齐次线性方程组解的性质

解 向 量 的 概 念设有齐次线性方程组 0002211 2222121 1212111 nmnmm nn nn xaxaxa xaxaxa xaxaxa 若记（1）一、齐次线性方程组解的性质 解 向 量 的 概 念设有齐次线性方程组 0002211 2222121 1212111 nmnmm nn nn xaxaxa xaxaxa xaxaxa 若记（1）一、齐次线性方程组解的性质 ,aaa aaa aaaA mnmm nn 21 22221 11211 nxxxx 21则上述方程组（1）可写成向量方程.Ax 0 1212111 nnx,x,x 若为方程 的0Ax解，则 121111 nx 称为方程组(1) 的解 向 量，它也就是向量方程(2)的解 齐 次 线 性 方 程 组 解 的 性 质（ 1） 若 为 的 解 ， 则 21 x,x 0Ax21 x0Ax也 是 的 解 .证 明 02121 AAA 00 21 A,A .Axx的解也是故021 （ 2） 若 为 的 解 ， 为 实 数 ， 则 也 是 的 解 1x 0Ax k1kx 0Ax证 明 .kkAkA 0011 由以上两个性质可知，方程组的全体解向量所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线性方程组 的解 空 间0Ax证毕. 如 果解 系 的 基 础称 为 齐 次 线 性 方 程 组, 0 , 21 Axt ; 0,)1( 21 的 解的 一 组 线 性 无 关是 Axt . ,0)2( 21出 线 性 表的 任 一 解 都 可 由 tAx 基 础 解 系 的 定 义二、基础解系及其求法 的通解可表示为那么的一组基础解系为齐次线性方程组如果0 Ax Axt , 0, 21 ttkkkx 2211 ., 21是任意常数其中rnkkk 线 性 方 程 组 基 础 解 系 的 求 法 00 00 10 01 ,1 ,111 rnrr rnbb bbA设齐次线性方程组的系数矩阵为 ，并不妨设 的前 个列向量线性无关r于是 可化为AA A 000 00 10 01 21,1 ,111 nrnrr rn xxxbb bb nrn,rrrr nrn,r xbxbx xbxbx 11 111110Ax 现对 取下列 组数：nr x,x 1 rn nrrxxx 21 nrn,rrrr nrn,r xbxbx xbxbx 11 11111分别代入., 100,010, 001 依次得 rxx1,bbr 001 1111 ,010 2122 rbb .bb rn,r rn,rn 1001从而求得原方程组的 个解：rn .bb, rn,r rn, 1,bbr 212,bbr 111 , 下面证明 是齐次线性方程组解空间的一个基rn, 21 100,010,001 由于 个 维向量rn rn线性无关，所以 个 维向量 亦线性无关.rn n rn, 21 .,)1( 21 线 性 无 关证 明 n . ,2)( 21线 性 表 示 可 由证 明 解 空 间 的 任 一 解 都 rn . 11方程组的一个解为上述设Tnrrx , rn的线性组合再作 21 rnnrr 2211由于 是 的解 故 也是 的解. rn, 21 0Ax 0Ax,. 下面来证明 001 1111 rr bb 010 2122 rr bb 1001 rn,r rn,n bb rnnrr 2211 nrrrcc 211,Ax的解都是方程与由于0又等价于而0Ax nrnrrrr nrnr xbxbx xbxbx ,11 ,11111 ,都是此方程组的解与所以 nrrrcc 211 nrr r 211由.c,c rr 11方程组 . 故.rnnrr 2211即 所以 是齐次线性方程组解空间的一个基.rn, 1说 明解空间的基不是唯一的解空间的基又称为方程组的基 础 解 系.kkkx rnrn 2211若 是 的基础解系，则其通 解为 rn, 21 0Ax., 21是任意常数其中rnkkk 定 理 1 .,)( , 0 rnSrAR S xAnnm nm 的 维 数 为解 空 间时 当 系 数 矩 阵 的 秩是 一 个 向 量 空 间构 成 的 集 合 的 全 体 解 所元 齐 次 线 性 方 程 组 );0,( ,)( 维向量空间为向量此时解空间只含一个零系故没有基础解方程组只有零解时当nAR ., , ,)( 1111 2211 21 RkkkkxS kk kkkx rnnrAR rnrnrnrn rnrnrn 解空间可表示为为任意实数其中方程组的解可表示为此时基础解系个向量的方程组必有含时当 例 1 求齐次线性方程组 0377 ,02352 ,04321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx的基础解系与通解.解 ,0000 747510 7372011377 2352 1111 A对系数矩阵 作初等行变换，变为行最简矩阵，有A .7475 ,7372 432 431 xxx xxx 便得,100143 及令xx ,74 7375 7221 及对应有xx ,1074 73,0175 72 21 即得基础解系 ).,(,1074 730175 72 21214321 Rccccxxxx 并由此得到通解 例 2 解线性方程组 07653 023 05532 034 54321 54321 54321 54321 xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx解 76513 12311 55312 34111A对系数矩阵施行初等行变换 00000 00000 13110 34111 ,rn,n,rAR 352 即方程组有无穷多解， 其基础解系中有三个线性无关的解向量. 