高数公式上下

高等数学公式导数公式:(tgx) = sec2 x (ctgx) = -CSC2 x (sec x) = sec x - tgx (csc x) = - csc x - ctgx (ax) = ax In a (log x)=x ln a(arcsin x)=-1 x2(arccos x) = -L=1 - x 2(arctgx) =11 + x 2(arcctgx) =1=-ln|cos x| + C J ctgxdx = ln|sin x| + C J sec xdx = lnsec x + tgx| + C J csc xdx = ln|csc x - ctgx + CdxJa 2 + x 2J dxx 2 - a 2J dxa 2 - x 21x=arctg +Caa1x a ln+ C2ax + a1a + x 小ln+ C2aa - xJ dx = J sec2 xdx = tgx + C cos2 xJ dx = JCSC2 xdx = -ctgx + C sin 2 xJ sec x - tgxdx = sec x + CJ csc x - ctgxdx = - csc x + CJ axdx =+ Cln aJ shxdx = chx + CJ chxdx = shx + Cdx. x 小=arcsm + Ca 2 - x 2aJ . dx= ln(x +、x2 土 a 2) + C、x2 土a2I =J sin n xdx =cosn xdx = -_11nn-2n0 0J、；x2 + a2dx+ln( x + ：x 2 + a 2) + C2 2J Jx2 - a2dx = xvx2 - a2 - ln x + Jx2 - a2 + C2 2xa2. xa2 - x2 dx =a2 - x2 +arcsm + C2 -三角函数的有理式积分:.2u1 - u 2xsin x =, cos x =, u = tg,1 + u21 + u22,2dudx =1 + u2双曲正弦：shx=宁双曲余弦:血=丁双曲正切：thx = shxchxex exex + e xarshx = ln( x +、： x 2 +1)archx = 土 ln(x + * x2 一 1)arthx=2lnM三角函数公式:诱导公式：和差角公式:函数 角A、sincostgctg-a-sinacosa-tga-ctga90-acosasinactgatga90+acosa-sina-ctga-tga180-asina-cosa-tga-ctga180+a-sina-cosatgactga270-a-cosa-sinactgatga270+a-cosasina-ctga-tga360-a-sinacosa-tga-ctga360+asinacosatgactga和差化积公式:sin(a P) = sin a cos P 土 cosa sin P cos(a P) = cosa cos P + sin a sin P tg (aP)=豊1 + tga tg卩ctga - ctgP +1ctg (a 卩)=ctgP ctgaa + P a P sin a + sin P = 2smcos 2 2a +卩.a 卩 sin a sin P = 2cos sin 2 2a + P a P cosa + cos P = 2 cos cos 2 2a + P . a 卩 cosa cos P = 2sinsin 一2 2sm x .lim = 1xtO xlim(l + -) x = e = 2.718281828459045xSx倍角公式:sin 2a = 2 sin a cos acos 2a = 2cos2 a -1 = 1 - 2sin2 a = cos2 a - sin2 asin 3a = 3sin a - 4 sin3 actg 2a -1 ctg 2a = 一 2ctga tg 2a= 2tga1 - tg 2acos 3a = 4 cos3 a - 3 cosa半角公式:.a ：1 - cosa sin = 2 2a cos,1 + cosa=, I2 2a1 - cosatg =21 + cosa1 - cosa sin a1 + cosasin aa.1 + cosa1 + cosasin actg =21 - cosa 1 - cosasin a1 - cosa正弦定理:二 2 R sin A sin B sin C余弦定理： c 2 = a 2 + b2 一 2ab cos Carctgx -亍-arcctgx.兀反三角函数性质： arcsin x = 一 arccos x高阶导数公式一一莱布尼兹(Leibniz)公式:(uv)( n) =2 CkU (n-k) V (k)nk =0.n(n -1)n(n - l)(n - k +1)k!