第三章 稳定性分析

第三章 控制系统的李亚普诺夫稳定性主要内容：1、李亚普诺夫稳定性概念2、稳定性定理3、系统稳定性分析4、非线性系统稳定性分析难点：李亚普诺夫函数的构造3.l 李亚普诺夫第二法的概述3.1.1 物理基础 系统的稳定性就是系统在受到外界干扰后，系统偏差量(被调量偏离平衡位置的数值)过渡过程的收敛性，用数学方法表示就是lim Ax(t) 0、V (X)0, 则V(X)为正定。(2) 负定性如果V(X)是负定的，或仅当X=0时，才有V(X)=O；对任意非零X， 恒有V(X)vO，则V(X)为负定。(3) 正半定性与负半定性如果对任意X工0，恒有V(X) 0，则V(X)为正半定或称准正定。 如果对任意X工0,恒有V (X) 0, A1 11 2ii 12 0,.,A = |p 0,a an21 22则P为正定，即V(X)正定。二次型V(X) = XTPX或对称阵P为负定的充要条件是P的主子行列式满足A 0(i为偶数)i = 1,2,nii32 李亚普诺夫意义下的稳定性3.2.1 平衡点的概念系统描述为X = f ( x , t)式中 X 为 n 维状态向量。当在任意时间都能满足f(X ,t) = 0(3.1)e时称为系统的平衡状态。凡满足式(31)的一切值均是系统的平衡点， 对于线性定常系统X = f (X, t) = AX, A为非奇异时,X=0是其唯一的 平衡状态；对于非线性系统，有一个或多个平衡状态。由式( 3 1 )可知，在系统的平衡点，状态变量的变化率为0 ，由古 典控制理论知道，该点即为奇点，因此，系统微分方程式的奇点代表 的就是系统在运动过程中的平衡点。任何彼此孤立的平衡点，均可以通过坐标的变换，将其移到坐标原 点，这就是经常以坐标原点作为平衡状态来研究的原因，因此常用的 连续系统的平衡状态表达式为f (0, t) = 03.2.2李亚普诺夫定义下的稳定性 下面用二维空间图31 来说明李亚普诺夫定义下的稳定性。稳 定渐近稳定不稳定图 3.11稳定与一致稳定设X为动力学系统X = f (X,t)的一个孤立平衡状态。如果对球 e域S(8 )或任意正实数0，都可找到另一个正实数8 (S , 10)或球域 S(5 )，当初始状态X0满足|X0 -|8(8,10)时，对由此出发的X的运动轨迹有lim|X - X t并无 e0限增大时，从X0出发的运动轨迹最终超越S( )域,则称平衡状态X。为 不稳定的。33 李亚普诺夫稳定性定理定理3. 1设系统的状态方程为文=f (X, t)式中，f (0, t) = 0(t 10)如果有连续一阶偏导数的标量函数P(X,t)存在，并且满足以下条件：V(X, t)是正定的；P(X,t)是负定的。则在原点处的平衡状态是渐近稳定的。如果随着kll%，有V(X,t)*，则在原点处的平衡状态是在大范围内渐近稳定的。例3.1 设系统方程为I X = x 一 x (x2 一 x 2)彳 1 2 11 2Ix =一x 一x (x2 + x2)2 1 2 1 2试确定其平衡状态的稳定性。解 很明显，原点(xi = 0,x2 = 0)是给定系统的唯一平衡状态，选取一个正定的标量函数V(X)为V ( X ) = x 2 + x 212贝 0 V (X) = 2x x + 2x x1 1 2 2将系统方程代入上式得P( X) = -2( x2 + x 2)2( V(X)为正定)又由于|x| fg时，V(X) fg ,因此系统在平衡点(0,0)是大范围渐近 稳定的。定理3. 2设系统的状态方程为X = f (X,t)式中f (0, t) = 0(t to)。如果存在一标量函数V(X,t)，它具有连续的 一阶偏导数，且满足下列条件：V(X, t)是正定的；P( X, t)是负半定的；P(t, X0,10),t对任意t0和任意x0丰0，在t 10时不恒等于 零。 则在系统原点处的平衡状态是渐近稳定的。 如果还有 IIXIf g时，V(X,t)f g ,则为大范围渐近稳定。式中的(t,X0,10) 表示t = t时从x出发的解轨迹。