5432 54321 3 34 xxxx xxxxx代入 26220 26220 13110 34111 543xxx令,010, 001 .100 所以原方程组的一个基础解系为, 001121故原方程组的通解为.kkkx 332211 .k,k,k为任意常数其中321 ,xx 1221依次得.12,31 , 010312 . 100123 例 3 ).()( ARAAR T 证明证 .,维列向量为矩阵为设nxnmA ;0)( ,0)(,0 xAA AxAAxxT T即则有满足若 .0,0)()( ,0)(,0)( AxAxAx xAAxxAAxT TTT从而推知即则满足若 ,0)(0同解与综上可知方程组 xAAAx T).()( ARAAR T 因此 .0 ,1)( 2 121 的 解为 对 应 的 齐 次 方 程 则的 解都 是及设 Ax xbAxxx 证 明 .021 bbA .021 Axx满足方程即 bAbA 21 , 非 齐 次 线 性 方 程 组 解 的 性 质三、非齐次线性方程组解的性质 证 明 AAA ,0 bb .的解是方程所以bAxx 证毕.,0 ,2)( 的 解仍 是 方 程则的 解 是 方 程的 解是 方 程设 bAxxAx xbAxx .11 rnrnkkx 其中 为对应齐次线性方程组的通解， 为非齐次线性方程组的任意一个特解. rnrnkk 11 非 齐 次 线 性 方 程 组 的 通 解非齐次线性方程组Ax=b的通解为 与 方 程 组 有 解 等 价 的 命 题bAx ;, 21 线 性 表 示能 由 向 量 组向 量 nb ;, 2121 等 价与 向 量 组向 量 组 bnn . , 2121的 秩 相 等 与 矩 阵矩 阵 bBA nn 线 性 方 程 组 有 解bAx 线 性 方 程 组 的 解 法（ 1） 应 用 克 莱 姆 法 则（ 2） 利 用 初 等 变 换特点：只适用于系数行列式不等于零的情形，计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可用来证明很多命题特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效的计算方法 例 4 求解方程组 .2132 ,13 ,04321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx解 :施行初等行变换对增广矩阵B 213211 13111 01111B ,00000 212100 211011 并有故方程组有解可见,2)()( BRAR .212 ,2143 421 xx xxx ,042 xx取,2131 xx则即得方程组的一个解.021021 取中组在对应的齐次线性方程,2 ,43 421 xx xxx ,100142 及xx ,210131 及则xx程组的基础解系即得对应的齐次线性方,1201,0011 21 于是所求通解为).,(,02102112010011 21214321 Rccccxxxx .123438 ,23622 ,2323 ,754321 5432 54321 54321 xxxxx xxxx xxxxx xxxxx解 1213438 2362120 231213 711111B例 5 求下述方程组的解 000000 000000 2362120 711111 .,知方程组有解由BRAR ,3,2 rnAR又所以方程组有无穷多解.且原方程组等价于方程组 23622 75432 54321 xxxx xxxxx 求 基 础 解 系 .100,010,001543 xxx 令依次得.32,10,21 2121 xx 23622 75432 54321 xxxx xxxxx代入 .10032,01010,001 21 21 321 求 特 解 .223,29,0 21543 xxxxx得令所以方程组的通解为故得基础解系 .000223 291003200010001 21 21 321 kkkx ., 321为任意常数其中kkk另 一 种 解 法 1213438 2362120 231213 711111B 000000 000000 2362120 711111 000000 000000 223312110 29202101则原方程组等价于方程组 223321 29221 5432 531 xxxx xxx 55 44 33 5432 531 22332 2922xx xx xx xxxx xxx所以方程组的通解为 .000223 291003201010001 21 21 321 kkkx ., 321为任意常数其中kkk 齐 次 线 性 方 程 组 基 础 解 系 的 求 法 00 00 10 01 1 111 rn,rr rn,bb bbA四、小结（1）对系数矩阵 进行初等变换，将其化为最简形A nrn,rrrr nrn,r xbxbx xbxbxAx 11 111110由于令.,xxx nrr 10001000121 （2）得出 ，同时也可知方程组的一个基础解系含有 个线性无关的解向量 rAR rn ,bbr 001 1111 ,bbr 010 2122 .bb, rn,r rn,rn 1001 故,bb,bb,bbxx rn,r rn,rrr 12121111得 为齐次线性方程组的一个基础解系.