=u (n) v + nu (n-1) v +u (n-2) V HFU (n-k) V(k) HF UV(n)2!中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：f(b)-f(a)二f(g)(b-a) 柯西中值定理：/的一 /二F (b) - F (a) F )当尸(x)二x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。曲率:弧微分公式：ds = 丫1 + y2dx,其中y = tga一 An平均曲率:K =.An :从M点到M点，切线斜率的倾角变化量；As： MM弧长。AsM点的曲率:K = limAstOAnAsdn _|y|dsJ(1 + y 2)3直线：K _ 0;半径为a的圆：K _丄.a定积分的近似计算:矩形法：f (x)q b a (y + y + + y )n0 1n-1a梯形法：f (x)沁(y + y ) + y + + y n 2 0 n 1n-1a抛物线法：f(x)Q(y + y ) + 2(y + y + + y ) + 4(y + y + + y )3n0 n24n-21 3n-1a定积分应用相关公式：功：W_F-s 水压力：F _ p - A 引力：f _km,k为引力系数r 2函数的平均值：_ 丄 f f (x)dxb 一 aa均方根：f f 2(t )dtb 一 aa空间解析几何和向量代数：空间2点的距离：d = |M M = ；(x -x )2 + (y -y )2 + (z -z )21 2 v 2 1 2 1 2 1 向量在轴上的投影:Pr j AB = AB -cos申，申是AB与u轴的夹角。uPr j (a + a ) = Pr ja + Pr jau 1212a -b =|b|cos0 = a b + a b + a b ,是一个数量，x x y y z z两向量之间的夹角:cos0 =a 2 + a 2 + a 2 b 2 + b 2 + b 2xyzx y za b + a b + a bx xy yz zaxbxjaybyazbz，C = |a| - |b sin 0 .例:线速度：v = w x r.向量的混合积:abc = (a x b) - c = baybycyz, Ib = a x b| - |c| cosa,a 为锐角时,代表平行六面体的体积。平面的方程:1、点法式：A(x x ) + B(y y ) + C(z z ) = 0,0 0 0 厶一般方程：Ax + By + Cz + D = 0其中n = A,B,C,M (x ,y ,z )0 0 0 03、截距世方程:：+ + = 1abc平面外任意一点到该平面的距离：d =化+ By0 + Cz 0 + DA2 + B 2 + C 2空间直线的方程:二=上二m n二次曲面：x = x + mt =t,其中S = m,n,p;参数方程:：y = y + nt 0z = z + ptI 01、椭球面:乂 + + = 1a 2 b 2 c 22、抛物面：+ y2 = z,( p, q同号)2 p 2q3、双曲面：单叶双曲面:兰+竺兰=1a 2 b 2 c 2双叶双曲面：兰竺+兰=1（马鞍面）a 2 b 2 c 2多元函数微分法及应用全微分：dz = dx + 竺 dydu = udx + 色 dy + 竺dzdxdydxdydz全微分的近似计算：Az沁dz = f (x, y)Ax + f (x, y)Ayxy多元复合函数的求导法：dz _ dz dudz dvz = f u (t), v(t) . dtdu dtdv dtz = f u (x, y), v( x, y)dz _ dz du dz dv dx du dx dv dx当u = u(x, y), v = v(x, y)时,du 7 du 7du = dx + dydxdydv = dx + dy dxdy隐函数的求导公式:隐函数F (x, y) = 0,隐函数 F (x, y, z) = 0,dy = F x , dx Fydz = Fx ,dxFzdzd 2 y dx 2F) dyF dxy隐函数方程组F (x, y, u, v)=0G (x, y, u, v) 0du = 1 d (F, G)dxJ d( x, v)du = 1 d (F, G) dyJ d (y, v)dF dF=d (F: G)=dudvF Fd (u, v)dG dGG Gdudvuvzdv_ 1 d (F, G) . dxJ d (u, x)dv = 1 d (F, G) dyJ d (u, y)微分法在几何上的应用:x x00(t)0y y z z0 0-屮(t )(t )0 0x 申(t)空间曲线 y -屮(t)在点M(x ,y ,z )处的切线方程: 0 0 0z = (t)FF|FFFFyzxxyGG:GGGGyzzxxy000 0G: x：: z)0,则切向量 t - 在点M处的法平面方程：0(t )(x x ) + 屮(t )(y y ) + (t )(z z ) 00若空间曲线方程为: 曲面F(x, y,z) 0上一点M(x : y :z )，贝U：0 0 01、过此点的法向量:n F (x :y :z ),F (x :y :z ),F (x :y :z )x 0 0 0 y 0 0 0 z 0 0 02、 过此点的切平面方程：F (x : y : z )(x x ) + F (x : y :z )(y y ) + F (x : y : z )(z z ) 03、x 0000y 0000z 0000过此点的法线方程:-000F (x : y : z ) F (x : y : z ) F (x : y : z )x 000y 000z 000方向导数与梯度:函数z = f (x, y)在一点p( x, y)沿任一方向l的方向导数为:f = f cos+g sin申 cl excy其中申为x轴到方向l的转角。函数z = f(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf(x,y) = efi + ef jcxcy它与方向导数的关系是:：f = gradf (x,y)-e，其中e = cos -i + sin j，为l方向上的 Cl单位向量。Cf是gradf (x, y)在1上的投影。cl多元函数的极值及其求法：设f (x ,y ) = f (x ,y ) = 0,令：f (x ,y ) = A, f (x ,y ) = B, f (x ,y ) = Cx 00y 00xx 00xy 00yy 00AC-B2 0时,A 0,(x ,y )为极小值贝AC - B2 0)的引力：F = F ,F ,F ，其中:F = f JJ P (x, y) xdo ,x3d (x2 + y2 + a2)2F = f J P(兀 y)洒,y3d (x2 + y2 + a2)2x y zF =- fa JJ P (兀 y)皿z3d (x2 + y2 + a2)2柱面坐标和球面坐标:x = rcos0柱面坐标：y = r sin 0,JJJ f (x, y, z )dxdydz = JJJ F (r ,0, z )rdrd0dz,z = zQQ其中：F(r,0,z) = f(rcos0,rsin0,z)x = r sin 申 cos0球面坐标：y = r sin 申 sin 0,dv = rd申-r sin 申 d0 - dr = r 2 sin 申drd申d0z = rcos申其中M = x = JJJ pdv = JJJ (x 2 + y 2) pdvzQJJJf (x, y, z)dxdydz = JJJF(r，申,0)r2 sin申drd申d0 = Jd0 Jd申(JF(r，申,0)r2 sin申dr0 0 0z = 一 JJJ zpdv,M=JJJ (x 2 + z 2)pdv, yQQQ重心：x =丄 JJJxpdv,y =丄 JJJypdv,MMQQ转动惯量：I = JJJ (y2 + z2)pdv,xQ曲线积分:第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：设f（x,拠上连续，L的参数方程为:爲），gt邛），则:J f (x, y )ds =+屮2(t )dt(a 卩)特殊情况:x = ty=申(t)第二类曲线积分(对坐标的曲线积分)： 设厶的参数方程为x:;:;)则：La其中a和卩分别为两类曲线积分之间的关系J Pdx + Qdy : J (Pcosa + Qcos卩)ds,LLL上积分起止点处切向量的方向角。格林公式:x + Qdy格林公式(翌-竺 )dxdy : J Pdx + Qdydx dydx dyDLDL当P : -y,Q : x,即:一兰:2时，得到D的面积：A : JJdxdy : Jxdy - ydxdx dy2DL平面上曲线积分与路径无关的条件：1、G是一个单连通区域；2、P(x,y), Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，且擎=$。注意奇点，如(0,0),应 dx dy减去对此奇点的积分，注意方向相反！二元函数的全微分求积：在匹=竺时，Pdx + Qdy才是二元函数u(x,y)的全微分，其中: dx dyu (x, y) : J (x, y )dx + Q( x, y )dy，通常设 x : y : 0。