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6.2 估计量的评价估计量的评价 标准标准12n1X,(X,X,.X)0,lim()1nnnnf(x)nPn.相合性：设总体 的概率函数为为未知参数，为 的一个估计量，为样本容量，若对任意成立，则称为 的相合估计量。(一致估计量)点估计有多种方法，同一个未知参数用不同的方法可得到不点估计有多种方法，同一个未知参数用不同的方法可得到不同的估计量，那一个估计量好呢？必须有个评价标准。同的估计量，那一个估计量好呢？必须有个评价标准。评价标准有多种，用不同方法评价，得到的结论也不一样。评价标准有多种，用不同方法评价，得到的结论也不一样。因此，说一个估计量的好坏，必须说明是用那一个评价因此，说一个估计量的好坏，必须说明是用那一个评价标准评价的。否则，是没有意义的。标准评价的。否则，是没有意义的。由定义可知，由定义可知，Pn(估计量未知参数）pn 样本矩相应的总体矩依据贝努里大数定律：依据贝努里大数定律：所以，所以，样本矩是它相应总体矩的相合估计量样本矩是它相应总体矩的相合估计量。iPn频率是概率 的相合估计量，由辛钦大数定律由辛钦大数定律11EXnniiX样本均值是的相合估计量。事实上事实上由此可出：相合性是评价估计量好坏的最基本的标准。由此可出：相合性是评价估计量好坏的最基本的标准。nn12nnnnn6.2.1(,)limE()limD()0nx xx定理设是 的一个估计量，若则是的相合估计。nnnlimE()n|E()|2由可知，当 充分大时，有nn|-E()|2注意到nnnn|E()|E()|所以nnn|E()|2故 nnnn24D()P|P|E()|02由此得()()nnn|E()|2等价于 nnn20,4D()PE|)2 证明：对由切比雪夫不等式：(|n所以是 的相合估计。n1n2nk12k12k12k12k12k6.2.2,.,.g(,.),.g(,.)g(,.)定理若分别为的相合估计，是的连续函数，则是的相合估计。11b()nkkiikn统计量为的样本 阶中心矩313/22bb为样本偏度系数。312 3/2E(XEX)E(XEX)422 2E(XEX)3E(XEX)4222b3b统计量为峰度系数。12122X,(X,X,.X)(X,X,.X)nnnnf(x)nnn、无偏性：设总体 的概率函数为为未知参数，为 的一个估计量，为样本容量，若对任意，E成立，则称为 的无偏估计量，否则，称为有偏的。11X(X)niiEEn如11XniiEn11XniEnXE所以，样本均值是期望的无偏估计量。所以，样本均值是期望的无偏估计量。2211(XX)nniiESEn而2211(X2X XX)niiiEn2211(XX)niiEn2211(XX)(XXniiiDEDEn）221XXXXDEDEn1XnDn2211(XX)XnniiSDn不是的无偏估计量。所以样本方差所以样本方差2211(XX)X1niiSDn若令则是的无偏估计量。2211(XX)1niiSn称为样本修正方差。XD221P21(XX)XnDXnniinSDnS 虽然不是的无偏估计量，但是当 时，P 像这样不是 的无偏估计量，但。我们称 是 的渐近无偏估计量。8.X0例 设 在，上均匀分布，求 的矩法估计量和极大似然估计量，并确定是否为无偏估计量？10,0)0 xf(x,解：其它011EX2xdx（）矩法估计：X列方程：X解方程：即为 的矩法估计量。E()E(2X)2EX2EX222X所以为 的无偏估计量。2（）极大似然估计：12nin1L(x,x,.x,)0 xi1,2,.n似然函数要使似然函数取最大值，要求 的取值越小越好，12nmax X,X.X所以即为 的极大似然估计量。0 x0 xXF(x)0的分布函数为12nn 1nmax X,X.Xy1g(y)n()0y的密度函数为En 101n()yydy12nmax X,X.X不是 的无偏估计量。nn+1nnnn+1 显然当时，12max,nXXX所以为 的相合估计量.12max,nXXX根据渐近无偏估计量的定义可以说：为 的渐近无偏估计量.