有解0Ax nAR 个解向量此时基础解系中含有ARn nBRAR nBRAR .有无穷多解bAx BRAR .无解bAx .有唯一解bAx 线 性 方 程 组 解 的 情 况 满足的三个解向量方程组如果非齐次线性且矩阵是设321 , .1,3 bAx ARmA ,32121 ,11032 10113 .的通解求bAx 思考题 ,1)(,3 ARmA矩阵是解思考题解答. 2130 无关的解向量个线性的基础解系中含有Ax则令, 133221 cba ,21 231)(211 bca ,23 230)(213 acb ,25 210)(212 cba ,21121 23131 .0的基础解系中的解向量为Ax的通解为故bAx ,21 231231211 21321 kkxxx ., 21为任意实数其中kk ,aaa aaa aaaA mnmm nn 21 22221 11211 nxxxx 21则上述方程组（1）可写成向量方程.Ax 0 1212111 nnx,x,x 若为方程 的0Ax解，则 121111 nx 称为方程组(1) 的解 向 量，它也就是向量方程(2)的解 齐 次 线 性 方 程 组 解 的 性 质（ 1） 若 为 的 解 ， 则 21 x,x 0Ax21 x0Ax也 是 的 解 .证 明 02121 AAA 00 21 A,A .Axx的解也是故021 （ 2） 若 为 的 解 ， 为 实 数 ， 则 也 是 的 解 1x 0Ax k1kx 0Ax证 明 .kkAkA 0011 由以上两个性质可知，方程组的全体解向量所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线性方程组 的解 空 间0Ax证毕. 如 果解 系 的 基 础称 为 齐 次 线 性 方 程 组, 0 , 21 Axt ; 0,)1( 21 的 解的 一 组 线 性 无 关是 Axt . ,0)2( 21出 线 性 表的 任 一 解 都 可 由 tAx 基 础 解 系 的 定 义二、基础解系及其求法 的通解可表示为那么的一组基础解系为齐次线性方程组如果0 Ax Axt , 0, 21 ttkkkx 2211 ., 21是任意常数其中rnkkk 线 性 方 程 组 基 础 解 系 的 求 法 00 00 10 01 ,1 ,111 rnrr rnbb bbA设齐次线性方程组的系数矩阵为 ，并不妨设 的前 个列向量线性无关r于是 可化为AA A 000 00 10 01 21,1 ,111 nrnrr rn xxxbb bb nrn,rrrr nrn,r xbxbx xbxbx 11 111110Ax 现对 取下列 组数：nr x,x 1 rn nrrxxx 21 nrn,rrrr nrn,r xbxbx xbxbx 11 11111分别代入., 100,010, 001 依次得 rxx1,bbr 001 1111 ,010 2122 rbb .bb rn,r rn,rn 1001从而求得原方程组的 个解：rn .bb, rn,r rn, 1,bbr 212,bbr 111 , 下面证明 是齐次线性方程组解空间的一个基rn, 21 100,010,001 由于 个 维向量rn rn线性无关，所以 个 维向量 亦线性无关.rn n rn, 21 .,)1( 21 线 性 无 关证 明 n . ,2)( 21线 性 表 示 可 由证 明 解 空 间 的 任 一 解 都 rn . 11方程组的一个解为上述设Tnrrx , rn的线性组合再作 21 rnnrr 2211由于 是 的解 故 也是 的解. rn, 21 0Ax 0Ax,. 下面来证明 001 1111 rr bb 010 2122 rr bb 1001 rn,r rn,n bb rnnrr 2211 nrrrcc 211,Ax的解都是方程与由于0又等价于而0Ax nrnrrrr nrnr xbxbx xbxbx ,11 ,11111 ,都是此方程组的解与所以 nrrrcc 211 nrr r 211由.c,c rr 11方程组 . 故.rnnrr 2211即 所以 是齐次线性方程组解空间的一个基.rn, 1说 明解空间的基不是唯一的解空间的基又称为方程组的基 础 解 系.kkkx rnrn 2211若 是 的基础解系，则其通 解为 rn, 21 0Ax., 21是任意常数其中rnkkk 定 理 1 .,)( , 0 rnSrAR S xAnnm nm 的 维 数 为解 空 间时 当 系 数 矩 阵 的 秩是 一 个 向 量 空 间构 成 的 集 合 的 全 体 解 所元 齐 次 线 性 方 程 组 );0,( ,)( 维向量空间为向量此时解空间只含一个零系故没有基础解方程组只有零解时当nAR ., , ,)( 1111 2211 21 RkkkkxS kk kkkx rnnrAR rnrnrnrn rnrnrn 解空间可表示为为任意实数其中方程组的解可表示为此时基础解系个向量的方程组必有含时当 例 1 求齐次线性方程组 0377 ,02352 ,04321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx的基础解系与通解.