00由于P(X,t)不是负定的，而只是负半定的，则典型点的轨迹可能 与某个特定的曲面V (X, t)相切。然而，由于V(t, X 0,10), t 对于任意t0和任意X丰0在t t时不恒等于零，所以典型点就不可能0 0 0保持在切点处(在切点上p(X,t) = 0)，而必须运动到原点。例3.2 设系统方程为x = xx1 = x - x2 1 2确定系统平衡状态的稳定性。解 显然，原点(0,0)为给定系统的唯一平衡状态。选取标准型二次 函数为李氏函数，即(V(X,t )为正定)V (X, t) = x2 + x2V (X, t) = 2 x x + 2 x x = -2 x 21 1 2 2 2当 xi = 0, x2 = 0 时，P(X, t) = 0xi 丰 0, x2 = 0 时，P (X, t) = 0因此P( X, t)是负半定的。下面我们进一步分析V(X, t)的定号性，即当xi丰0, x2 = 0 时,V (X, t)是否恒等于零。由于V(X, t) = -2 x 2恒等于零，必需要求x222在t 2t时恒等于零，而x2恒等于零又必需要求x恒等于零。但从状0 2 2态方程x = -x - x来看，在t t时，要使x2 = 0和x = 0，必需满2 1 2 0 2 2足xi等于零的条件。这表明 V (X, t)只可能在原点(片=0, x 2 = 0) 处恒等于零，因此系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。又由于 |x| g时，有V(x) a，所以系统在原点处的平衡状态是大范围 渐近稳定的。若在例中选取如下正定函数为李氏函数，即1V(X,t) = (x + x )2 + 2x2 + x22 1 2 1 2则V (X, t) = -( x 2 + x 2)是负定的。而且当X g时， 12V(X,t) g，所以系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。由上分析看出，选取不同的李氏函数，可能使问题分析得出不同 的结果。上面第二种情况下的选择，消除了进一步对V(x , t)判别的必 要性。定理33 设系统方程为 X= f(X,t)式中,f (0, t) = 0(t 10)。如果存在一个标量函数V(X, t)，它具有连续 的一阶偏导数，且满足下列条件V(X, t)是正定的；P( X, t)是负半定的，但在某一 X值恒为零。则系统在原点处的平衡状态在李亚普诺夫定义下是稳定的，但非渐近 稳定。这时系统可以保持在一个稳定的等幅振荡状态上。例33 系统方程为x = Kxx1 =- x2 21试确定系统平衡状态的稳定性。解 显然，原点为平衡状态。选取正定函数为李氏函数，即V (X, t) = (x2 + Kx 2)(K0)贝 9 V (X, t) = 2 x x + 2 Kx x = 2 Kx x 一 2 Kx x = 01 1 2 2 1 2 1 2由上式可见，P(X, t)在任意X值上均可保持为零，则系统在李亚普 诺夫定义下是稳定的，但不是渐近稳定的。说明：上述定理均只给出了系统稳定的充分条件，而没有给出必 要条件，即对给定的系统，如果可以找到满足条件的李亚普诺夫函数 V(X),则系统必定是稳定的；但是如果找不到这样的李亚普诺夫函数, 也并不意味着系统是不稳定的。定理 34 设系统的状态方程为X = f (X, t)式中，f (0, t) = 0(t 10)。如果存在一个标量函数V(X, t)，它具有连续的一阶偏导数，且满足下列条件：V (X, t)在原点的某一邻域内是正定的；p( X, t)在同样的领域内是正定的。贝系统在原点处的平衡状态是不稳定的。例34 设时变系统的状态方程为x = x sint + x etx = x et + x cOst2 1 2显然坐标原点(X1 = 0, x2 = 0)为其平衡状态。试判断系统在坐标原点 处平衡状态的稳定性。解 可以找一个函数 V(X) 为V(X)二 2e-txx12显然,V(X)为一变量函数，在X_x2平面上的第一、三象限内，有V(X)0,是正定的。