0 0(x0, y0)曲面积分：对面积的曲面积分:Jf (x,y,z)ds : JJf x,y,z(x,y) 1 + z2(x,y) + z2(x,y)dxdyxy对坐标的曲面积分：DxyJ P( x, y, z )dydz + Q( x, y, z )dzdx + R( x, y, z )dxdy，其中：JJ R( x, y, z )dxdy : jJ R x, y, z (x, y )dxdy,取曲面的上侧时取正号;P( x, y, z )dydz : y, z), y, z dydz，取曲面的前侧时取正号;JJ Q( x, y, z )dzdx :x, y (z, x), z dzdx，D取曲面的右侧时取正号。两类曲面积分之间的关系:JJ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy : JJ (P cosa + Q cos P + R cos Y )dszx高斯公式:dydz adzdx adxdya=JJcosaacos Pacos y aaxayazaxayazpQREpQRrapSRaQap=,azax上式左端又可写成：E旋度：rotA =SxpSyQSzR川严+辺+族）dv =旺 Pdydz + Qdzdx + Rdxdy =卩（P cos a + Q cos P + R cos y）ds ax ayazQEE高斯公式的物理意义 通量与散度：散度：divV = aP +翌+竺，即：单位体积内所产生 的流体质量，若divV 0,则为消失 ax ayaz通量: JJ A -nds = JJ A ds = JJ （P cos a + Q cos P + R cos y）ds，n因此，高斯公式又可写成:JJJ div Adv = JJ AdsnQE斯托克斯公式一一曲线积分与曲面积分的关系：ayazJJ （哲-坐）dydz + （aP -退）dzdx + （匹-岂）dxdy = J Pdx + Qdy + Rdz ay azaz axax ayE空间曲线积分与路径无关的条件磅嚨-tds常数项级数:等比数列：1 + q + q 2 + + qn-1 =1_qi-q 等差数列：1 + 2 + 3 + n =也2调和级数：1 + 1 + 1 + 1是发散的23 n级数审敛法:1、正项级数的审敛法根植审敛法(柯西判别法)：p 1时，级数发散iI p=1时，不确定2、比值审敛法：设：p = limnsUn+1Unp 1时，级数收敛 则 1时，级数发散 p=1时，不确定3、定义法: s = u + u + + u ;lims存在，则收敛；否则发散。n12nnns交错级数u -u + u -u +(或-u +u -u +,u 0)的审敛法莱布尼兹定理：1234123nf u u如果交错级数满足和nn+1，那么级数收敛且其和s u ,其余项r的绝对值Ir | 1时收敛幕级数:1 + x + x2 + x3 + + Xn + |x| 1时，发散对于级数(3)a + a x + a x2 + a xn +，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全012nlx R时发散，其中R称为收敛半径。x| = R时不定求收敛半径的方法：设limnTga n+1an=p，其中a , ann+1：p 丰 0 时，R =1 P 是(3)的系数，则p= 0时,R = +sp = +x 时，R = 0函数展开成幂级数:函数展开成泰勒级数：f (x) = f (x0)(x - x0) +些(x - x0)2 +屮(x - x0) n +余项：R =出n(n +1)!(x x )n+i,f (x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：limR = 0n nsx = 0时即为麦克劳林公式:f(x) = f(0) + f(0)x + 口0x2 + + f(n)(0) 0 2!xn + n!一些函数展开成幂级数:m(m 1)m(m 1)(m n +1)(1 + x) m = 1 + mx +x 2 + +xn + 2!n!(一1 x 1)sin x = x 乂 + 兰-+ (1)3!5!x 2 n-1n-1+ (g x 0)y = c er.x + c ex1 2两个相等实根(P2 - 4q = 0)y = (c + c x)eqx1 2一对共轭复根(P2 - 4q 0) r =a + 泪，r =a iB1 2a= p，4q P22 2y = ecx (c cos px + c sin px)1 2二阶常系数非齐次线性微分方程y + py + qy = f(x)，p,q为常数f (x) = e心P (x)型,九为常数；mf (x) = e心P (x)cos wx + P (x) sin ex型ln