ： cos12 FRM F单 位 力 偶 引 起 弯 矩 ： 0 -1M 目 录根 据 对 称 性 ， 取 1/4圆 环 进 行 计 算 20 l EIRdEIRdsEIMM 200011 2 2 20 21 0 1 cos- 12 2FF l FRM M FRds dEI EI EI 01222 21 EIFREIRX FRFRX 182.0121 3.求 圆 环 内 弯 矩 1 0 1 cos 0.182 1 0.636 cos2 2F FR FRM M X M FR cos12 FRM F 0 -1M 目 录 4、 计 算 C、 D点 的 相 对 位 移 。 0.636 cos 2FRM 0.636 cos 2M RF 根 据 对 称 性 ， 取 1/4圆 环 进 行 计 算 20 204 0.636 cos 0.636 cos d2 2CD FR R REI 4 0.14 0.18F FER ER 一 、 静 不 定 结 构 的 求 解 方 法1、 列 出 相 当 系 统 独 立 的 平 衡 方 程2、 找 变 形 几 何 关 系3、 物 理 关 系4、 求 解 方 程 组 建 立 补 充 方 程二 、 力 法 的 正 则 方 程 0 . . . n21n21nnn2n1 n22221 n11211 FFFXXX 目 录