在此区域内取V(X)的全导数得V (X) = 2e 7x x + x 2 X1) = 2e n x 2 + 2(x2 + x 2)- 2e n x 2 = 2(x2 + x 2)所以当V(X)0时，P(X) 0，因此根据定理4可知，系统在坐标原 点处的平衡状态是不稳定的。34 线性系统的李亚普诺夫稳定性分析3.4.1线性定常系统的稳定性分析定理3. 5设系统状态方程为X = AX式中,X是n维状态向量，A是 nxn常系数矩阵，且是非奇异的。若给定一个正定的赫米特矩阵(包括 实对称矩阵)Q,存在一个正定的赫米特矩阵(或实对称矩阵)P,使得满 足如下矩阵方程ATP + PA = -Q则系统在 X=0 处的平衡状态是大范围内渐近稳定的，而标量函数XTPX 就是系统的李亚普诺夫函数。对该定理需要说明如下几点。 如果卩(X) = -XTQX沿任意一条轨迹不恒等于零，则Q可取做半正定数。 该定理阐述的条件，是充分且必要的。 因为正定对称矩阵Q的形式可任意给定，且最终的判断结果将 和Q的不同形式选择无关，所以通常取Q=I(单位阵)较为方便。这样线 性系统文=AX平衡状态X=0为渐近稳定的充要条件为：存在一个正 定对称矩阵P,满足矩阵方程ATP + PA = -1 o 将上述定理同从 A 的特征值分布来分析系统稳定性联系起来看，它实际上就是文=AX中矩阵A的特征值均具有负实部的充要条 件。可以证明， 要求特征值均具有小于某一数值的负实部， 即Re(ki) 0, P11P 22 P12 P 21 0 于是可得( a + a ) 2 + ( a a ) 2甘 生1221 02(T A) 2 Ar若满足此不等式，必须有|A = ana 22 a12 a210由p 0，可得T A 0，即11ra +a 0+a例 36 控制系统方块图如图33 所示。要求系统渐近稳定，试确定 增益K的取值范围。解 由图 3 3 可写出系统的状态方程为x3L-K1-20XiX = x1 2或写成 x = -2x + x2 23x = 一 Kx 一 x3 13不难看出，原点为系统的平衡状态f因为在原点处xi = x2 = %3 = 0）。选取 Q 为正半定实对称矩阵，则0 0 0Q =0000 0 1由P( X) = - XTQX =- x2为负半定的,因为 x = x = x = 0时，V(X) = 0 ,但当x丰0, x丰0,而x = 0时，1 2 3 1 2 3也有 V(X)=0。但由V(X)于只在原点处才恒等于零，这是因为若设V(X) = -x3，除原点外在某X值情况下也恒为零，则要求x3恒为零。但要求 x 恒为零，就必须要求 x 也恒为零。由方程可看出，如果 33x = 0,x = 0，则x也必为零。如果X恒为零，其中x及x已经恒为3 3113零，则x2也必恒为零。因此V (X)恒为零的情况只有在原点(即xi = 0,x2 = 0,x3 = 0)处才成立。可见选择式(3. 4)所示矩阵作为Q是 可行的，益处是可使数学运算得到简化。设 P 为实对称矩阵，且有如下形式PPP111213P = p p p212223PPP31323300-尺p11P121-20lP 21P2201-1L P 31P32P 33P13P23P11P12P13P21P22P2333P31P3200K- 2 110-1000000-1由ATP + PA = -Q即求得K 2 +12 K12 2 K6 K012 2 KP =6 K2K12 2 K12 2 K12 2 K0K612 2 K12 2 K为使矩阵P为正定，其充分且必要条件由赛尔维斯特准则得到12 2K 0, K 0从而求得 0K6故在0vKv6范围内取K值，则系统在原点处的平衡状态是大范围渐近 稳定的。3.4.2线性时变系统的稳定性分析定理3. 