我们可以对用极大似然估计得出的估计量进行修正：我们可以对用极大似然估计得出的估计量进行修正：12(n)nmax,Xn1nXXX若令则 为 的无偏估计量.6.2.2ggggg定理说明相合性具有不变性：是 的相合估计()是()相合估计。但是无偏估计量不具有这种性质：一般 来说。是 的无偏估计，未必推出()是()无偏估计，除非()是 的线性函数。2122221216.2.5(,)N(,),1S(),11S=()1nniiniiXXXXXnXXn 例设为来自总体的样本 由上例知是的无偏估计量而就不是 的无偏估计量.ES下面我们求=?222n 1122n 12n 1 S5.31Y=(n1)Y1P()e0n12()2yyyy(-)由定理.知服从分布，的密度为n 111/21/21/222n 10021EYP()dedn12()2yyyyyyynt1222n 1021edn12()2yyyyn2n 12n()1n22()2n12n1()2()22221/2ES=E SE(Y)EYn1n1所以n()2(n/2)22n1n1(n1)/2)n1()2S即不是 的无偏估计。nnn1(n1)/2)C2(n/2)C S利用修正技术进行修正，令则是 的无偏估计量。nnC1 注意到当时，S S 所以，是 的渐近无偏估计量。从而当样本容量很大时，不经修正，也是 很好的估计量。1212123DD,、有效性：设参数有两个无偏估计量和，若对一切有则称估计量 比有效。nnii 119XXn例：令nnn 1ii 11X1X(X)(X)Xnn1DDDDDn显然有即是说，用样本均值估计期望时，样本容量越大越好。n+1n 1ii 11XXn112n13722510X,X,.X)X1112XXXX2233EX例,设（是来自总体 的样本，证明：都是的无偏估计，并问哪一个比较有效？137111DDXDXDX442225145DDXDXDX9991215EX 29作为的无偏估计量，比有效。137371111EEXXEXEXEX2222解（）225351212EEXXEXEXEX3333（）12EX wupiangujiliang，都是 4、均方误差、均方误差无偏性是估计的一个优良性质，说明我们选择的估计量无无偏性是估计的一个优良性质，说明我们选择的估计量无系统偏差，出现的偏差都是随机因素引起的。系统偏差，出现的偏差都是随机因素引起的。但不能由此断定：有偏估计就一定是不好的估计。但不能由此断定：有偏估计就一定是不好的估计。在样本容量相同的情况下，评价一个估计量的好坏是用的度在样本容量相同的情况下，评价一个估计量的好坏是用的度量指标是估计值与参数真值距离的函数。量指标是估计值与参数真值距离的函数。2MSE()E()称为均方误差显然，我们希望估计量的均方误差越小越好。显然，我们希望估计量的均方误差越小越好。22222MSE()E()E(EE)E(E)(E)2E(E)(E)DE(E)MSED若 ，则，用均方误差评价估计与用方差同样。2MSED(E)若，则，用均方误差评价估计,不仅看方差的大小，还要看偏差的大小。22n 10n11()n()nyydy(n)(n)X0n+1nxx例 总体 在，上均匀分布，的极大似然估计量为：无偏估计量按均方误差的评价标准不是最优估计量。(n)n+1n+1nEE()nnn1x222(n)n+1E()E()nx2222n1n(n1)()nn2n(n2)2222222(n1)DEEn(n2)n(n2)(n),x设选取适当，使在均方误差评价下为 的优良估计量。222(n)(n)(n)(n)(n)2222MSE()D()(E()D()E()nn()(n1)(n2)n1xxxxx00(n)n2n2n1n1x用求导的方法不难求得时，2202MSE()MSE()(n1)n(n2)显然0(n)(n)n2n1n1nxx虽不是无偏估计量，但其方差比无偏估计量的方差小。0(n)(n)n2n1n1nxx故：作为 的估计，比有效。202MSE()(n1)其均方误差达到最小。作业：习题作业：习题6.2 2，3，8，15。
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