大学高等数学经典课件86

高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系第六节第六节 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用一一.空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 设空间曲线L的参数方程为 x=x(t),y=y(t),z=z(t)(1)并设x(t),y(t),z(t)都可导,且导数不同时为0.和平面曲线一样,通过空间曲线上任一点M0(x0,y0,z0)(对应于参数t=t0)的切线,定义为割线M0 M,当M趋向M0时的极限位置M0T.M0MTyxzp高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系设M0的邻近点M(x0+x,y0+y,z0+z)所对应的参数为t=t0+t.设p(x,y,z)是曲线的割线M0M上的一点.曲线的割线M0M的方程为xi+yj+zk,MP=(x-x0)i+(y-y0)j+(z-z0)k,因为M0MM0p,所以有高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系tzzztyyytxxxtzzztyyytxxxzzzyyyxxxttt000000000000limlimlim切线的一个方向向量为T=x(t0),y(t0),z(t0)通过点M而与切线垂直的平面称为曲线L在点M处的法平面,它通过点M而以T为法向量的平面,这法平面的方程为)3(0)()()(000000zztzyytyxxtx)()()(000000tzzztyyytxxxttt高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系例1 求曲线 x=2t,y=3t2,z=t3.在点M(2,3,1)处的切线方程和法平面方程.1)1,3,2(tM.3,6,211ttzyx。切线方程为316322zyx0133622）（）（）（法平面方程为zyx025362zyx高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系例2 求曲线 xyz=1,y2=x 在点(1,1,1)处的切线及法平面方程分析:我们把曲线方程写成参数方程4323,1,2.,yzyyxyzyyyxyyy(1)现在我们讨论空间曲线C的方程以y=(x),z=(x)的形式出现,取x为参数,它可表示为参数方程的形式:x=x,y=(x),z=(x).3,1,21)1,1,1(yyyzyxy311121zyx切线方程为032013112zyxzyx）（）（）（法平面方程为高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系)5()()(100000 xzzxyyxx若(x),(x)都在x=x0处可导,那么由上述讨论可知,T=(1,(x0),(x0),因此曲线C在点M(x0,y0,z0)处的切线方程为在点M(x0,y0,z0)处的法平面方程为)6(0)()()(00000zzxyyxxx高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系(2)如果曲线用两个空间曲面相交的交线形式出现时,可根据隐函数求导的方法处理.设空间曲线C的方程以0),(0),(zyxGzyxF(7)的形式给出 M(x0,y0,z0)是曲线C上的一点,又设F,G有对各个变量的连续偏导 数,且0),(),(),(000zyxzyGF这时方程组(7)在点M(x0,y0,z0)的某邻域内高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系确定一组函数y=(x),z=(x),要求曲线C在点M处的切线方程和法平面方程,只要求出(x0),(x0),然后代入(5),(6)两式就可以了为此,我们在恒等式0)(),(,0)(),(,xxxGxxxF两边分别对x求全导数,得到00dxdzzGdxdyyGxGdxdzzFdxdyyFxF由假设可知,在点M的某个邻域内0),(),(zyGFJ故可解得高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系zyzyyxyxzyzyxzxzGGFFGGFFxdxdzGGFFGGFFxdxdy)(,)(于是T=(1,(x0),(x0)是曲线C在点M(x0,y0,z0)处的切向量.0000)(,)(zyzyyxyxzyzyxzxzGGFFGGFFxGGFFGGFFx 分子分母中带下标0的行列式表示行列式在点M(x0,y0,z0)的0zyzyGGFF,0001yxyxxzxzzyzyGGFFGGFFGGFFT 0dxdzzFdxdyyFxF0dxdzzGdxdyyGxG值,把上面的切向量T乘以,得高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系 这也是曲线C在点M处的一个切向量,所以在点M(x0,y0,z0)的切线方程为)8(000000yxyxxzxzzyzyGGFFzzGGFFyyGGFFxx 曲线C在点M(x0,y0,z0)的法平面方程为)9(0)()()(000000zzGGFFyyGGFFxxGGFFyxyxxzxzzyzy高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系 例3 求球面49222zyx与椭球面417)1(3222zyx交线上对应于x=1点处的切线方程和法平面方程.分析:先求出x=1.417)1(3,4912222zyzy点为 (1,1/2,1)(1,1/2,-1)222222)1(45)1(.45yyzyzy1.211222zyyyy高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系417)1(3),(,49),(222222zyxzyxGzyxzyxF)8(000000yxyxxzxzzyzyGGFFzzGGFFyyGGFFxx)9(0)()()(000000zzGGFFyyGGFFxxGGFFyxyxxzxzzyzy0),(,0),(zyxGzyxF44)1(442)1(222zyzyzzyzyGGFFzyzy884126222xzxzxzxzxzGGFFxzxz884)1(2622xyxyxyxGGFFyxyx022.2122/111zyxzyx法平面方程为切线方程为022.2122/111zyxzyx法平面方程为切线方程为高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系得到求导直接把方程对的函数看成把解法,:2xxzyzzyzydxdzzdxdyyx42)1(2220222xxyxyxyxzzxzxdxdzzdxdyyx486)1(222,8262202)1(262|2|,2|2|)1,21,1()1,21,1()1,21,1()1,21,1(zxxydxdzxdxdy2122111:)1,21,1(zyx处的切线方程为在点022:zyx法平面方程为2122111:)1,21,1(zyx处的切线方程为故在点022:zyx法平面方程为高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系曲线的向量方程及向量值函数的导数曲线的向量方程及向量值函数的导数曲线C的参数方程(1)x=x(t),y=y(t),z=z(t)也可写成向量的形式.