6若系统文=A(t)X(t)的矩阵A是t的函数(即时变函数)，则系统在平衡点x =0处是大范围内渐近稳定的充要条件为：对于任意 e给定的连续对称正定矩阵Q(t),存在一个连续对称正定矩阵P(t),使得P (t) = At (t) P(t) P(t) A(t) Q(t)而系统的李亚普诺夫函数是V(X,t) = XT(t)P(t)X(t)证明 设李亚普诺夫函数是V (X, t) = XT (t) P(t) X (t)则P(t)必是正定且对称矩阵，其P( X, t)=壬 T (t) P(t) X (t) + XT (t) P(t) X (t)=戈 T (t)P(t)X(t) + XT (t)P(t)X(t) + XT (t)P(t)戈(t)=戈 T (t) AT (t) P(t) X (t) + XT (t )P (t) X (t) + XT (t) P(t) A(t) X (t)=X T (t) AT (t) P(t) + P(t) + P(t) A(t) X (t)= XT(t)Q(t)X(t)式中P(t) X (t) = d P(t) X (t) dtQ(t) = AT (t) P(t) P (t) P(t) A(t)(3.5)由定理3. 1可知，当P是正定对称矩阵时，若Q也是一个正定对称矩 阵，则P(X, t)是负定的，系统便是渐近稳定的。式(3.5)是里卡德矩阵微分方程的特殊情况，其解为P(t) = 3(t,t)P(t0)(t0,t) -ft 3(t,t)Q(t)O(t,t)dT000t 0式中，(t , t)是系统戈(t) = A(t)X(t)的转移矩阵，P(to)是式(3. 5) 的初始条件，若取 Q(t)=Q= I可得 P(t)二 T (t , t)P(t )O(t , t) -ft T (T , t)O(T , t)dTt上式表明，当选取正定矩阵 Q=I 时，可以通过系统的状态转移矩阵 (t, t)计算矩阵P(t),并根据P(t)是否具有连续、对称和正定性来分析 线性时变系统的稳定性。3.4.3线性定常离散系统的稳定性分析定理 3.7 线性定常离散系统的状态方程为X (k +1) = GX (k)X=e当系统在平衡点 X = 是大范围内渐近稳定时，其充分必要条件是： e对于任意给定的对称正定矩阵Q,都存在对称正定矩阵P,使得GTPG - P=-Q(3.6)而系统的李亚普诺夫函数是VX(k)= XT(k)PX(k)特别当取 Q=I 时，式(3. 6)可写成GTPG - P=-I证明 设李亚普诺夫函数为VX(k)= XT(k)PX(k)式中,P为正定的赫米特(或实对称)矩阵。对于离散时间系统，用VX(k + 1)和VX(k)之差来代替V(X),即AVX (k) = VX (k + 1) - VX (k)=它类似于连续系统中V(X)的导数V(X)，因此VX (k) = VX (k + 1) - VX (k)=Xt (k +1) PX (k +1) Xt (k) PX (k)= (GX (k) t PGX (k) Xt (k) PX (k)=X t (k )GtPG P X (k) = Xt (k )QX (k)式中Q = GtPG P。显然，要满足系统在X = 0点是大范围内渐近稳定的条件，Qe必须是正定对称的矩阵。如果AVX(k) = Xt(k)QX(k)沿任一解的序列不恒等于零,也可取为半正定的。例37 设离散时间系统的状态方程为祝 0 _X (k +1) =1 .X (k)0 九2试确定系统在平衡点处是大范围内渐近稳定的条件。解 根据稳定定理GtPG P = I简化为P (1九 2)11 1p (1 一九九)12 1 2p (1 XX )12 1 2p (1 X2)22 21001由已知条件可得X0 _pp“X0 一pp“-1 0 1111211112=0X2p21p220X2p21p22_ 0 1_于是可得p (1 XX ) = 012 1 2 0, p11 P 22 一 p12 p 21 0的条件，将此条件代入上式，便使所求条件变为九 1,九 112即只有当传递函数的极点位于单位圆内时，系统在平衡点处才是大范 围内渐近稳定的。例38 设系统的方块图如图34 所示。系统的微分方程式为X + x = u11显然系统在未受控以前，响应是一个等幅正弦振荡。若用V函数方法 确定消除系统等幅振荡的校正形式，使受控系统是渐近稳定的，试问 u(t) 的变化规律如何?