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第五次作业（前三题写在作业纸上）一、用有限差分方法求解一维非定常热传导方程，初始条件和边界条件见说明.pdf文件，热扩散系数=const，1. 用Tylaor展开法推导出FTCS格式的差分方程2. 讨论该方程的相容性和稳定性，并说明稳定性要求对求解差分方程的影响。3. 说明该方程的类型和定解条件，如何在程序中实现这些定解条件。4. 编写M文件求解上述方程，并用适当的文字对程序做出说明。（部分由网络搜索得到，添加，修改后得到。）function rechuandaopde%以下所用数据，除了t的范围我根据题目要求取到了20000，其余均从pdf中得来a=0.00001;%a的取值xspan=0 1;%x的取值范围tspan=0 20000;%t的取值范围ngrid=100 10;%分割的份数，前面的是t轴的，后面的是x轴的f=(x)0;%初值g1=(t)100;%边界条件一g2=(t)100;%边界条件二T,x,t=pdesolution(a,f,g1,g2,xspan,tspan,ngrid);%计算所调用的函数x,t=meshgrid(x,t);mesh(x,t,T);%画图，并且把坐标轴名称改为x，t，Txlabel(x)ylabel(t)zlabel(T)T%输出温度矩阵dt=tspan(2)/ngrid(1);%t步长h3000=3000/dt;h9000=9000/dt;h15000=15000/dt;%3000,9000,15000下，温度分别在T矩阵的哪些行T3000=T(h3000,:)T9000=T(h9000,:)T15000=T(h15000,:)%输出三个时间下的温度分布%不再对三个时间下的温度-长度曲线画图，其图像就是三维图的截面%稳定性讨论,傅里叶级数法dx=xspan(2)/ngrid(2);%x步长sta=4*a*dt/(dx2)*(sin(pi/2)2;if sta0,sta2 fprintf(n%sn,有稳定性)else fprintf(n%sn,没有稳定性) errorend%真实值计算xe,te,Te=truesolution(a,f,g1,g2,xspan,tspan,ngrid);xe,te=meshgrid(xe,te);mesh(xe,te,Te);%画图，并且把坐标轴名称改为xe，te，Texlabel(xe)ylabel(te)zlabel(Te)Te%输出温度矩阵%误差计算jmax=1/dx+1;%网格点数rms=wuchajisuan(T,Te,jmax)rms%输出误差function rms=wuchajisuan(T,Te,jmax)for j=1:jmax rms=(T(j)-Te(j)2/jmax)(1/2)endfunctionUe,xe,te=truesolution(a,f,g1,g2,xspan,tspan,ngrid)n=ngrid(1);%t份数m=ngrid(2);%x份数Ue=zeros(ngrid);xe=linspace(xspan(1),xspan(2),m);%画网格 te=linspace(tspan(1),tspan(2),n);%画网格for j=2:n for i=2:m-1 for g=1:m-1Ue(j,i)=100-(400/(2*g-1)/pi)*sin(2*g-1)*pi*xe(j)*exp(-a*(2*g-1)2*pi2*te(i) end endendfunction U,x,t=pdesolution(a,f,g1,g2,xspan,tspan,ngrid)n=ngrid(1);%t份数m=ngrid(2);%x份数h=range(xspan)/(m-1);%x网格长度 x=linspace(xspan(1),xspan(2),m);%画网格 k=range(tspan)/(n-1); %t网格长度t=linspace(tspan(1),tspan(2),n);%画网格U=zeros(ngrid);U(:,1)=g1(t);%边界条件U(:,m)=g2(t);U(1,:)=f(x);%初值条件 %差分计算 for j=2:n for i=2:m-1 U(j,i)=(1-2*a*k/h2)*U(j-1,i)+a*k/h2*U(j-1,i-1)+a*k/h2*U(j-1,i+1); endend5. 将温度随时间变化情况用曲线表示6. 给出3000、9000、15000三个时刻的温度分布情况，对温度随时间变化规律做说明。