记 r=xi+yj+zk,r(t)=(t)i+(t)j+(t)k 则方程(1)就成为向量方程 r=r(t),t,(4)方程(4)确定一个从,R3的映射.由于这个映射把每一个t,映成一个向量r(t),故称这映射为向量值函数向量值函数.Cr(t0)r(t)r(t)-r(t0)xyz高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系在几何上,r(t)是R3中的点(t),(t),(t)的向径.空间曲线C就是变向径r(t)的终点的轨迹.我们称C为向量值函数r(t)的矢量曲线.根据R3中向量的模的概念与向量的线性运算法则,可定义一元向量值函数r(t)的连续性与可导性:设r(t)在点t0的某邻域内有定义,如果0)()(lim00trtrtt则称r(t)在t0连续;又若存在常向量T=(a,b,c)使得0)()(lim000Ttttrtrtt则称r(t)在t0可导,并称T为r(t)在t0的导数(或导向量),记作r(t0)即r(t0)=T高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系 容易证明:向量值函数r(t)在t0连续的条件是:r(t)的三个分量函数(t),(t),(t)都在t0连续;r(t)在t0可导的充分必要条件是r(t)的三个分量函数(t),(t),(t)都在t0可导,当r(t)在t0可导时,其导数为ktjtittr)()()()(0000 采用向量形式,上面研究的空间曲线的切线,切向量的结果可表达为若向量值函数r(t)在t0可导,且r(t0)0,则r(t)的矢端曲线C在r(t0)的终点处存在切线,r(t0)就是切线的方向向量,它的指向与参数t的增大时点M移动的走向一致.高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系二二 曲面的切平面及法线曲面的切平面及法线 定义定义 在曲面上,通过一点M0的任何曲线在 该点的切线,如果都在同一平面上,这个平面就称为曲面在M0的切平面.正如过平面或空间曲线上一点不一定总是存在切线一样,曲面也必须具备一定的条件,它才有切平面设曲面的方程为 F(x,y,z)=0 F(x,y,z)在点M0(x0,y0,z0)有连续的偏导数,且三个偏导数在该点不同时为0.M0TN高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系现在来证明在点M0处存在切平面,并求切平面的方程.设 x=x(t),y=y(t),z=z(t)(7)是过M0在曲面上所引的任一曲线L,t=t0 对应于点M0(x0,y0,z0),又x(t),y(t),z(t)存在并不全为0.由于曲线L在曲面上,故有 Fx(t),y(t),z(t)=0 由假设Fx(t),y(t),z(t)在t=t0时有全导数,因而00ttdtdF高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系由全导数公式,得)12(.0)(),()(),()(),(000000000000tzzyxFtyzyxFtxzyxFzyx由全导数公式,得)(),()(),(00000000tyzyxFtxzyxFyx而s=x(t),y(t),z(t)是曲线L在点M0处的切线的方向向量,记),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx)12(.0)(),(0000tzzyxFz高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系M0SNL 上面的(12)式表示n垂直于s,ns.因为曲线L是曲面上过点M0的任一条曲线,任何在M0的切线都与同一向量n垂直.因此在曲面上过点M0具有切线的一切曲线在M0的切线都在同一平面内.这个平面即是曲面在M0的切平面,切平面方程为)13.(0)(),()(),()(),(000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系 由于曲线L在曲面上,故有 Fx(t),y(t),z(t)=0 由假设Fx(t),y(t),z(t)在t=t0时有全导数,因而00ttdtdF 过点M0(x0,y0,z0)而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线.n是法线的一个方向向量,法线方程为为切平面的法线向量),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx)14(),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系 如果曲面方程为z=f(x,y),可以令 F(x,y,z)=f(x,y,z)-z,则 Fx=fx ,Fy=fy,Fz=-1,于是,曲面在点M0(x0,y0,z0)的切平面方程为)16()(),()(),(0000000yyyxFxxyxFzzyxM0SNL法线方程为)61(1),(),(0000000zzyxFyyyxFxxyx例4 求过椭球面.1222222czbyax上点M0(x0,y0,z0)的切平面和法线的方程高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系.切平面方程为2000020000200002),(,2),(,2),(czzyxFbyzyxFaxzyxFzyx0222020020020）（）（）（zzczyybyxxax.2,2,2.1),(222222222czFbyFaxFczbyaxzyxFzyx11202020220220220czzbyyaxxczbyax切平面方程为200200200czzzbyyyaxxx法线方程为高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系例5 求z=x2+y2-4在点(2,1,1)处的切平面及法线的方程.2),(,2),(.4),(22yyxfxyxfyxyxfyx 例6 证明圆柱螺旋线x=acos,y=asin,z=b具有下列两个性质:(1)它与柱面 x2+y2=a2 的母线相交成定角;(2)相应于极角=1,=2的一段弧长s与2-1的比是一常数.2)1,2(,4)1,2(yxff092412241zyxyxz）（）（切平面方程为。法线方程为112142zyx高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系dbadzyxds22222)2(线向量是螺旋线上任意一点的切证明)1(:)(12222221badbas2212basbkjaiakddzjddyiddxTcossin的单位向量是轴方向圆柱体的母线方向)(z它们之间的夹角余弦为kjil000故相交为定角此为定值.cos22bab