图 3.4 系统方块图解 这时系统的状态方程可写成f X = xf 1 2I x = - X + u21取李亚普诺夫函数V(X)为V (X , X ) = XT X = X2 + X21 2 1 2则V (X) = 2(x X + x X ) = 2x u1 1 2 2 2为了保证系统的稳定性，应使V为负，即u (t ) = - KX2式中K为一正常数。上式表明：必须使u(t)的变化与x2的变化方向相反，才能使系统保持稳定。如果这时有一个外部信号r,则取u(t) = r(t) - KX2 (t)为输入信号，即可保持系统的稳定性。由于x =X，所以这种补偿21 方式实质上是一种速度反馈，这就是古典控制理论中被经常采用的速 度反馈稳定系统。35 变量梯度法变量梯度法是建立在下述基础上，即如果存在着特殊的李亚普诺 夫函数、并能证明给定系统的稳定性，则该李亚普诺夫函数的单值梯 度也是存在的。设给定系统为戈=f(X,t)其平衡状态在坐标的原点，若此系统存在李亚普诺夫函数V(X),则 其梯度VV为VV1VV _ndV dx.i aV dxn _VV表示V(x ,x ,x )附近处的陡度，VV表示VV沿坐标轴i方向12 ni的分量。设V(X)是X的显函数，但不是t的显函数，则有 dVdxdVdxdV dxV =1+ 2 +n dxdtdxdtdxdt12ndVdVdV x +x H+ x (3.7)dx1dx2dxn12nxdV1dVdV-:(VV) TXdxdxdx12nxn由式(3. 7)可看出，函数V可作为VV的线积分求得，即V = fx (VV) Tdx0在符合一定条件下，上述积分可以做到与积分路线无关，即式(3. 7)在做线积分时依次由0 T xi点再由xi - x2点最后积分到X (x , x ,x )点。12 nV _ J x1( x2 =x3 =xn =)VVdx +j x2(x1 =xl,x3 =x4 =xn =)VV dx +V 0V1dx10V2 dx200(3.8)+ J xn(x1 = xl，x2 = x2,xn-1 = xn-1)VV dx0n n又由线积分与路径无关的条件可知，标量函数的梯度的总旋度等 于零，即rot(VV ) = 0式中， rot 表示旋度。因此，由时组成的矩阵8(V 匕)dx8 (VV2)8(V 匕)8x8 (VV2)8(V 匕)8x8(VV2)8x18(VVn8x n8x )8x28(VV )必须是对称的，要求旋度方程为哼=仝(i, j = 1,2,n)(3.9)这样的方程共有呼个。例如在n=3情况下可得三个方程为8(VV2) _ d(VV1) dx18(VV?) _ 8(VV2) dx28 (VV3)dx18(VV )8x3综上可以看出，确定满足李亚普诺夫定理的函数V的问题，已转化成确定函数的梯度vV的问题。矩阵F的对称条件，就是VV的n维旋 度等于零的条件，由这个条件求得VV后，再由VV求出V和V，最 后校验求出的V和V是否满足稳定性要求。应用上述梯度法求V函数时，通常先假定VV等于一个任意的列 向量a x + a x HF a x1111221nn(3.10)a x + a x FF a xVV =2112222nna x + a x + + a x n1 1n2 2nn n式中，芻是未知量，它可以是常数，也可以是时间t的函数或状态变 量X的函数，然而将a选为常数或t的函数是较方便的。nn如果非线性系统平衡状态X=0是渐近稳定的，则可将确定李亚普 诺夫函数的步骤归纳如下： 假定VV的形式如式(3. 10)所示； 由式(3. 7)通过VV确定V ； 令V是负定的或至少是半负定的； 由n(n T)个旋度方程，即式(3. 9)求出VV中的未定系数；2 对得出的V进行校验，看其是否符合卩为负定的要求； 求出V后，再由式(3. 8)求得函数V； 确定平衡点处的渐近稳定性范围。例3. 9 设二阶非线性系统如图3. 5 所示，试用变量梯度法求系统的 李亚普诺夫函数。