T3000=100.0000 63.4362 34.2299 15.8021 7.4641 7.4641 15.8021 34.2299 63.4362 100.0000T9000=100.0000 81.6930 65.6076 53.6839 47.3466 47.3466 53.6839 65.6076 81.6930 100.0000T15000=100.0000 89.9415 81.0962 74.5310 71.0378 71.0378 74.5310 81.0962 89.9415 100.0000根据数据分析，在同一个x点上温度随时间的增加而增加，但增幅变小。x-T图形仍为抛物线，但随着时间的增加，极值变小，图像变得平缓。7. 用计算数据说明，并结合差分方程余项，空间、时间间隔对求解精度影响。数据量较大，且原理相同，我取一个向量演示一下。保持空间间隔不变，修改时间间隔，时间间隔加大，得到的误差加大。保持时间间隔不变，修改空间间隔，空间间隔加大，得到的误差加大。修改空间间隔的误差在增量比修改时间间隔的大。从方差余项上来看，（没有公式编辑器。只能从ppt里粘贴了）这个余项里的t，x都在分母上，所以与误差成正比，且x的次数应该是比t高，故影响较大。8. 用计算数据说明，稳定性要求对求解精度的影响。修改稳定性，即修改x和t分的份数（ngrid），之后看误差。稳定性越高，解的精度越高。即在满足稳定性要求（a*t/(x2)0.5）时，a*t/(x2)越接近0，误差越小。从概念上理解，稳定性越好，对引入时间层误差的抑制能力越强。所以误差越小。二、调用MATLAB函数完成上述计算1. 编写M文件求解上述方程，并用适当的文字对程序做出说明。function pdepediaoyongm=0;x=linspace(0,1,11);%x的网格t=linspace(0,20000,101);%t的网格sol = pdepe(m,pdefun,icfun,bcfun,x,t);%调用函数T=sol(:,:,1);%解figure;%画图surf(x,t,T)xlabel(x)ylabel(t)zlabel(T)dt=20000/100;%t步长h3000=3000/dt;h9000=9000/dt;h15000=15000/dt;%3000,9000,15000下，温度分别在T矩阵的哪些行T3000=T(h3000,:)T9000=T(h9000,:)T15000=T(h15000,:)%输出三个时间下的温度分布%不再对三个时间下的温度-长度曲线画图，其图像就是三维图的截面function c,f,s=pdefun(x,t,T,DuDx)%PDE方程函数c=100000;f=DuDx;s=0;function u0=icfun(x)%初始条件函数u0=0;function pl,ql,pr,qr=bcfun(xl,Tl,xr,Tr,t)%边界条件函数pl = Tl-100;ql = 0;pr = Tr-100;qr = 0;2. 将温度随时间变化情况用曲线表示。3. 给出3000、9000、15000三个时刻的温度分布情况。T3000 =100.0000 67.1058 39.8611 21.1973 10.9885 7.8279 10.9885 21.1973 39.8611 67.1058 100.0000T9000=100.0000 83.4839 68.6032 56.8191 49.2705 46.6732 49.2705 56.8191 68.6032 83.4839 100.0000T15000=100.0000 90.8310 82.5601 75.9972 71.7845 70.3330 71.7845 75.9972 82.5601 90.8310 100.0000根据数据分析，在同一个x点上温度随时间的增加而增加，但增幅变小。x-T图形仍为抛物线，但随着时间的增加，极值变小，图像变得平缓。4. 用计算数据说明，空间、时间间隔对求解精度影响，并与有限差分法的计算结果做比较。调用前面做出来的真实值,跟pdepe做出来的值计算误差，再与有限差分法的误差比较。用pdepe函数求的误差远小于有限差分法，所以pdepe函数法更精确。5. 用计算数据说明，有无稳定性要求，为什么？若有，如何对求解精度的影响。不知道这个pdepe函数的稳定性要用什么检验。傅里叶级数检验不适用。
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