解 ,0000 747510 7372011377 2352 1111 A对系数矩阵 作初等行变换，变为行最简矩阵，有A .7475 ,7372 432 431 xxx xxx 便得,100143 及令xx ,74 7375 7221 及对应有xx ,1074 73,0175 72 21 即得基础解系 ).,(,1074 730175 72 21214321 Rccccxxxx 并由此得到通解 例 2 解线性方程组 07653 023 05532 034 54321 54321 54321 54321 xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx解 76513 12311 55312 34111A对系数矩阵施行初等行变换 00000 00000 13110 34111 ,rn,n,rAR 352 即方程组有无穷多解， 其基础解系中有三个线性无关的解向量. 5432 54321 3 34 xxxx xxxxx代入 26220 26220 13110 34111 543xxx令,010, 001 .100 所以原方程组的一个基础解系为, 001121故原方程组的通解为.kkkx 332211 .k,k,k为任意常数其中321 ,xx 1221依次得.12,31 , 010312 . 100123 例 3 ).()( ARAAR T 证明证 .,维列向量为矩阵为设nxnmA ;0)( ,0)(,0 xAA AxAAxxT T即则有满足若 .0,0)()( ,0)(,0)( AxAxAx xAAxxAAxT TTT从而推知即则满足若 ,0)(0同解与综上可知方程组 xAAAx T).()( ARAAR T 因此 .0 ,1)( 2 121 的 解为 对 应 的 齐 次 方 程 则的 解都 是及设 Ax xbAxxx 证 明 .021 bbA .021 Axx满足方程即 bAbA 21 , 非 齐 次 线 性 方 程 组 解 的 性 质三、非齐次线性方程组解的性质 证 明 AAA ,0 bb .的解是方程所以bAxx 证毕.,0 ,2)( 的 解仍 是 方 程则的 解 是 方 程的 解是 方 程设 bAxxAx xbAxx .11 rnrnkkx 其中 为对应齐次线性方程组的通解， 为非齐次线性方程组的任意一个特解. rnrnkk 11 非 齐 次 线 性 方 程 组 的 通 解非齐次线性方程组Ax=b的通解为 与 方 程 组 有 解 等 价 的 命 题bAx ;, 21 线 性 表 示能 由 向 量 组向 量 nb ;, 2121 等 价与 向 量 组向 量 组 bnn . , 2121的 秩 相 等 与 矩 阵矩 阵 bBA nn 线 性 方 程 组 有 解bAx 线 性 方 程 组 的 解 法（ 1） 应 用 克 莱 姆 法 则（ 2） 利 用 初 等 变 换特点：只适用于系数行列式不等于零的情形，计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可用来证明很多命题特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效的计算方法 例 4 求解方程组 .2132 ,13 ,04321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx解 :施行初等行变换对增广矩阵B 213211 13111 01111B ,00000 212100 211011 并有故方程组有解可见,2)()( BRAR .212 ,2143 421 xx xxx ,042 xx取,2131 xx则即得方程组的一个解.021021 取中组在对应的齐次线性方程,2 ,43 421 xx xxx ,100142 及xx ,210131 及则xx程组的基础解系即得对应的齐次线性方,1201,0011 21 于是所求通解为).,(,02102112010011 21214321 Rccccxxxx .123438 ,23622 ,2323 ,754321 5432 54321 54321 xxxxx xxxx xxxxx xxxxx解 1213438 2362120 231213 711111B例 5 求下述方程组的解 000000 000000 2362120 711111 .,知方程组有解由BRAR ,3,2 rnAR又所以方程组有无穷多解.且原方程组等价于方程组 23622 75432 54321 xxxx xxxxx 求 基 础 解 系 .100,010,001543 xxx 令依次得.32,10,21 2121 xx 23622 75432 54321 xxxx xxxxx代入 .10032,01010,001 21 21 321 求 特 解 .223,29,0 21543 xxxxx得令所以方程组的通解为故得基础解系 .000223 291003200010001 21 21 321 kkkx ., 321为任意常数其中kkk另 一 种 解 法 1213438 2362120 231213 711111B 000000 000000 2362120 711111 000000 000000 223312110 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