图3.5非线性系统方块图解 已知系统的状态方程为x = x12x = - x - x32 2 1设VV取下列形式VV =a x + a x11 112 2a x + a x21 122xdx1dx212且令 a22 = 2由式(3. 7)得x x (a 一 a 一 2x2) + x2(a一 2) 一 a x41 2 11 21 1 2 12 21 1令V是负定或至少是半负定的撮简便办法是令xix2项的系数等于零而X2和X4的系数为零或为负。可以看出,只要取红2就能满足要求。于是可任取ai2 = 1, an - a21 - 2x2 = 0,V = 一 x 2 一 a x 42 21 1代人 VV 中得VV =a x + 2 x3 + x_VV _21 1 1 2=1a x + 2 xVV21 1 22由旋度方程求出待定系数a 21由 JU驚）21 (VV2)12 = a = 1 x211所以VV =2 x3 + x + x1 1 2x + 2 x12利用式(3. 8)求出V,即V =卜(七=0)(2x3 + x + x )dx +J*2(Xi巧)+ 2x )dx =0 1 1 2 1 0 1 2 2用配方法将上式化为标准二次型,得V = X + 1 x2 -丄 x2 + 1 x2 + xx + x 2 =2 2 1 4 1 4 1 1 2 2空 + 1 x2 + d x + x)22 4 1 2 1 2显而易见，上式是正定的。由求出的V,求得P =-x2 -x4是负定的。21由于|X| uV(X) *，V(X)是正定的，P(X)是负定的，所 以系统在平衡点X=0处是大范围内渐近稳定的。例3. 9 设系统的状态方程为I x = - x + 2 x 2 x1 1 . 1 1 2I x = - x22利用变量梯度法确定李亚普诺夫函数，并分析系统的稳定性解设V的梯度为a x + a xVV =11 112 2a x + 2 x21 1 2于是V = (VX) t X= (ax+ a x )x + (a x + 2x )x=11 1 12 2 1 21 1 2 2- a x2 + 2ax3x+2ax2 x2 - a x x - a x x- 2x211 1 11 1 2 12 1 2 12 1 2 21 1 2 2试探选取a12 = a21 = 0及an = 1，则V = 一 x 2 (1 一 2 x x ) 一 2 x 21 1 2 2如果1-2x x 0，则V是负定的，因此12x x是x , x的限定 1 2 1 2 1 2条件。因为梯度VV =VV1VV2满足梯度方程条件x12 x28 (VV) _a(VV2)= 0 dx2所以V _ JX1 VV dx + P2 VV dx _ JX1 x dx + P2 2x dx _ x2 + x21 1 2 2 1 1 2 2 1 2 0 1 1 0 2 2 0 1 1 0 2 2 2 1 2为正定因此系统在12xix2的范围内是渐近稳定的。如果试探选取 x 2x 2a _, a _1, a _111(1 x x )212(1 x x )221(1 x x )21 2 1 2 1 2则有V = _2x 2 - 2x 212在整个状态平面上是负定的，这时梯度V V变为VV =由于2xx2 x1 12 (1 _ x x )2 (1 _ x x )21 2 1 2 x31+ 2 x(1 x x )22128(VV )3x2 _ x3 x2 _ 1 128x(1 _ x x )31 1 28(VV )3x2 x3 x1 _ 1 1 2-8x(1 x x )32 1 2所以满足旋度方程条件8 (VVJ _ 8 (VV2)dx8x21V =x3(1 一 XX )212J X 2 X 一0 (I XX2)2X2X1 29 一 X1X2)2dx = x322dX +X2+11 一 XX12由此可见在1 - X1X2时李亚普诺夫函数正定因此系统在原点处的平衡状态在1XX的范围内是渐近稳定的。12从上面例题的两种分析得知，李亚普诺夫函数的选取确实不是唯 一的。按后一种试探选取的李亚普诺夫函数所给出的稳定范围，比前 一种试探给出的稳定范围更大，因此后者选取的李亚普诺夫函数优于 前者。